10-9)电路如图所示,已知两个线圈的参数为:R1=R2=1002,L1=3H,L2=10H,M =5H,正弦电源的电压U=220V,=100rad/s (1)试求两个线圈端电压,并作出电路的 相量图; m (2)证明两个耦合电感反接串联时不可 JoM→ 能有L1+L22M≤0; U (3)电路中串联多大的电容可使电路发。 生串联谐振; )画出该电路的去耦等效电路。 题 10-9图 解:图示电路中的两个耦合线圈为反接串联,所以其等效电感为:L四=L1+ 2M=3H。 令U=220∠0V故电流Ⅰ为 20 R2+jaL200+j300 ∠0=0.61∠-56.31°A (1)两个线圈端电压U1和U2的参考方向如图所示,则 U1=[R1+j(L1-M)]=(100-1200)×0.61∠-5631 =136.4∠=11974V U2=[R2+j(L2-M)]=(100+500×0.61∠-5631 =311.04∠22.38V
电路相量图如题解10-9图(a)所示。 (L1-M) jo(L?-M) 题解10-9图 (2)只要证明两个耦合电感反接串联时,有L1+L2-2M≥0即可。证明如下 因为(L1-√L2)2≥0,故L1+L2-2√L1L2≥0 即L1+L2≥2√L1L 又根据耦合因数k=M,≤1,即M≤L1L2 √L1L 所以 L1+L2≥2M,或L1+L2-2M≥0 (3)因为串联谐振的条件是:oL与=0,即4吗C 所以 aL1002×3=3331F (4)该电路两个耦合线圈是反接串联,所以去耦等效电路如图(b所示。 10把题10-9中的两个线圈改为同侧并联接至相同的电源上 1)此时要用两个功率表分别测量两个线圈的功率,试画出它们的接线图,求出功 率表的读数,并作必要的解释作出电路的相量图;(2)求电路的等效阻抗。 解:(1)按题意,可画出题解10-10图(a)所示的电路接线图。功率表的读数即为 每个线圈所吸收的有功功率P。 令U=220∠0V,设各支路电流相量如图所示,列出KⅥL方程为 (RI+ jaL1)11+joMi 2=[ h1+(R2 )2=U 代入参数值,得 (100+300)l1+j500l2=220∠0° 5001+(100+100)2=220∠0° 解之
joL jaLiL 题解10-10图 j500 i1 2201009100=0.825∠-2841°A 100+j1000 20-(100+j300) =0.362∠-170.56A j500 两功率表的读数分别为 P1=U1(osg1=20×0.825×cs28.41=159.64W P2=UI2cs92=220×0.362×co170.56=-7856W 两功率表的读数中出现一负值,这是由于互感的相互作用,使得某一支路出现了电 压与电流之间的相位差角大于90°,故会出现有功功率为负值的情况。 电路相量图如图(b所示。 (2)电路的等效阻抗z四为 220 1+120.583∠-50.8° =377∠50.8 另一求解等效阻抗za的方法是将题解10-10图电路中的互感消去,即变为T型 去耦等效电路然后再用阻抗的串、并联公式进行求解。这里从略
10-18图示电路中的理想变压器的变比为10:1。求电压U2 解:本题可用两种方法求解 解法一:设电流I1,}2和电压U1,U2参考方向如图所示,列出图示电路的KVL 方程 i1+U1=10∠0° (1) U2+50l2=0 (2) 根据理想变压器的CR,有 10∠0VU1 U25 U1=10U2 2 将方程式(3)和(4)代入到方程式(1)中,得 题10-18图 10 2+10U2=10∠0 又由式(21得:2=-2 50,代人到上式可得 10∠0°V 故 U2=10.00=0.9980V 解法二:题解10-18图为理想变压器原边等效电路图题解10-18图 中等效电阻R为
R=n2RL=100×50=5000 R 0∠0°=9.998∠0° 又根据理想变压器VCR中的电压方程 U1=10U 可求得电压U2为 U2=11=0.9980°v 注:理想变压器是在耦合电感元件基础上加进3个理想化条件而抽象出的一类多端元件。这3 个理想化条件是:(1)全耦合,即合系数k=1(2)参数无穷大,即L1L,M∞,但满足一常 数;(3)无损耗。在这3个条件下,可得理想变压器元件如下主要性能 ()0变电压。即元件的初次级电压满足代数关系m1=2=n(m为初级线圈匝数比) (2)变电流。即元件的初次级电流满足代数关系1=±12 (3)变阻抗。即由理想变压器初级端看去的输入阻抗为Zm=n2ZL (4)理想变压器在任何时刻吸收的功率为零是不储能、不耗能、只起能量传输作用的无记忆元
