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第二章 集中趋势的统计描述 （Measures of Central Tendency） 预防医学系 1 2 课程设置 课时： 理论课： 22学时 实习课： 10学时 联系方式：预防医学系卫生统计学教研室 Tel.： 2057153 Baidu贴吧：yfyxx （讨论、答疑、作业） http://tieba.baidu.com/f?kw=yfyxx# 大学精品课程网站→教学资源→（ppt、wmv） http://eol.shzu.edu.cn/eol/jpk/course/layout/default/index.jsp?courseId=1204 2 第一节 频数分布 (Frequency Distribution) 由实验或临床观察等各种方式得到的原始数 据，如果是计量资料并且观察的例数较多， 为了能够显示数据的分布规律，可以对数据 进行分组，然后制作频数表或绘制直方图。 3 例2-1 某地用随机抽样方法检查了140名成年男子的 红细胞数，检测结果如表所示： 如何有效地组织、整理和表达数据的信息？ 4.76 5.26 5.61 5.95 4.46 4.57 4.31 5.18 4.92 4.27 4.77 4.88 5.00 4.73 4.47 5.34 4.70 4.81 4.93 5.04 4.40 5.27 4.63 5.50 5.24 4.97 4.71 4.44 4.94 5.05 4.78 4.52 4.63 …… 5.02 4.76 4 一、频数表 (Frequency Table) 频数表：同时列出观察指标的可能取值区间及其 在各区间内出现的频数。 1.确定组数k：通常选择在8～15之间 2.确定组距： 参考组距为R/k , R为全距 3.确定组限: 应符合专业习惯 4.对各组段计数：划记或由软件完成 5 （1）确定全距 全距R＝xmax－xmin，本例R＝5.95- 3.82＝2.13 （2）确定组距：相邻两组之间的距离，取决于资料 的性质和组段数。常以全距的十分之一估计。组段 数通常取8-15组。将全距除以组数可得到组据的近 似值：组距=全距/组数。，若分10组，则参考组距 为i= R /10=2.13/10≈0.21。 （3）确定组段的上下限：各组段的终点称组段的上 限，起点称组段的下限。整个资料范围的每一个数 据必须能归属于某一组。实际组限在每组中只包含 下限而不包含上限。 （4）列表整理：写出各组段的频数：用划记法将所 有数据归纳到各组段，得到各组段的频数。 6 红细胞数 划记 频 数 频 率(%) 累积频率(%) 3.80～ 2 1.4 1.41 4.00～ 正 6 4.3 5.71 4.20～ 正正 11 7.9 13.57 4.40～ 正正正正正 25 17.9 31.43 4.60～ 正正正正正正 32 22.9 54.29 4.80～ 正正正正正 27 19.3 73.57 5.00～ 正正正 17 12.1 85.71 5.20～ 正正 13 9.3 95.00 5.40～ 正 4 2.9 97.86 5.60～ 2 1.4 99.29 5.80～ 6.00 1 0.7 100.00 表2-2 某地140名正常男子红细胞数的频数表 7 三、频数表的用途 1.作为陈述资料的形式 2.便于观察数据的分布类型 3.描述计量资料分布的集中趋势和离散趋势 4.便于发现资料中含有的异常值（极大极小值） 5.可用各组段的频率作为概率的估计值 8 三、频数分布图 计量资料－直方图 以垂直条段代表频数分布的一种图形 纵轴为各组的频数，横轴为各组的组限 从中可以看出数据的分布特点： 9
上运每地4有成小中场6博点 ”款4 对稀◆率与偏志念率 第二首计贵春精的有用统计有将 性之经格件米 10k年唐hrU (一)算求地款黄举将成tmen) 计养方腾 年来地成用灭表标，落保的良酒以桌 )真热情么或： +牛5码
图2-1 140名正常男子红细胞计数的直方图 直方图（Histogram） 直观、形象地表示频数分布的形态和特征。 10 高峰位于中央，左右两侧的频数大体对称 ①集中趋势(central tendency):变量值集中位置。 数据多集中在“4.6～”附近。 ——平均水平指标 ②离散趋势(tendency of dispersion):变量值围 绕集中位置的分布情况。离“中心”位置越 远，频数越小；且围绕“中心”左右对称。 ——变异水平指标 11 频数分布的类型 正态分布 对称分布 其它对称分布 血清学滴度资料 频数分布 正偏态 （对数正态分布） 其它 偏态分布 负偏态 12 对称分布与偏态分布 1.对称分布 2.偏态分布 右偏态（ skewed to the right），也称正偏态 （positive skewed）,数值集中位置在较小的一侧； 左偏态（ skewed to the left），也称负偏态 （negative skewed）,数值集中位置在较大的一侧； 13 对称分布：中间高、 两边低、左右对称 正偏态分布： 集中在数值小 的一侧 负偏态分布： 集中在数值大 的一侧 14 第二节 计量资料的常用统计指标 一、描述集中趋势的特征数 统计上使用平均数（average）这一指标体系来 描述一组变量值的集中位置或平均水平。 常用的有： 1. 算术均数(arithmetic mean)，简称均数 (mean) 2. 几何均数(geometric mean) 3. 中位数 (median) 15 （一）算术均数 简称均数（mean） 样本均数用 表示，总体均数用 表示 适用条件：用于反映一组呈对称分布或近似 对称分布数据的集中位置或平均水平。 16 计算方法 （1）直接法 公式 ： n x n x x x x n i 1 2 17 某地140名成年男子的红细胞数（×1012/L） 4.77 140 4.76 5.26 5.61 5.02 4.76 x 4.76 5.26 5.61 5.95 4.46 4.57 4.31 5.18 4.92 4.27 4.77 4.88 5.00 4.73 4.47 5.34 4.70 4.81 4.93 5.04 4.40 5.27 4.63 5.50 5.24 4.97 4.71 4.44 4.94 5.05 4.78 4.52 4.63 …… 5.02 4.76 18
计养方 5终讲46,6,8品，品.0 地号 新中K.本R5限值：下R5要值 “ 4而】 下2有寿表(omr mer 几阿的款的道用春件与未例 X。=离一无， 23888232华情州西 。-g25 0香点表新制我体线所场个南水个情海17 t)中(median) 。-1 号发生无4。 w-a 黄表：长板烟周了中两期1一2小象南 G-4168622-139
计算方法 3 2 3 1 3 4 2 6 3 8 1 10 x 举例：试计算4，4，4，6，6，8，8，8，10 的均数？ 19 （2）加权法(利用频数表）： 公式 ： 1 1 2 2 3 3 1 2 3 k k k f X f X f X f X fX X f f f f f X 本组段下限值+下组段下限值 其中 2 K：频数表的组段数 f：频数 x：组中值 20 红细胞数 划记 频 数 组中值 f X 3.80～ 2 3.9 7.8 4.00～ 正 6 4.1 24.6 4.20～ 正正 11 4.3 47.3 4.40～ 正正正正正 25 4.5 112.5 4.60～ 正正正正正正 32 4.7 150.4 4.80～ 正正正正正 27 4.9 132.3 5.00～ 正正正 17 5.1 86.7 5.20～ 正正 13 5.3 68.9 5.40～ 正 4 5.5 22 5.60～ 2 5.7 11.4 5.80～ 6.00 1 5.9 5.9 合计 140 - 表2-1 某地140名正常男子红细胞数的频数表 4.7843 140 669.8 140 2 3.9 6 4.10 1 5.9 x 21 （二）几何均数（geometric mean） ) lg lg ( lg (lg lg lg ) 1 lg 1 1 2 1 2 n x X n x x x x n X X x x x i G i G n n G n ，为正值 表示以 为底的反对数 表示以 为底的对数； 0 lg 10 lg 10 1 X 几何均数：变量 对数值的算术均 数的反对数。 22 几何均数的适用条件与实例 适用条件： 1、非对称分布，差距较大 2、呈倍数关系的等比资料或对数正 态分布（正偏态）资料；如抗体 滴度、血清凝集效价资料 23 例2-2 测得10人血清滴度的倒数分别为 2,2,4,4,8,8,8,8,32,32,求平均滴度。 2 2 4 4 8 8 8 8 32 32 7 10 X G 10份血凝抑制抗体效价的平均水平约为 1:7 7 10 lg2 lg2 lg4 lg4 lg8 lg8 lg8 lg8 lg32 lg32 lg 1 G 例2-3 （频数表资料） 应用：主要用于血清学和微生物学中。 24 频数表资料的几何均数 i n n i i i G f f X f X f X f f X X lg lg lg lg lg lg 1 1 1 1 2 2 IgG滴度倒数 例数,f lgX f·lgX 20 40 80 160 320 640 1280 合计 16 57 76 75 54 25 23 326 1.3010 1.6021 1.9031 2.2041 2.5051 2.8062 3.1072 － 20.96 91.32 144.64 168.08 135.28 70.15 71.47 698.62 G＝lg-1(698.62/326)＝139 25 （三）中位数（median） 中位数是将一批数据从小至大排列后位次居 中的变量值，符号为M，反映一批观察值在 位次上的平均水平。 适用条件：适合各种类型的资料。尤其适合 于①大样本偏态分布的资料； ②资料有不确 定数值；③资料分布不明等。 26 中位数计算公式 先将观察值按从小到大顺序排列， 再按以下公式计算： 为偶数 为奇数 x x n x n M n n n / 2 1 / 2 2 ( 1)/ 2 特点：仅仅利用了中间的1～2个数据 27
T分住k(percentile】. L:P所在组段下值 分布？ 00,5-地40-9 描述指标？ 了会推最的盛思 4
中位数 (Median，M ) 将一组观察值从小到大按顺序排列，居中心位置的 数值即为中位数。 1.原始资料 若测得5个人的VLDL中的apo_B的含量(mg/dl)为 0.84、2.85、5.46、8.58、9.60，则 M=5.46（mg/dl） (n为奇数) 若测量结果：0.84、2.85、8.58、9.6，则 M=(2.85+8.58)/2=5.72（mg/dl） (n为偶数) 28 百分位数 ： 一组数据从小到大 排列，分成100等分，各 等分含1％的观察值，分割界限上的数值就 是百分位数，记为Px。全部观察值的x％小 于Px ，而其余（100－x）％大于 Px 。 百分位数（percentile） 29 频数表资料的百分位数 所在组之前各组段的累计频数 所在组段的频数 组距 所在组段下限值 ％ L x x x x x x x L x f P f P i L P i f n x f P L : : : : - 30 例题 表2-4 某地630名正常女性血清甘油三脂含量(mg/dl) 甘油三脂 频数 累积频数 累积频率(%) 0.10～ 27 27 4.3 0.40～ 169 196 31.1 0.70～ 167 363 57.6 M 1.00～ 94 457 72.5 1.30～ 81 538 85.4 1.60～ 42 580 92.1 1.90～ 28 608 96.5 2.20～ 14 622 98.7 2.50～ 4 626 99.4 2.80～ 3 629 99.8 3.10～ 1 630 100.0 合计 630 - - 31 0 30 60 90 120 150 180 1 频 数 甘油三脂(mg/dL) 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 630×0.5 196 M L、iM、fM分别为M所在组段的下限、组距和频数， fL为M所 在组段之前各组段的累积频数。 0.30 0.914 167 630 0.5 196 0.70 M M M L i fn f M L 0 .5 32 表2-4 某地630名正常女性血清甘油三脂含量(mg/dl) 甘油三脂 频数 0.10～ 27 0.40～ 169 0.70～ 167 1.00～ 94 1.30～ 81 1.60～ 42 1.90～ 28 2.20～ 14 2.50～ 4 2.80～ 3 3.10～ 1 合计 630 33 分布？ 描述指标？ 表2-4 某地630名正常女性血清甘油三脂含量(mg/dl) 甘油三脂 频数 累积频数 累积频率(%) 0.10～ 27 27 4.3 0.40～ 169 196 31.1 0.70～ 167 363 57.6 1.00～ 94 457 72.5 1.30～ 81 538 85.4 1.60～ 42 580 92.1 1.90～ 28 608 96.5 2.20～ 14 622 98.7 2.50～ 4 626 99.4 2.80～ 3 629 99.8 3.10～ 1 630 100.0 合计 630 - - 34 试计算：P25, P75, P90 百分位数(Percentile) L: 组段的下限； iM: 组距； fx : 频数； fL: Px所在组段之前的累积频数。 例2.5 计算例2.4的百分位数P25 、 P75 、 P90。 x x L x i f n x f P L % 0.30 0.632(mmol/L) 169 630 0.25 27 25 0.40 P 0.30 1.357(mmol/L) 81 630 0.75 457 75 1.30 P 0.30 1.807(mmol/L) 42 630 0.90 538 1.60 90 P 35 百分位数的应用 1.中位数是百分位数的特例。其特点是不易受异 常值的影响，适用于描述明显偏态分布、或两端 无确定数值数据的平均水平。 2.描述数据序列在某百分位置的水平。多个百分 位数结合使用如P25和P75可以描述数据的离散程 度，用P2.5和P97.5计算医学95%的参考值范围等。 36
小 结 1. 运用频数表、直方图和统计指标这些技巧能够有 效地组织、整理和表达计量资料的信息。 2.平均数是描述一组观察值集中位置或平均水平的 统计指标，常用的有算术均数、几何均数和中位数。 其中算术均数的应用最为广泛，几何均数则多用于 血清学和微生物学中，中位数主要用于偏度较大的 数据分布资料。 3.百分位数可用来描述资料的观察值序列在某百分 位置的水平，中位数是其中的一个特例。 37