第二章检测 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.已知函数：①y=3x-1:②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1,其中二次函数的个数 为 ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若二次函数y=(a-1)x2+3x+a2.3a+2的图象经过原点，则a的值必为(). A.1或2 B.0 C.1 D.2 3.己知抛物线y=-x2+br+4经过(-2，n)和(4，n)两点，则n的值为( ） A.-2 B.-4 C.2 D.4 4.设A(-2y),B(1,2),C(2)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点，则y12y3的大小关系 为) A.yi>y>y3 By1>y3>2 C.y3>y>yl D.y3>yi>y2 5.抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向 左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 (. A.Jy=3x+1)2+3B.y=3x-5)2+3 Cy=3x-5)2-1D.y=3x+1)2-1 6.(2022贵州黔东南中考)若二次函数y=ar2+bx+c(a0)的图象如图所示，则一次函 数y=ar+b与反比例函数y=二在同一坐标系内的大致图象为() 并名杂 A B. 7.如图，函数y=ar2-2x+1和y=ax-a(a是常数，且a0)在同一平面直角坐标系中的 图象可能是()
第二章检测 一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x 2 -1;③y=3x 3+2x 2 ;④y=2x 2 -2x+1,其中二次函数的个数 为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2.若二次函数 y=(a-1)x 2+3x+a2 -3a+2 的图象经过原点,则 a 的值必为( ). A.1 或 2 B.0 C.1 D.2 3.已知抛物线 y=-x 2+bx+4 经过(-2,n)和(4,n)两点,则 n 的值为( ). A.-2 B.-4 C.2 D.4 4.设 A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线 y=-(x+1)2+a 上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关系 为( ). A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 5.抛物线的函数表达式为 y=3(x-2)2+1,若将 x 轴向上平移 2 个单位长度,将 y 轴向 左平移 3 个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( ). A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2 -1 D.y=3(x+1)2 -1 6.(2022·贵州黔东南中考)若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函 数 y=ax+b 与反比例函数 y=- 𝑐 𝑥 在同一坐标系内的大致图象为( ). 7.如图,函数 y=ax2 -2x+1 和 y=ax-a(a 是常数,且 a≠0)在同一平面直角坐标系中的 图象可能是( )
d玉， 8.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a0)的自变量x与函数值y的部分对应 值如下表： 且当x=3时，对应的函数值y0,②m+n时y1>2. 其中正确的结论是()， A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.若二次函数y=mx2-4x+1有最小值-3，则m= 10.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O,AD∥x轴，以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分 割成几部分，则图中阴影部分的面积是 11.己知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如下表： 3 3 2 2 5 -2 2 4 则该二次函数的表达式为 12.若根式 有意义，则双曲线y=22与抛物线y=x2+2x+2-2k的交点在第 2.2k 象限」 13.如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线 y=4x2于点B,C,则线段BC的长为 A V
8.二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,且 a≠0)的自变量 x 与函数值 y 的部分对应 值如下表: x … -1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当 x= 3 2时,对应的函数值 y0;②m+n1 3时,y1>y2. 其中正确的结论是( ). A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9.若二次函数 y=mx2 -4x+1 有最小值-3,则 m= . 10.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 的中心在直角坐标系的原点 O,AD∥x 轴,以 O 为顶点且过 A,D 两点的抛物线与以 O 为顶点且过 B,C 两点的抛物线将正方形分 割成几部分,则图中阴影部分的面积是 . 11.已知二次函数中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表: x … - 3 2 -1 - 1 2 0 1 2 1 3 2 … y … - 5 4 -2 - 9 4 -2 - 5 4 0 7 4 … 则该二次函数的表达式为 . 12.若根式√ 1 2-2𝑘有意义,则双曲线 y= 2𝑘-2 𝑥 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第 象限. 13.如图,抛物线 y=ax2+1 与 y 轴交于点 A,过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y=4x 2 于点 B,C,则线段 BC 的长为
14.二次函数y=ax2+br+c图象的一部分如图所示，下列结论：①abc>0:②a-b+c<0: ③ax2+bx+c+1=0有两个相等的实数根：④-4a<b<-2a,其中正确结论的序号 为 273元 三、解答题（共44分） 15.(8分)已知函数y=(m-1)xm2+1+3x-1为二次函数，求m的值. 16.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为(-1,2)，点B 在第一象限，且OB⊥OA,OB=2OA,求经过A,B,O三点的抛物线的表达式 y 17.(8分)已知抛物线y=mxr2+(3-2m)x+m-2(m0)与x轴有两个不同的交点. (1)求m的取值范围； (2)判断点P(1,1)是否在抛物线上， (3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标 18.(10分)某网店销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售（件）与销 售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示 件 300---- 150--- 4055x元 (1)求y与x之间的函数关系式， (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天 获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范 围 19.(10分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(-1,0),B(3,0),C是抛物线与y 轴的交点
14.二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分如图所示,下列结论:①abc>0;②a-b+c<0; ③ax2+bx+c+1=0 有两个相等的实数根;④-4a<b<-2a,其中正确结论的序号 为 . 三、解答题(共 44 分) 15.(8 分)已知函数 y=(m-1)𝑥 𝑚2+1+3x-1 为二次函数,求 m 的值. 16.(8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(-1,2),点 B 在第一象限,且 OB⊥OA,OB=2OA,求经过 A,B,O 三点的抛物线的表达式. 17.(8 分)已知抛物线 y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与 x 轴有两个不同的交点. (1)求 m 的取值范围; (2)判断点 P(1,1)是否在抛物线上; (3)当 m=1 时,求抛物线的顶点 Q 的坐标. 18.(10 分)某网店销售某种品牌的漆器笔筒,成本为 30 元/件,每天销售 y(件)与销 售单价 x(元)之间存在一次函数关系,如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件,当销售单价为多少元时,每天 获取的利润最大,最大利润是多少? (3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程, 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元,试确定该漆器笔筒销售单价的范 围. 19.(10 分)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+6 经过两点 A(-1,0),B(3,0),C 是抛物线与 y 轴的交点
B (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P(m,)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S, 求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值： (3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠ CMN=90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标. 答案： 一、选择题 1.B2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.B 二、填空题 9.110.211.y=x2+x-212.二13.114.①④ 三、解答题 15解由题志得m1+02解得m= ∴当m=-1时，函数y=(m-1)xm2+1+3x-1为二次函数 16.解：如图，作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F .OA⊥OB, ∴.∠AEO=∠AOB=∠OFB=90° .∠AOE+∠A=90°，∠AOE+∠BOF=90°. ∴.△AOE∽△OBF :0B=20A==8胎= .∵AE=2,OE=1,∴.OF=4,BF=2. ∴.B(4,2). ,抛物线经过原，点 .可设抛物线的表达式为y=ar2+bx, 把A(-1,2),B(4,2)代入y=ar2+bx 得6a6=2解 b=3
(1)求抛物线的函数表达式; (2)点 P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC 的面积为 S, 求 S 关于 m 的函数表达式(指出自变量 m 的取值范围)和 S 的最大值; (3)点 M 在抛物线上运动,点 N 在 y 轴上运动,是否存在点 M、点 N 使得∠ CMN=90°,且△CMN 与△OBC 相似,如果存在,请求出点 M 和点 N 的坐标. 答案： 一、选择题 1.B 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 二、填空题 9.1 10.2 11.y=x2+x-2 12.二 13.1 14.①④ 三、解答题 15.解:由题意,得{ 𝑚-1 ≠ 0, 𝑚2 + 1 = 2, 解得 m=-1. ∴当 m=-1 时,函数 y=(m-1)·𝑥 𝑚2 +1+3x-1 为二次函数. 16.解:如图,作 AE⊥x 轴于点 E,BF⊥x 轴于点 F. ∵OA⊥OB, ∴∠AEO=∠AOB=∠OFB=90°. ∴∠AOE+∠A=90°,∠AOE+∠BOF=90°. ∴△AOE∽△OBF. ∵OB=2OA,∴ 𝐴𝐸 𝑂𝐹 = 𝑂𝐸 𝐵𝐹 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 = 1 2 . ∵AE=2,OE=1,∴OF=4,BF=2. ∴B(4,2). ∵抛物线经过原点, ∴可设抛物线的表达式为 y=ax2+bx, 把 A(-1,2),B(4,2)代入 y=ax2+bx, 得{ 𝑎-𝑏 = 2, 16𝑎 + 4𝑏 = 2, 解得{ 𝑎 = 1 2 , 𝑏 = - 3 2
y含x 17.解：(1)由题意，得(3-2m)2-4m(m-2)>0,m≠0， 解得m<且m0. (2)当x=1时y=mx2+(3-2m)x+m-2=m+(3-2m)+m-2=1, ∴点P(1,1)在抛物线上 3)当m=1时2+x1-(x+)}°- “抛物线的顶点Q的坐标为( 18.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=r+b, 由题感得g89改+8=190 解得化0 y与x之间的函数关系式为y=-10x+700 (2)由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46. 设利润为w, 则w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000. ,-10<0,∴x<50时，w随x的增大而增大， ∴.当x=46时，w最大=-10(46-50)2+4000=3840. .当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 (3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600,-10(x-50)2=-250,x-50=±5，x1=55,x2=45. 如图所示， 3600 04555 由图象得，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 19.解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+6, 6a+品+6=0解得8=子 ∴.抛物线的表达式为y=-2x2+4x+6. (2)过点P作PF∥y轴，交BC于点F,如图(1)所示. 图(1)
∴y= 1 2 x 2 - 3 2 x. 17.解:(1)由题意,得(3-2m) 2 -4m(m-2)>0,m≠0, 解得 m<9 4 ,且 m≠0. (2)当 x=1 时,y=mx2+(3-2m)·x+m-2=m+(3-2m)+m-2=1, ∴点 P(1,1)在抛物线上. (3)当 m=1 时,y=x2+x-1=(𝑥 + 1 2 ) 2 − 5 4 , ∴抛物线的顶点 Q 的坐标为(- 1 2 ,- 5 4 ). 18.解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b, 由题意,得{ 40𝑘 + 𝑏 = 300, 55𝑘 + 𝑏 = 150, 解得{ 𝑘 = -10, 𝑏 = 700. ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-10x+700. (2)由题意,得-10x+700≥240,解得 x≤46. 设利润为 w, 则 w=(x-30)·y=(x-30)·(-10x+700)=-10x 2+1 000x-21 000=-10(x-50)2+4 000. ∵-10<0,∴x<50 时,w 随 x 的增大而增大, ∴当 x=46 时,w 最大=-10(46-50)2+4 000=3 840. ∴当销售单价为 46 元时,每天获取的利润最大,最大利润是 3 840 元. (3)w-150=-10x 2+1 000x-21 000-150=3 600,-10(x-50)2=-250,x-50=±5,x1=55,x2=45. 如图所示, 由图象得,当 45≤x≤55 时,捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元. 19.解:(1)将 A(-1,0),B(3,0)代入 y=ax2+bx+6, 得{ 𝑎-𝑏 + 6 = 0, 9𝑎 + 3𝑏 + 6 = 0, 解得{ 𝑎 = -2, 𝑏 = 4. ∴抛物线的表达式为 y=-2x 2+4x+6. (2)过点 P 作 PF∥y 轴,交 BC 于点 F,如图(1)所示. 图(1)
当x=0时y=-2x2+4x+6=6, .点C的坐标为(0,6) 设直线BC的表达式为y=x+c,将B(3,0),C(0,6)代入y=kxr+C, 得匙长=0件化=品 .直线BC的表达式为y=-2x+6 点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， .点P的坐标为(m,-2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,-2+6), ∴.PF=-2m2+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m, S=PF0B=-3m2+9m=-3(m-}+ ·当m时，△PBC的面积取最大值，最大值为号 ,点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ∴.0<m<3 综上所述，S关于m的函数表达式为S=-3m2+9m(0<m<3),S的最大值为2 (3)存在，点M、点N使得∠CMN=90°，且△CMN与△OBC相似. 图(2) 如图(2)，∠CMN=90°，当点M位于点C上方时，过点M作MD⊥y轴于点D. ,∠CDM=∠CMN=90°，∠DCM=∠NCM, ∴.△MCD∽△NCM 若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设Ma,-2a2+4a+6),C(0,6), ∴DC=-2a+4a,DM=a,当2岩=8是=2=时，△C0B∽△CDM△CN, CD a 202+4a 解得a=1, ∴M1,8),此时ND-DM经 N0,) 当品-股 =时，△COB∽△MDC∽△NMC, 20=解得a子 ∴M存)，此时NO,) 如图(3)，当点M位于点C的下方时，过点M作ME⊥y轴于点E
当 x=0 时,y=-2x 2+4x+6=6, ∴点 C 的坐标为(0,6). 设直线 BC 的表达式为 y=kx+c,将 B(3,0),C(0,6)代入 y=kx+c, 得{ 3𝑘 + 𝑐 = 0, 𝑐 = 6, 解得{ 𝑘 = -2, 𝑐 = 6, ∴直线 BC 的表达式为 y=-2x+6. ∵点 P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, ∴点 P 的坐标为(m,-2m2+4m+6),则点 F 的坐标为(m,-2m+6), ∴PF=-2m2+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m, ∴S=1 2 PF·OB=-3m2+9m=-3(𝑚 − 3 2 ) 2+ 27 4 , ∴当 m= 3 2时,△PBC 的面积取最大值,最大值为27 4 . ∵点 P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动, ∴0<m<3. 综上所述,S 关于 m 的函数表达式为 S=-3m2+9m(0<m<3),S 的最大值为27 4 . (3)存在点 M、点 N 使得∠CMN=90°,且△CMN 与△OBC 相似. 图(2) 如图(2),∠CMN=90°,当点 M 位于点 C 上方时,过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D. ∵∠CDM=∠CMN=90°,∠DCM=∠NCM, ∴△MCD∽△NCM. 若△CMN 与△OBC 相似,则△MCD 与△OBC 相似,设 M(a,-2a 2+4a+6),C(0,6), ∴DC=-2a 2+4a,DM=a,当 𝐷𝑀 𝐶𝐷 = 𝑂𝐵 𝑂𝐶 = 3 6 = 1 2时,△COB∽△CDM∽△CMN, ∴ 𝑎 -2𝑎 2 +4𝑎 = 1 2 ,解得 a=1, ∴M(1,8),此时 ND=1 2 DM=1 2 , ∴N(0, 17 2 ). 当 𝐶𝐷 𝐷𝑀 = 𝑂𝐵 𝑂𝐶 = 1 2 时,△COB∽△MDC∽△NMC, ∴ -2𝑎 2 +4𝑎 𝑎 = 1 2 ,解得 a= 7 4 , ∴M( 7 4 , 55 8 ),此时 N(0, 83 8 ). 如图(3),当点 M 位于点 C 的下方时,过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E
图(3) 设Ma,-2a2+4a+6),C0,6), ∴.EC=2a2-4a,EM=a, 同理可得，=方浅2。-2.△CMW与△0BC相似解得a我a=3, ∴M很)浅M3,0,此时点的坐标为(0，)支(0，-)引 综上可得，存在M1,8)N(0,)支M)N0,器)M存器)N(0,)或 M3,0),N(0,-),使得∠CMN=90°，且△CMN与△OBC相似
图(3) 设 M(a,-2a 2+4a+6),C(0,6), ∴EC=2a 2 -4a,EM=a, 同理可得, 2𝑎 2 -4𝑎 𝑎 = 1 2 或 2𝑎 2 -4𝑎 𝑎 =2,△CMN 与△OBC 相似,解得 a= 9 4或 a=3, ∴M( 9 4 , 39 8 )或 M(3,0),此时点 N 的坐标为(0, 3 8 )或(0,− 3 2 ). 综上可得,存在 M(1,8),N(0, 17 2 )或 M( 7 4 , 55 8 ),N(0, 83 8 )或 M( 9 4 , 39 8 ),N(0, 3 8 )或 M(3,0),N(0,− 3 2 ),使得∠CMN=90°,且△CMN 与△OBC 相似