期中检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1如图，要测量小河两岸相对的两点P,A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB 上的一点C,测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于() A.100sin35°米B.100sin55°米 C.100tan35°米D.100tan55°米 2.若∠a的余角是30°，则cosa的值是( A月 B令 2 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=3BC,则tanA的值是() A号 B.3 C.2W2 吗 4.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且有tanB-V3+(2cosA-1)2=0,则△ABC是()： A.直角（不等腰）三角形 B.等边三角形 C等腰（不等边）三角形 D.等腰直角三角形 5.己知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x-h- m)2+k与x轴的一个交点是(4,0)，则m的值是(). A.5 B.-1 C.5或1 D.-5或-1 6.已知二次函数y=(x-m)P-1.当x≤1时y随x的增大而减小，则m的取值范围是 () A.m=1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1 7.一次函数y=x+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是( 8.(2022·贵州铜仁中考)如图，若抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C,若∠OAC=∠OCB,则ac的值为()
期中检测 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如图,要测量小河两岸相对的两点 P,A 的距离,可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C,测得 PC=100 米,∠PCA=35°,则小河宽 PA 等于( ). A.100sin 35°米 B.100sin 55°米 C.100tan 35°米 D.100tan 55°米 2.若∠α 的余角是 30°,则 cos α 的值是( ). A. 1 2 B. √3 2 C. √2 2 D. √3 3 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 AB=3BC,则 tan A 的值是( ). A. 1 3 B.3 C.2√2 D. √2 4 4.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且有|tan B-√3|+(2cos A-1)2=0,则△ABC 是 ( ). A.直角(不等腰)三角形 B.等边三角形 C.等腰(不等边)三角形 D.等腰直角三角形 5.已知抛物线 y=a(x-h) 2+k 与 x 轴有两个交点 A(-1,0),B(3,0),抛物线 y=a(x-hm) 2+k 与 x 轴的一个交点是(4,0),则 m 的值是( ). A.5 B.-1 C.5 或 1 D.-5 或-1 6.已知二次函数 y=(x-m) 2 -1.当 x≤1 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是 ( ). A.m=1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1 7.一次函数 y=ax+b 的图象如图所示,则二次函数 y=ax2+bx 的图象可能是( ). 8.(2022·贵州铜仁中考)如图,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,若∠OAC=∠OCB,则 ac 的值为( )
A.-1 B.-2 c D 9.对于题目“一段抛物线Ly=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线1y=x+2有唯一公共点，若 c为整数，确定所有c的值”，甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或c=4,则() A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 10.二次函数y=ar2+bx+c(a0)的大致图象如图所示(10:②abc<0:③若OC=2OA,则2b-ac=4:④3a-c<0.其中正确的个数是 () h A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的 端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按 相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺 上的读数约为 cm(结果精确到0.1cm参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°0.80，tan37°0.75) 12.如图，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续 航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向.若灯塔P正南方向4海里的C处是 港口，点A,B,C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为海里.（结 果保留根号) 东 60e 45
A.-1 B.-2 C.- 1 2 D.- 1 3 9.对于题目“一段抛物线 L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线 l:y=x+2 有唯一公共点,若 c 为整数,确定所有 c 的值”,甲的结果是 c=1,乙的结果是 c=3 或 c=4,则( ). A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确 10.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示(10;②abc<0;③若 OC=2OA,则 2b-ac=4;④3a-c<0.其中正确的个数是 ( ). A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11.如图,将 45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点 O 与尺下沿的 端点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数恰为 2 cm.若按 相同的方式将 37°的∠AOC 放置在该刻度尺上,则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺 上的读数约为 cm.(结果精确到 0.1 cm.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 12.如图,一艘货轮由西向东航行,在 A 处测得灯塔 P 在它的北偏东 60°方向,继续 航行到达 B 处,测得灯塔 P 在它的东北方向.若灯塔 P 正南方向 4 海里的 C 处是 港口,点 A,B,C 在一条直线上,则这艘货轮由 A 到 B 航行的路程为 海里.(结 果保留根号)
13.已知坐标平面上有一直线1，其方程式为y+2=0,且1与二次函数y=3x2+a的图 象相交于A,B两点，与二次函数y=-2x2+b的图象相交于C,D两点，其中a,b为整 数.若AB=2,CD=4,则a+b的值为 14.抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3),若平移该抛物线使其顶点移动到 点P1(2,-2),那么得到的新抛物线的一般式是 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点 P为抛物线对称轴上一点，连接OA,OP.当OA⊥OP时，点P的坐标为 16.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在 教学楼底部点E处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部 的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1:0.75,坡长CD=2米，若旗杆底部到 坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为 (参考数据：sin 58°0.85.cos58°0.53，tan58°≈1.6) 教 D 三、解答题（共66分） 17.(7分)阅读理解题： B 下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值.方法如下： 解：构造Rt△ABC,其中∠C=90°，∠ABC=45°，如图. 延长CB到D,使BD=AB,连接AD,则∠D-∠ABC=22.5°. 设AC=a,则BC=a,AB=BD=√Za 又CD=BD+CB=(1+V2a,∴tanD=tan22.5°=4e=a CD (+v)a =V2-1. 利用以上方法求tan15°的值 18.(7分)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF,∠F= ∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12√2，试求CD的长
13.已知坐标平面上有一直线 l,其方程式为 y+2=0,且 l 与二次函数 y=3x 2+a 的图 象相交于 A,B 两点,与二次函数 y=-2x 2+b 的图象相交于 C,D 两点,其中 a,b 为整 数.若 AB=2,CD=4,则 a+b 的值为 . 14.抛物线的顶点为 P(-2,2),与 y 轴交于点 A(0,3),若平移该抛物线使其顶点移动到 点 P1(2,-2),那么得到的新抛物线的一般式是 . 15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+x 的对称轴为直线 x=2,顶点为 A.点 P 为抛物线对称轴上一点,连接 OA,OP.当 OA⊥OP 时,点 P 的坐标为 . 16.如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在 教学楼底部点 E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部 的距离 DE=7 米,升旗台坡面 CD 的坡度 i=1∶0.75,坡长 CD=2 米,若旗杆底部到 坡面 CD 的水平距离 BC=1 米,则旗杆 AB 的高度约为 .(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6) 三、解答题(共 66 分) 17.(7 分)阅读理解题: 下面利用 45°角的正切,求 tan 22.5°的值.方法如下: 解:构造 Rt△ABC,其中∠C=90°,∠ABC=45°,如图. 延长 CB 到 D,使 BD=AB,连接 AD,则∠D=1 2 ∠ABC=22.5°. 设 AC=a,则 BC=a,AB=BD=√2a. 又 CD=BD+CB=(1+√2)a,∴tan D=tan 22.5°= 𝐴𝐶 𝐶𝐷 = 𝑎 (1+√2)𝑎 = √2-1. 利用以上方法求 tan 15°的值. 18.(7 分)一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F= ∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12√2,试求 CD 的长
19.(9分)已知关于x的二次函数y=x2-(2m+3)x+m2+2 (I)若二次函数的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围： (2)设二次函数的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(2,0),且满足x子+x2=31+x1x2,求 实数m的值. 20.(9分)某超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是160元，为了合理定价，投放市 场进行试销.据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价 每降低1元，每天就可多售出6双（售价不得低于160元双），设每双降低售价x元 (x为正整数)，每天的销售利润为y元 (I)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围： (2)每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 21.(11分2022贵州遵义中考)新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c(其中ab≠0)与 抛物线y=br2+ar+c称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线” 为y=3x2+2x+1.已知抛物线C1y=4ar2+ar+4a-3(a0)的“关联抛物线”为C2 (1)写出C2的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标： (2)若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N. ①当MN=6a时，求点P的坐标 ②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值」 22.(11分)随州市新氵厥水一桥（如图(1）)设计灵感来源于市花一兰花，采用蝴蝶 兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道.斜拉桥又称斜张桥，主 要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图(2)所示，索塔AB和 斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC)均在同一平面内，BC 在水平桥面上.己知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD 图(1) B4 图(2) (I)求最短的斜拉索DE的长： (2)求最长的斜拉索AC的长
19.(9 分)已知关于 x 的二次函数 y=x2 -(2m+3)x+m2+2. (1)若二次函数的图象与 x 轴有两个交点,求实数 m 的取值范围; (2)设二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(x1,0),B(x2,0),且满足𝑥1 2 + 𝑥2 2=31+|x1x2|,求 实数 m 的值. 20.(9 分)某超市准备代销一款运动鞋,每双的成本是 160 元,为了合理定价,投放市 场进行试销.据市场调查,销售单价是 200 元时,每天的销售量是 40 双,而销售单价 每降低 1 元,每天就可多售出 6 双(售价不得低于 160 元/双),设每双降低售价 x 元 (x 为正整数),每天的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)每双运动鞋的售价定为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少? 21.(11 分)(2022·贵州遵义中考)新定义:我们把抛物线 y=ax2+bx+c(其中 ab≠0)与 抛物线 y=bx2+ax+c 称为“关联抛物线”.例如:抛物线 y=2x 2+3x+1 的“关联抛物线” 为:y=3x 2+2x+1.已知抛物线 C1:y=4ax2+ax+4a-3(a≠0)的“关联抛物线”为 C2. (1)写出 C2 的表达式(用含 a 的式子表示)及顶点坐标; (2)若 a>0,过 x 轴上一点 P,作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1,C2 于点 M,N. ①当 MN=6a 时,求点 P 的坐标; ②当 a-4≤x≤a-2 时,C2 的最大值与最小值的差为 2a,求 a 的值. 22.(11 分)随州市新氵厥水一桥(如图(1))设计灵感来源于市花——兰花,采用蝴蝶 兰斜拉桥方案,设计长度为 258 米,宽 32 米,为双向六车道.斜拉桥又称斜张桥,主 要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉桥的部分截面图如图(2)所示,索塔 AB 和 斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均在同一平面内,BC 在水平桥面上.已知∠ABC=∠DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6 米,AB=5BD. 图(1) 图(2) (1)求最短的斜拉索 DE 的长; (2)求最长的斜拉索 AC 的长
23.(12分)如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4(a0)与y轴交于点A, 与x轴交于点C(-2,0),且经过点B(8,4),连接AB,BO,作AMLOB于点M,将 Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N解答下列问题： (1)抛物线的表达式为 ,顶点坐标为 (2)判断点N是否在直线AC上，并说明理由； (3)如图(2)，将图(1)中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF.若DE边在线段 OB上，点F在抛物线上，连接AF,求四边形AMEF的面积， 图(1) VA 图(2) 答案： 一、选择题 1.C2.A3.D4.B5.C6.C7.D8.A9.D10.C 二、填空题 11.2.7 12.4v3-4 13.1 14y=2x2-x-1 15.(2,-4) 16.13.1米 三、解答题 17.解：如图，构造Rt△ABC,其中∠C=90°，∠ABC=30° 0- C 延长CB到D,使BD=AB,连接AD,则∠D-∠ABC=15°· 设AC=a,则ABnc=n0-2a .BC=AB.cos∠ABC=2acos30°=V3a,BD=2a. ∴.CD=2a+V3a=(2+V3a
23.(12 分)如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)与 y 轴交于点 A, 与 x 轴交于点 C(-2,0),且经过点 B(8,4),连接 AB,BO,作 AM⊥OB 于点 M,将 Rt△OMA 沿 y 轴翻折,点 M 的对应点为点 N.解答下列问题: (1)抛物线的表达式为 ,顶点坐标为 ; (2)判断点 N 是否在直线 AC 上,并说明理由; (3)如图(2),将图(1)中 Rt△OMA 沿着 OB 平移后,得到 Rt△DEF.若 DE 边在线段 OB 上,点 F 在抛物线上,连接 AF,求四边形 AMEF 的面积. 图(1) 图(2) 答案： 一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C 二、填空题 11.2.7 12.4√3-4 13.1 14.y= 1 4 x 2 -x-1 15.(2,-4) 16.13.1 米 三、解答题 17.解:如图,构造 Rt△ABC,其中∠C=90°,∠ABC=30°. 延长 CB 到 D,使 BD=AB,连接 AD,则∠D=1 2 ∠ABC=15°. 设 AC=a,则 AB= 𝐴𝐶 sin∠𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 sin30° =2a, ∴BC=AB·cos∠ABC=2a·cos 30°=√3a,BD=2a. ∴CD=2a+√3a=(2+√3)a
tamD=tan15°告=aa23 18.解：过点B作BMLFD于点M在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=45°，AC=12V2, ..BC=AC=12V2 :AB∥CF,BM=BC×sin45°-=12V2×=12,CM=BM=12. 在Rt△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴.∠EDF=60°. .MD=BM÷tan60°=4v3 ∴.CD=CM-MD=12-4v3. 19.解：(1)由题意，得[-(2m+3)P-4×1×(m2+2)>0,解得m> (2)由根与系数的关系可知，x1+x2=2m+3,x12=m2+2. 由x子+x2=31+x1x2l, 得(x1+x2)P-2x1x2=31+x1x2l, (2m+32-2×(m2+2)=31+m2+2, 整理得m2+12m-28=0, 解得m1=2,m2=-14(舍去)，当m=2时，满足x子+x2=31+x1x2 20.解：(1)根据题意可得y=(200-x-160)(40+6x)=-6x2+200x+1600, x的取值范围为1≤x≤40，且x为正整数. (2)=6+20x+160=-6(x.+2且x为正整数 ∴.当x=17,即售价定为每双183元时y有最大值，最大值为3266元 .每双运动鞋售价定为183元时，该款运动鞋每天可获得最大利润为3266元. 21.解(1)根据“关联抛物线”的定义，可得C2的表达式为y=ar2+4ar+4a-3. y=ar2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3, .C2的顶点坐标为(-2，-3). (2)①设点P的横坐标为m ,过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N, ∴.Mm,4am2+am+4a-3), N(m,am2+4am+4a-3). .MN=4am2+am+4a-3-(am2+4am+4a-3)=|3am2-3aml. .MN=6a, ∴.l3am2-3am=6a. 解得m=-1或m=2, .P(-1,0)或(2,0)
∴tan D=tan 15°= 𝐴𝐶 𝐶𝐷 = 𝑎 (2+√3)𝑎 =2-√3. 18.解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, ∠A=45°,AC=12√2, ∴BC=AC=12√2. ∵AB∥CF,∴BM=BC×sin 45°=12√2 × √2 2 =12,CM=BM=12. 在 Rt△EFD 中,∠F=90°,∠E=30°,∴∠EDF=60°. ∴MD=BM÷tan 60°=4√3. ∴CD=CM-MD=12-4√3. 19.解:(1)由题意,得[-(2m+3)]2 -4×1×(m2+2)>0,解得 m>- 1 12 . (2)由根与系数的关系可知,x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2. 由𝑥1 2 + 𝑥2 2=31+|x1x2|, 得(x1+x2) 2 -2x1x2=31+|x1x2|, (2m+3)2 -2×(m2+2)=31+m2+2, 整理得 m2+12m-28=0, 解得 m1=2,m2=-14(舍去),当 m=2 时,满足𝑥1 2 + 𝑥2 2=31+|x1x2|. 20.解:(1)根据题意可得 y=(200-x-160)(40+6x)=-6x 2+200x+1 600, x 的取值范围为 1≤x≤40,且 x 为正整数. (2)∵y=-6x 2+200x+1 600=-6(𝑥- 50 3 ) 2 + 9 800 3 ,且 x 为正整数, ∴当 x=17,即售价定为每双 183 元时,y 有最大值,最大值为 3 266 元. ∴每双运动鞋售价定为 183 元时,该款运动鞋每天可获得最大利润为 3 266 元. 21.解:(1)根据“关联抛物线”的定义,可得 C2 的表达式为 y=ax2+4ax+4a-3. ∵y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2 -3, ∴C2 的顶点坐标为(-2,-3). (2)①设点 P 的横坐标为 m, ∵过点 P 作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1,C2 于点 M,N, ∴M(m,4am2+am+4a-3), N(m,am2+4am+4a-3). ∴MN=|4am2+am+4a-3-(am2+4am+4a-3)|=|3am2 -3am|. ∵MN=6a, ∴|3am2 -3am|=6a. 解得 m=-1 或 m=2, ∴P(-1,0)或(2,0)
②.C2的解析式为y=a(x+2)2-3, .当x=-2时y=-3. 当x=a-4时y=a(a-4+2)2-3=a(a-2)2-3, 当x=a-2时y=a(a-2+2)2-3=a3-3 根据题意可知，需要分三种情况讨论： 第1种情况，当a-4≤-2≤a-2,即0<a≤2时， 当0<a≤1时，函数的最大值为a(a-2)2-3,函数的最小值为-3， ∴.a(a-2)2-3-(-3)=2a,解得a=2-V2或a=2+V2(舍后者)： 当1≤a≤2时，函数的最大值为a-3,函数的最小值为-3， .a3-3-(-3)=2a,解得a=√Z或a=-v2(舍后者)月 第2种情况，当-2≤a-4≤-2，即a≥2时 函数的最大值为a3-3,函数的最小值为a(a-2)P-3, ∴.a3-3-[a(a-2)2-3]=2a, 解得a=舍月 第3种情况，当a-4≤a-2≤-2，即a≤0时，不符合题意，舍去. 综上，a的值为2-VZ或√② 22.解：(1).∠ABC=∠DEB=45°， ∴.△BDE为等腰直角三角形. ,BE=6米， DE=BE-sin B=6x=3V2(米)】 ∴.最短的斜拉索DE的长为3VZ米 (2)如图，作AH⊥BC于点H, BD=DE=3V2.AB=5BD. .AB=5BD=5×3V2=15VZ 在Rt△ABH中，.∠B=45 BH=4H=AB-sinB=15V2sin45°=-15V2×Ξ-=15. 在Rt△ACH中，，∠C=30°， AC=4但=5-30. sinc=习 ∴.最长的斜拉索AC的长为30米 23.解：(1).抛物线y=ar2+bx+4(a≠0)与x轴交于点C(-2,0),且经过点B(8,4), -8=6的2中6+4解 a=- b=
②∵C2 的解析式为 y=a(x+2)2 -3, ∴当 x=-2 时,y=-3. 当 x=a-4 时,y=a(a-4+2)2 -3=a(a-2)2 -3, 当 x=a-2 时,y=a(a-2+2)2 -3=a3 -3. 根据题意可知,需要分三种情况讨论: 第 1 种情况,当 a-4≤-2≤a-2,即 0<a≤2 时, 当 0<a≤1 时,函数的最大值为 a(a-2)2 -3,函数的最小值为-3, ∴a(a-2)2 -3-(-3)=2a,解得 a=2-√2或 a=2+√2(舍后者); 当 1≤a≤2 时,函数的最大值为 a 3 -3,函数的最小值为-3, ∴a 3 -3-(-3)=2a,解得 a=√2或 a=-√2(舍后者); 第 2 种情况,当-2≤a-4≤a-2,即 a≥2 时, 函数的最大值为 a 3 -3,函数的最小值为 a(a-2)2 -3, ∴a 3 -3-[a(a-2)2 -3]=2a, 解得 a= 3 2 (舍); 第 3 种情况,当 a-4≤a-2≤-2,即 a≤0 时,不符合题意,舍去. 综上,a 的值为 2-√2或√2. 22.解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°, ∴△BDE 为等腰直角三角形. ∵BE=6 米, ∴DE=BE·sin B=6× √2 2 =3√2(米). ∴最短的斜拉索 DE 的长为 3√2米. (2)如图,作 AH⊥BC 于点 H, ∵BD=DE=3√2,AB=5BD, ∴AB=5BD=5×3√2=15√2. 在 Rt△ABH 中,∵∠B=45°, ∴BH=AH=AB·sin B=15√2·sin 45°=15√2× √2 2 =15. 在 Rt△ACH 中,∵∠C=30°, ∴AC= 𝐴𝐻 sin𝐶 = 15 1 2 =30. ∴最长的斜拉索 AC 的长为 30 米. 23.解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)与 x 轴交于点 C(-2,0),且经过点 B(8,4), ∴{ 0 = 4𝑎-2𝑏 + 4, 4 = 64𝑎 + 8𝑏 + 4, 解得{ 𝑎 = - 1 5 , 𝑏 = 8 5
抛物线的表达式为y=2++4 “y=2+2x+4=x4+ 项点坐标为(4，) 故答案为=2+x+4(4,) 5 (2)点N在直线AC上 理由如下：抛物线y=2+导+4与y轴交于点A, .点A(0,4),即OA=4. 点B(84),∴AB∥x轴，AB=8 .AB⊥AO,∠OAB=90°， ∴.∠OAM+∠BAM=90° .AMLOB, .∠BAM+∠B=90°， ∴.∠B=∠OAM ÷tan∠B=tan∠0AM-g=台=月 ,将Rt△OMA沿y轴翻折， ∴.∠NAO=∠OAM, ∴tan∠NA0=tan∠OAM-月 .OC=2,OA=4, ÷tan∠C40-%=克 ∴.tan∠CAO=tan∠NAO, ∴.∠CAO=∠NAO, ∴AN,AC共线， .点N在直线AC上 (3).点B(8,4),点O0,0) “直线OB的关系式为y= .Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF,∴.AF∥OB, 1 y=-x+4, “直线AF的关系式为y之+4，联立方程组 =x2+x+4, 5 解得=0或 2 y1=4 “点（告） .Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF, ∴.Rt△OMA≌Rt△DEF,OA=DF,OA∥DF
∴抛物线的表达式为 y=- 1 5 x 2+ 8 5 x+4. ∵y=- 1 5 x 2+ 8 5 x+4=- 1 5 (x-4)2+ 36 5 , ∴顶点坐标为(4, 36 5 ). 故答案为 y=- 1 5 x 2+ 8 5 x+4,(4, 36 5 ). (2)点 N 在直线 AC 上. 理由如下:∵抛物线 y=- 1 5 x 2+ 8 5 x+4 与 y 轴交于点 A, ∴点 A(0,4),即 OA=4. ∵点 B(8,4),∴AB∥x 轴,AB=8, ∴AB⊥AO,∠OAB=90°, ∴∠OAM+∠BAM=90°. ∵AM⊥OB, ∴∠BAM+∠B=90°, ∴∠B=∠OAM, ∴tan∠B=tan∠OAM=𝑂𝐴 𝐴𝐵 = 4 8 = 1 2 . ∵将 Rt△OMA 沿 y 轴翻折, ∴∠NAO=∠OAM, ∴tan∠NAO=tan∠OAM=1 2 . ∵OC=2,OA=4, ∴tan∠CAO=𝑂𝐶 𝑂𝐴 = 1 2 , ∴tan∠CAO=tan∠NAO, ∴∠CAO=∠NAO, ∴AN,AC 共线, ∴点 N 在直线 AC 上. (3)∵点 B(8,4),点 O(0,0), ∴直线 OB 的关系式为 y= 1 2 x. ∵Rt△OMA 沿着 OB 平移后,得到 Rt△DEF,∴AF∥OB, ∴直线 AF 的关系式为 y= 1 2 x+4,联立方程组{ 𝑦 = 1 2 𝑥 + 4, 𝑦 = - 1 5 𝑥 2 + 8 5 𝑥 + 4, 解得{ 𝑥1 = 0, 𝑦1 = 4 或{ 𝑥2 = 11 2 , 𝑦2 = 27 4 , ∴点 F( 11 2 , 27 4 ). ∵Rt△OMA 沿着 OB 平移后,得到 Rt△DEF, ∴Rt△OMA≌Rt△DEF,OA=DF,OA∥DF
.SAOMA=SADEF,四边形OAFD是平行四边形. :四边形AMEF的面积=Sg边形AMDF+SADEF=Sg政形AMDF+S△OAM=S边新OAFD, .四边形AMEF的面积=S。影0AFD=4×号=22 2
∴S△OMA=S△DEF,四边形 OAFD 是平行四边形. ∵四边形 AMEF 的面积=S 四边形 AMDF+S△DEF=S 四边形 AMDF+S△OAM=S 四边形 OAFD, ∴四边形 AMEF 的面积=S 四边形 OAFD=4× 11 2 =22