第二十二章检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.将抛物线y=3x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线为 (C) Ay=3(x-2)2-1 B.y=3x-2)2+1 Cy=3(x+2)2-1 Dy=3(x+2)2+1 2.对于二次函数y=-x-1P+2的图象与性质，下列说法正确的是(B) A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2 C.对称轴是直线x=-1,最小值是2 D.对称轴是直线x=-1,最大值是2 3.若抛物线y=(x-m)P+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为 (B). A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-12 D.不能确定 5.己知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围 是(D) A.m=-1 B.m=3 C.m<-1 D.m2-1 6某座桥桥洞的形状是一个抛物线，如图所示.该抛物线的解析式为y=x2,当水位 在AB位置时，桥洞内的水面宽为12m,此时水面离桥洞顶部的高度OC是(B)】
第二十二章检测 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.将抛物线 y=3x 2向左平移2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,所得抛物线为 (C). A.y=3(x-2)2 -1 B.y=3(x-2)2+1 C.y=3(x+2)2 -1 D.y=3(x+2)2+1 2.对于二次函数 y=-(x-1)2+2 的图象与性质,下列说法正确的是(B). A.对称轴是直线 x=1,最小值是 2 B.对称轴是直线 x=1,最大值是 2 C.对称轴是直线 x=-1,最小值是 2 D.对称轴是直线 x=-1,最大值是 2 3.若抛物线 y=(x-m) 2+(m+1)的顶点在第一象限,则 m 的取值范围为 (B). A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1y2 D.不能确定 5.已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值范围 是(D). A.m=-1 B.m=3 C.m≤-1 D.m≥-1 6.某座桥桥洞的形状是一个抛物线,如图所示.该抛物线的解析式为 y=- 1 4 x 2 ,当水位 在 AB 位置时,桥洞内的水面宽为 12 m,此时水面离桥洞顶部的高度 OC 是(B)
A.3m B.9m C.2v6 m D.4v3 m 7.函数y=ax+b和y=x2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象可能是下图中的 (C). D 8.老师出示了小黑板上的题后（如图所示），小华说：过点(3,0).小彬说：过点(4,3).小明 说α=1.小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有 (C). 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点(1,0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线 x=2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.下列关于二次函数y=ar2-2ar+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是(D)】 A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
A.3 m B.9 m C.2√6 m D.4√3 m 7.函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系内的图象可能是下图中的 (C). A B C D 8.老师出示了小黑板上的题后(如图所示),小华说:过点(3,0).小彬说:过点(4,3).小明 说:a=1.小颖说:抛物线被 x 轴截得的线段长为 2.你认为四人的说法中,正确的有 (C). 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点(1,0),试添加一个条件,使它的对称轴为直线 x=2. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.下列关于二次函数 y=ax2 -2ax+1(a>1)的图象与 x 轴交点的判断,正确的是(D). A.没有交点 B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧 C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧 D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧
10.如图所示，抛物线y=ar2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和 (-2,0)之间，以下结论：①b2-4ac=0:②a+b+c>0:③2a-b=0:④c-a=3.其中正确的个数 是(B) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程 x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2=-1 03 12.对于二次函数y=(x-1)2+(x-32,当x=2时，函数取最小值， 13.如果函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值是0或1或 9 14.将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到的抛 物线是y=x2-10x+27, 15.某果园有100棵橘子树，平均每棵树可收获600个橘子.根据经验估计，在此基础 上，每增种一棵树，平均每棵树就会少收获5个橘子.设果园里增种x棵橘子树，收获 橘子的总个数为y,则当果园里增种10棵橘子树时，收获橘子的总个数最多 16.若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴只有一个交点，则c=4 三、解答题（共96分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分1)请在平面直角坐标系中画出二次函数y=-x2+2x的大致图象 (2)在同一平面直角坐标系中画出y=-x2+2x的图象向上平移2个单位长度后的图 象 (3)直接写出平移后的图象的函数解析式：
10.如图所示,抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B(-1,3),与 x 轴的交点 A 在点(-3,0)和 (-2,0)之间,以下结论:①b 2 -4ac=0;②a+b+c>0;③2a-b=0;④c-a=3.其中正确的个数 是(B). A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11.已知二次函数 y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,若关于 x 的一元二次方程 -x 2+2x+k=0 的一个解 x1=3,则另一个解 x2= -1 . 12.对于二次函数 y=(x-1)2+(x-3)2 ,当 x= 2 时,函数取最小值. 13.如果函数 y=ax2 -ax+3x+1 的图象与 x 轴只有一个交点,那么 a 的值是 0 或 1 或 9 . 14.将抛物线 y=x2 -2x 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 4 个单位长度,得到的抛 物线是 y=x2 -10x+27 . 15.某果园有100棵橘子树,平均每棵树可收获600个橘子.根据经验估计,在此基础 上,每增种一棵树,平均每棵树就会少收获 5 个橘子.设果园里增种 x 棵橘子树,收获 橘子的总个数为 y,则当果园里增种 10 棵橘子树时,收获橘子的总个数最多. 16.若二次函数 y=x2 -4x+c 的图象与 x 轴只有一个交点,则 c= 4 . 三、解答题(共 96 分,写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8 分)(1)请在平面直角坐标系中画出二次函数 y=-x 2+2x 的大致图象. (2)在同一平面直角坐标系中画出 y=-x 2+2x 的图象向上平移 2 个单位长度后的图 象. (3)直接写出平移后的图象的函数解析式
5 3 4-3-2-11 012345X -3 答案：1)2)如图所示. 4 =-2+2x+2 -4-3-2-】 01 545 1=-x2+2x 3 (3)y=-x2+2x+2. 18.(8分)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(-3,0),B(1,0),C(-2,1),交y轴于点 M (1)求抛物线的解析式 (2)D为抛物线在第二象限上的一点，作DE⊥x轴于点E,交线段AM于点F,求线段 DF的最大值，并求此时点D的坐标 9a-3b+c=0, 解：(1)由题意可知a+b+c=0, 4a-2b+c=1, (a=- 解得b=- c=1. :抛物线的解析式为 y=2号x+1 (2)把x=0代入抛物线的解析式
答案:(1)(2)如图所示. (3)y=-x 2+2x+2. 18.(8 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 A(-3,0),B(1,0),C(-2,1),交 y 轴于点 M. (1)求抛物线的解析式. (2)D 为抛物线在第二象限上的一点,作 DE⊥x 轴于点 E,交线段 AM 于点 F,求线段 DF 的最大值,并求此时点 D 的坐标. 解:(1)由题意可知{ 9𝑎-3𝑏 + 𝑐 = 0, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0, 4𝑎-2𝑏 + 𝑐 = 1, 解得{ 𝑎 = − 1 3 , 𝑏 = − 2 3 , 𝑐 = 1. ∴抛物线的解析式为 y=- 1 3 x 2 - 2 3 x+1. (2)把 x=0 代入抛物线的解析式
得y=1. :点M的坐标为(0,1) 设直线MA的解析式为y=kx+b,则 b=1, 3k+b=0,解 k=3 (b=1. :直线MA的解析式为y=x+1. 设点D的坐标为(o,x行子o+1),则点F的坐标为oo+1) DF=吉x好号o+1o+l) =x和=0+2+星 当0=时，DF有最大值 此时x号0+1-导即点D的坐标为》 19.(10分)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA,O恰好在水面中心，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形 状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上.抛物线形状如图①所示，如图 ②，建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：m)关于水平距离x(单位：m)的函 数解析式为y=-x2+2x+请回答下列问题： (1)柱子OA的高度为多少米？(3分) (2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3分) (3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池 外？(4分) 图① 图② 解(1)冷x=0,得y 故0A=m 2p=2+2x+号
得 y=1. ∴点 M 的坐标为(0,1). 设直线 MA 的解析式为 y=kx+b,则 { 𝑏 = 1, -3𝑘 + 𝑏 = 0, 解得{ 𝑘 = 1 3 , 𝑏 = 1. ∴直线 MA 的解析式为 y= 1 3 x+1. 设点 D 的坐标为(x0,- 1 3 𝑥0 2 - 2 3 x0+1),则点 F 的坐标为(x0, 1 3 x0+1). DF=- 1 3 𝑥0 2 - 2 3 x0+1-( 1 3 x0+1) =- 1 3 𝑥0 2 -x0=- 1 3 (𝑥0 + 3 2 ) 2+ 3 4 . 当 x0=- 3 2 时,DF 有最大值3 4 . 此时- 1 3 𝑥0 2 - 2 3 x0+1= 5 4 ,即点 D 的坐标为(- 3 2 , 5 4 ). 19.(10 分)某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA,O 恰好在水面中心,安置在柱子顶端的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形 状相同的抛物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上.抛物线形状如图①所示,如图 ②,建立平面直角坐标系,水流喷出的高度 y(单位:m)关于水平距离 x(单位:m)的函 数解析式为 y=-x 2+2x+5 4 ,请回答下列问题: (1)柱子 OA 的高度为多少米?(3 分) (2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?(3 分) (3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池 外?(4 分) 图① 图② 解:(1)令 x=0,得 y= 5 4 , 故 OA=5 4 m. (2)y=-x 2+2x+5 4
=x-1P+号 最大高度为m (3)冷0得x2+2x+-0,解得x1=之不合题意舍去)= 故水池半径至少为号m 20.(10分)已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P(2,1) (1)求证：c=-2b-4.(3分) (2)求bc的最值.(3分) (3)若该二次函数的图象与x轴交于点Ax1,0),Bx,0),△ABP的面积为岁求b的值.(4 分) (1)证明：将点P(2,1)代入函数解析式，即1=4+2b+c+1. 整理得c=-2b-4. (2)解：bc=b(-2b-4)=-2(b+1)2+2, 所以b=-1时，bc有最大值2. (3)解：由题意，得Bx1=子故AB=2-x12即2-xP-2即6x1+2P-4x12-由根与 系数的关系得x1+x2=-b,x1xn=C+1=-2b-4+1=-2b-3,代入1+22-4x1x2=2得 (-b-4(2b-3)-号整理得62+8b+9-0,解得1=2b加=号经检验均合题意 21.(12分)如图，已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且 与x轴交于不同的两点A,B,点A的坐标是(1,0)， (1)求c的值. (2)求a的取值范围 (3)该二次函数的图象与直线y=1交于C,D两点，设A,B,C,D四点构成的四边形的 对角线相交于点P,记△PCD的面积为S,△PAB的面积为S2,当0<a<1时，求证 S-S2为常数，并求出该常数 y=ax2+bx+c 解：(1)将点C(0,1)代入y=ax2+bx+c,得c=1. (2)由第(1)题知y=ar2+bx+1,将点A(1,0)代入得a+b+1=0
=-(x-1)2+ 9 4 . 最大高度为9 4 m. (3)令 y=0 得-x 2+2x+5 4 =0,解得 x1=- 1 2 (不合题意,舍去),x2= 5 2 . 故水池半径至少为 5 2 m. 20.(10 分)已知二次函数 y=x2+bx+c+1 的图象过点 P(2,1). (1)求证:c=-2b-4.(3 分) (2)求 bc 的最值.(3 分) (3)若该二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1,0),B(x2,0),△ABP 的面积为3 4 ,求 b 的值.(4 分) (1)证明:将点 P(2,1)代入函数解析式,即 1=4+2b+c+1. 整理得 c=-2b-4. (2)解:bc=b(-2b-4)=-2(b+1)2+2, 所以 b=-1 时,bc 有最大值 2. (3)解:由题意,得 1 2 AB×1= 3 4 ,故 AB=|x2-x1|=3 2 ,即|x2-x1| 2= 9 4 ,即(x1+x2) 2 -4x1x2= 9 4 .由根与 系数的关系得 x1+x2=-b,x1·x2=c+1=-2b-4+1=-2b-3,代入(x1+x2) 2 -4x1x2= 9 4得 (-b) 2 -4(-2b-3)= 9 4 ,整理得 b 2+8b+39 4 =0.解得 b1=- 3 2 ,b2=- 13 2 .经检验均合题意. 21.(12 分)如图,已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1),且 与 x 轴交于不同的两点 A,B,点 A 的坐标是(1,0). (1)求 c 的值. (2)求 a 的取值范围. (3)该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C,D 两点,设 A,B,C,D 四点构成的四边形的 对角线相交于点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0<a<1 时,求证 S1-S2 为常数,并求出该常数. 解:(1)将点 C(0,1)代入 y=ax2+bx+c,得 c=1. (2)由第(1)题知 y=ax2+bx+1,将点 A(1,0)代入得 a+b+1=0
.:b=-(a+1) 二次函数为y=ax2-(a+1)x+1. :二次函数y=ar2-(a+1)x+1的图象与x轴交于不同的两点， .:>0,而4=[-(a+1)]2-4a=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2, .:a的取值范围是a>0,且a1 (3)证明：：0<a<1, 对称轴为x=器岩1 AB=21)= 把y=1代入y=ax2-(a+1)x+1,得 ax2-(a+1)x=0. 解得x1=02=1+ cD=培2 :S1-S=SaCD-SAPAR=Sa4CD-SaCB×CDx0CxAB×0C=x2x1x2g×1=l, :S-S2为常数，这个常数为1. 22.(12分)已知抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3) (1)求出m的值并在图中画出这条抛物线， (2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标 (3)当x取何值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取何值时y的值随x值的增大而减小？ 解：(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3)，得m=3,所以抛物线为 y=-x2+2x+3.(图象略) (2)由-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,2=3. :抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0)
∴b=-(a+1). ∴二次函数为 y=ax2 -(a+1)x+1. ∵二次函数 y=ax2 -(a+1)x+1 的图象与 x 轴交于不同的两点, ∴Δ>0,而 Δ=[-(a+1)]2 -4a=a2+2a+1-4a=a2 -2a+1=(a-1)2 , ∴a 的取值范围是 a>0,且 a≠1. (3)证明:∵01, ∴AB=2( 𝑎+1 2𝑎 -1)= 1−𝑎 𝑎 . 把 y=1 代入 y=ax2 -(a+1)x+1,得 ax2 -(a+1)x=0. 解得 x1=0,x2= 1+𝑎 𝑎 , ∴CD=1+𝑎 𝑎 , ∴S1-S2=S△PCD-S△PAB=S△ACD-S△CAB= 1 2 ×CD×OC- 1 2 ×AB×OC=1 2 × 1+𝑎 𝑎 ×1- 1 2 × 1−𝑎 𝑎 ×1=1, ∴S1-S2 为常数,这个常数为 1. 22.(12 分)已知抛物线 y=-x 2+(m-1)x+m 与 y 轴交于点(0,3). (1)求出 m 的值并在图中画出这条抛物线. (2)求它与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标. (3)当 x 取何值时,抛物线在 x 轴上方? (4)当 x 取何值时,y 的值随 x 值的增大而减小? 解:(1)由抛物线 y=-x 2+(m-1)x+m 与 y 轴交于点(0,3),得 m=3,所以抛物线为 y=-x 2+2x+3.(图象略) (2)由-x 2+2x+3=0, 解得 x1=-1,x2=3. ∴抛物线与 x 轴的交点为(-1,0),(3,0)
y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, :抛物线顶点坐标为(1,4) (3)由图象可知：当-1<x<3时，抛物线在x轴上方 (4)由图象可知：当x之1时y的值随x的增大而减小 23.(12分)如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100m,支撑桥的是 一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10（不考虑立柱的粗细），其中距A点 10m处的立柱FE的高度为3.6m (1)求正中间的立柱OC的高度 (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由. AF 0 解：以AB中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示 (1) 设y=ax2+c.将(50,0).(40， 3.6)代入得 (0=2500a+c, 3.6=1600a+c, 解和2=1004 即y=-0.004x2+10, 当x=0时y=10, .:立柱OC的高度为10m (2)不存在 0C=5,当y=5时， 5=-0.004x2+10.解得x=25y2m 因每隔10m一根立柱，故不存在一根立柱其高度恰好是OC的一半 24.(12分)）李先生投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.在销售过程中发现： 每月销售量单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系可近似地看作一次函 数y=-10x+500
∵y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线顶点坐标为(1,4). (3)由图象可知:当-1<x<3 时,抛物线在 x 轴上方. (4)由图象可知:当 x≥1 时,y 的值随 x 的增大而减小. 23.(12 分)如图是一个抛物线形拱桥的示意图,桥的跨度 AB 为 100 m,支撑桥的是 一些等距的立柱,相邻立柱间的水平距离为 10 m(不考虑立柱的粗细),其中距 A 点 10 m 处的立柱 FE 的高度为 3.6 m. (1)求正中间的立柱 OC 的高度. (2)是否存在一根立柱,其高度恰好是 OC 的一半?请说明理由. 解:以 AB 中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示. (1) 设 y=ax2+c.将(50,0),(-40, 3.6)代入得 { 0 = 2500𝑎 + 𝑐, 3.6 = 1600𝑎 + 𝑐, 解得{ 𝑎 = −0.004, 𝑐 = 10, 即 y=-0.004x 2+10, 当 x=0 时,y=10, ∴立柱 OC 的高度为 10 m. (2)不存在. 1 2 OC=5,当 y=5 时, 5=-0.004x 2+10.解得 x=25√2 m. 因每隔 10 m 一根立柱,故不存在一根立柱其高度恰好是 OC 的一半. 24.(12 分)李先生投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯.在销售过程中发现, 每月销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系可近似地看作一次函 数:y=-10x+500
(1)设李先生每月所获利润为w(单位：元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最 大利润？ (2)如果李先生想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李先生想要 每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价 ×销售量) 解：(1)由题意，得w=(x-20)y=(x-20)(←10x+500)=-10x2+700x-10000.当x=之=35 2a 时，w有最大值 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润 (2)由题意，得 -10x2+700x-10000=2000 解得x1=30,x2=40. 答：李先生想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元 (3)a=-10<0,:抛物线开口向下. .:当30≤≤40时，w≥2000 :x≤32，.：30s≤32时，w≥2000 :y=-10x+500,k=-10<0, y随x的增大而减小 .:当x=32时y最小值=180 :当进价一定时销售量越小，成本越小， .:20×180=3600(元) 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元. 25.(12分)如图，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点，其顶点为C. (1)对于任意实数m,是否存在点M(m,-2)在该抛物线上？请说明理由 (2)求证：△ABC是等腰直角三角形 (3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P,使得以B,C,D,P为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)若点M在该抛物线上，则
(1)设李先生每月所获利润为 w(单位:元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最 大利润? (2)如果李先生想要每月获得 2 000 元的利润,那么销售单价应定为多少元? (3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元,如果李先生想要 每月获得的利润不低于 2 000 元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价 ×销售量) 解:(1)由题意,得 w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000.当 x=- 𝑏 2𝑎 =35 时,w 有最大值. 答:当销售单价定为 35 元时,每月可获得最大利润. (2)由题意,得 -10x 2+700x-10 000=2 000. 解得 x1=30,x2=40. 答:李先生想要每月获得 2 000 元的利润,销售单价应定为 30 元或 40 元. (3)∵a=-10<0,∴抛物线开口向下. ∴当 30≤x≤40 时,w≥2 000. ∵x≤32,∴30≤x≤32 时,w≥2 000. ∵y=-10x+500,k=-10<0, ∴y 随 x 的增大而减小. ∴当 x=32 时,y 最小值=180. ∵当进价一定时,销售量越小,成本越小, ∴20×180=3 600(元). 答:想要每月获得的利润不低于 2 000 元,每月的成本最少为 3 600 元. 25.(12 分)如图,已知抛物线 y=x2 -4x+3 与 x 轴交于 A,B 两点,其顶点为 C. (1)对于任意实数 m,是否存在点 M(m,-2)在该抛物线上?请说明理由. (2)求证:△ABC 是等腰直角三角形. (3)已知点 D 在 x 轴上,那么在抛物线上是否存在点 P,使得以 B,C,D,P 为顶点的四 边形是平行四边形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)若点 M 在该抛物线上,则
-2=m2-4m+3, 即m24m+5=0. 因为4=b2-4ac=(-4)2-4×1×5=-4<0, 所以方程m2.4m+5=0无实数解. 所以对于任意实数m,点Mm,-2)不在该抛物线上 [注：也可由y=x24x+3=(x-2)2-1≥-1说明] (2)由y=x2-4x+3=(x-2)2-1,可得C(2,-1) 令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,2=3. 所以A(1,0),B(3,0) 该抛物线的对称轴为直线x=2,它与x轴的交点为E(2,0), 可知AE=EB=EC=1,∠AEC=90° 所以△ABC是等腰直角三角形 (3)存在这样的点P理由如下： 由第(2)题知C(2,-1). I.当四边形以BD为对角线时，设Px,1) 过点P作BC的平行线（如图所示）交x轴于点D,连接CD,PB,作PF⊥x轴于点F 因为BC∥PD,由第(2)题知∠DBC=45 所以∠PDF=45° 又PF=L,所以PD=V2 由第(2)题知BC=V2,:BC=PD 所以四边形BCDP是平行四边形 由于点P在该抛物线上，将Px,1)代入y=x2-4x+3,得x2.4x+3=1. 解得x1=2-√Z,x2=2+VZ 所以此时点P有两个，即P1(2-√瓦，1)，P2(2+V2,1)
-2=m2 -4m+3, 即 m2 -4m+5=0. 因为 Δ=b2 -4ac=(-4)2 -4×1×5=-4<0, 所以方程 m2 -4m+5=0 无实数解. 所以对于任意实数 m,点 M(m,-2)不在该抛物线上. [注:也可由 y=x2 -4x+3=(x-2)2 -1≥-1 说明] (2)由 y=x2 -4x+3=(x-2)2 -1,可得 C(2,-1). 令 y=0,得 x 2 -4x+3=0,解得 x1=1,x2=3. 所以 A(1,0),B(3,0). 该抛物线的对称轴为直线 x=2,它与 x 轴的交点为 E(2,0). 可知 AE=EB=EC=1,∠AEC=90°. 所以△ABC 是等腰直角三角形. (3)存在这样的点 P.理由如下: 由第(2)题知 C(2,-1). Ⅰ.当四边形以 BD 为对角线时,设 P(x,1). 过点 P 作 BC 的平行线(如图所示)交 x 轴于点 D,连接 CD,PB,作 PF⊥x 轴于点 F. 因为 BC∥PD,由第(2)题知∠DBC=45°, 所以∠PDF=45°. 又 PF=1,所以 PD=√2. 由第(2)题知 BC=√2,∴BC=PD, 所以四边形 BCDP 是平行四边形. 由于点 P 在该抛物线上,将 P(x,1)代入 y=x2 -4x+3,得 x 2 -4x+3=1. 解得 x1=2-√2,x2=2+√2. 所以此时点 P 有两个,即 P1(2-√2,1),P2(2+√2,1)