目录 第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数…1 第1课时正切 第2课时正弦和余弦…4 230°，45°，60°角的三角函数值…7 3三角函数的计算… 10 4解直角三角形… 13 5三角函数的应用 16 第1课时方向角… 16 第2课时仰角、俯角… 19 第3课时坡度、坡角… 23 6利用三角函数测高 26 微专题一利用锐角三角函数解决实际问题…。 29 第二章二次函数 1二次函数 30 2二次函数的图象与性质 33 第1课时二次函数y=a.x2的图象与性质… 33 第2课时二次函数y=a.x2十k的图象与性质 36 第3课时二次函数y=a(.x一h)2的图象与性质 39 第4课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质…42 第5课时二次函数y=a.x2十bx十c的图象与性质 45 3确定二次函数的表达式… 48 第1课时已知两点确定二次函数表达式（一般式，顶，点式）…48 第2课时已知三，点确定二次函数表达式（一般式，交点式）… 51 4二次函数的应用… 时 第1课时利用二次函数求最大面积问题… 54 第2课时利用二次函数解决抛物线型问题…… 以 第3课时利用二次函数求最大利润问题… 60 5二次函数与一元二次方程… 63 第1课时二次函数与一元二次方程的关系… 63 第2课时利用二次函数的图象估计一元二次方程的根… 66 微专题二二次函数中的动点问题和存在性问题…69 1
目录 第三章圆 1圆… 70 2圆的对称性 73 ·3垂径定理 76 4圆周角和圆心角的关系 … 79 第1课时圆周角和圆心角的关系…79 第2课时圆内接四边形…82 5确定圆的条件 85 6直线和圆的位置关系… 88 第1课时直线和圆的位置关系、切线的性质… 第2课时切线的判定、三角形的内切圆… 2 7切线长定理… 94 8圆内接正多边形 97 9弧长及扇形的面积… 100 第1课时孤长… 100 第2课时扇形面积 … 103 微专题三圆中常见的辅助线的作法 106 检 测 第一章检测 …107 第三章检测 …125 第二章检测 112 期末检测 ……131 期中检测 118 2
第一章 直角三角形的边角关系 锐角三角函数 第1课时 正切 基础·自主梳理 1.如图，在Rt△ABC 3.tan A.tan A=(tan A)2,(tan A)2 ∠A的对边 中，如果锐角A确定，那 A∠ 常写成tanA,而不能写成tanA 么∠A的对边与邮边 ∠A的邻边 2.如图，在Rt△ABC中， 的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记 ∠C=90°，BC=4,AC=2,则 作tanA,即tanA= ∠A的对边 ∠A的邮边 tanA等于(B). 温馨提示 A号 B.2 C 5 D.√5 1.tanA是一个完整的符号，它表示 3.如图，P(12,a)在反比例 ∠A的正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”.tanA不能写成tan·A,也不能理解 函数)y-的图象上，PHL 成tan与∠A的乘积. 轴于点H,则tan∠POH的值 2.对三个大写字母表示成的角（如 ∠ABC),其正切应写成tan∠ABC,不能 为最 4.坡面的铅直高度与水平宽度的比称 写成tan ABC.同样地，tan∠1也不能写 为坡度（或坡比）， 成tanl. 核心·重难探究 知识点一：正切 【例1】如图，在4×4的正方形方格中， △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小 正方形顶点上，则tan∠ACB的值为多少？ 1
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 思路点拨(1)图中的∠ACB与∠EFD 知识点二：坡度 相等吗？ 【例2】如图，河坝横断 、B (2)图中的△ABC与△DEF相似吗？ 面迎水坡AB的坡度是1： 解由匀股定理，得BC=2√2，AC=2√5， √3（坡度是坡面的铅直高度 DF=10,DE=√2， BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3m,求 B馬 坡面AB的长度. AC-AB-BC 2 思路点拨(1)在Rt△ABC中，已知坡面 .△FDE∽△CAB AB的坡度、铅直高度BC的值，可以求出 ∴.∠DFE=∠ACB. 的值； ∴tan ZACB=tan/DFE=I (2)利用 定理可以求出坡面 AB的长. 【方法归纳】 解在Rt△ABC中， 求一个锐角正切值的方法： .BC=3 m,tan A= BC 1 (1)若已知两直角边，则直接根据锐角的 C-3' 正切的定义求出正切值， ..AC= BC tan A=3/3 m. (2)若已知斜边和一条直角边，则先利用 勾股定理求出另一条直角边，再根据锐角的 .AB=√AC+BC=6m. 正切的定义求出正切值， 【方法归纳】 (3)若直接求锐角的正切值有困难，则可 已知坡度、铅直高度（或水平宽度），利用 利用“相等的角的正切值相等”转化为求另一 个直角三角形的锐角的正切值. “坡度= 铅直高度”可求水平宽度（或铅直高 水平宽度 度)，再利用勾股定理可求出坡面的长度. 新知·训练巩固 1.(2022·天津中考)tan45的值等于(B). BA A.2 B.1 2.1) c号 n号 (第2题图) (第3题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC= 3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点 2BC,则tanA的值是(A). B(2,1),则tana的值是(A). A司 B.2 n号 A.司 B.2 n 2
第一章直角三角形的边角关系\ 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5, 则tanA的值为多少？ AC=3,则tanB的值为(D). 解在△ABC中， .BC=5,AC= 12,AB=13, B ∴.BC2+AC2=5+122=132=AB A c D .△ABC是直角三角形，∠C=90. 5.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13, .'.tan A= BC 5 AC=12 素能·演练提升 1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3 AD的中点，若EF=2, 倍，则锐角A的正切值(B). BC=5,CD=3,求tanC A缩小为原来的号 B.不变 的值 解如图所示，连接BD, C.扩大为原来的3倍D.扩大为原来的6倍 ·E,F分别是AB 2.如图，有一斜坡AB,坡 B AD的中点， 顶B离地面的高度BC ∴.BD=2EF4. 为30m,斜坡的倾斜角 A .BC=5,CD=3,..BC2=BD2+CD2 是∠BAC,若an∠BAC=号，则此斜坡的 .△BCD是直角三角形. 水平宽度AC为(A). ianc- CD-3 A.75mB.50mC.30m D.12m 7.如图，为了测量山坡护坡石坝 3.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点 BC的坡度（坡面的铅直高度 上，则tanA的值为(A). 与水平宽度的比称为坡度)， A B② 把一根长5m的竹竿AC斜靠 C.2 D.2√2 在石坝旁，量出竿长1m处的点D离地面 的高度DE=0.6m,又量得竿底与坝脚的 距离AB=3m,求石坝的坡度， 解如图，过点C作CF⊥AB 于点F,则DE∥CF, AD (第3题图) (第4题图) AC= 4.如图，修建抽水站时，沿着坡度=1：√的斜 8=g-82 坡铺设水管.若测得水管A处的铅垂高度为 8m,则所铺设水管AC的长度为(D). 解得CF=3m. A.8 m B.12 m C.14 m D.16 m 在Rt△ACF中，AF=√JAC2-CF2= 5.某人沿坡度=4：3的斜坡前进50米后，他 √52-32=4m. 所在的位置比原来的位置升高了40米. 又AB=3m,∴.BF=43=1(m). 6.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, 万提的技度器早3 3
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 第2课时 正弦和余弦 基础·自主梳理 1.如图，在Rt△ABC中，如果锐角A 4.锐角A的正弦、余弦和正切叫做 确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜 ∠A的三角函数， 边的比也随之确定 温馨提示 斜边 乙A的对边 1.在锐角三角函数中，自变量∠A的 取值范围是0°<∠A<90°，函数值的取值 ∠A的邻边 (1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正 范围是0<sinA<1,0<cosA<1, tan A0. 弦，记作sinA,即sinA= ∠A的对边 斜边 2.锐角三角函数之间的关系： (2)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 (1)互余两角的三角函数关系：如果 余弦，记作cosA,即cosA= ∠A的邻边 ∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB, 斜边 cos A=sin B,tan A.tan B=1. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5, (2)同角三角函数关系：sin2A十cos2A AC=12,则sinB的值是(D). A是 B号 C n岩 1;tan A=sin A cos A' 3.如图，已知在Rt△ABC 5.在△ABC中，∠C=90,imA=号， 中，∠ACB=90°，AC=1,AB= BC=4,则AB的值是10· B 2,则snB的值是2· 6.sinA的值越大，梯子越陡；cosA的 值越小，梯子越陡。 核心·重难探究 知识点一：正弦 入号 R25 【例1】如图，△ABC的各 个顶点都在正方形网格的格 c.f D.V10 5 点上，则sinA的值为(A). 思路点拨首先根据图形构造 三角形，进而利用sinA= 求出即可. 4
第一章直角三角形的边角关系、 【方法归纳】 思路点拨如图，根据题意画出 图形，可得 设 3 首先要观察这个角是否在一个直角三角 形中，边的比值可否求出.若不在一个直角三 AC=3.x(x>0),则AB=5.x,利用勾股定理， 角形中，则可以根据图形的特征构造成在各 得 解出x的值，进而可得AB 边长容易求出的直角三角形中，进而求出这 的长。 个角的正弦值， 【方法归纳】 知识点二：余弦 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 解决这类问题可以根据题意画出图形， 直观地找出各个量之间的关系，利用勾股定 4,cosA=号，则AB的长度是(C) 理和三角函数求解即可. A.3 B.4 C.5 D20 新知·训练见固 1.在正方形网格中，∠AOB如图 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果 放置，则sin∠AOB=(B). 25」 A写 B26 asA-号那么mB= 5 OB. 5 c号 D.2 B 2.在△ABC中，∠ABC=90°.若AC=100, 5.如图，在直角坐标系中，P P(6,y sinA-号则AB的长是(D》 是第一象限内的点，其坐标 是(6，y),且OP与x轴的 0 A59 B08 C.60 D.80 正半轴的夹角α的正切值是专，求角a的正 3.在直角三角形中，各边都扩大到原来的2 弦值 倍，则锐角A的正弦值与余弦值都(C). 解作PC⊥X轴于点C P(6,y A.缩小为原来的2 .'tan a= 号0c=6, 人 B.扩大到原来的2倍 ∴.PC=OC·tana=8. C.不变 D.不能确定 则OP=√OC2+PC2=10. na=68-号 5
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 素能·演练提升 1.如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格 7.如图，已知∠ACB=90°， 点上，则cos∠ABC的值为(B). DE⊥AB,垂足为点E, A号 c D2② AB=10,BC=6,求 3 sin∠BDE,cos∠BDE, E tan∠BDE的值. D 解：∠ACB=90,AB=10,BC=6, .AC=√AB2-BC2=√/10-6=8. :∠C=∠BED=90,∠B=∠B, .∠BDE=∠A (第1题图) (第2题图) n∠BDE=snA=S= AB= 2.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=a,∠ADC=B,则竹竿AB cas∠BD5cosA=A8g,tan∠BDE 与AD的长度之比为(B). tan A= BC3 AC-4 A.tana B.sin 8.如图，已知直线1∥l2∥ tan B sin a 13∥1，相邻两条平行直线 C.ama D.cos B cos a 间的距离都是1，如果正 3.在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC: 方形ABCD的四个顶点 CA:AB=5:12 13,cos B=(C ) 分别在四条直线上，求sina的值. A是 B号 c是 n号 解过点D作EF⊥h,交h于点E,交4于点F E 4.直线y=一2(x一1)十1与水平线所夹锐角 的余弦值是(C) A司 B-司 c号 D.一5 5 ,EF⊥h,h∥2∥3∥4， 5.如图，将一张矩形纸片ABCD折起，使顶点 .EF和l2,k,4的夹角都是90， C落在C处，测量得AB=4,DE=8.则 即EF与l2,3,4都垂直， cos∠CED为(D. ∴.DE=1,DF2 ,四边形ABCD是正方形， A.2 B.立 C② 2 .∠ADC=90,AD=CD, ∴.∠ADE+∠CDF=90. 又∠a+∠ADE=90, ∴.∠a=∠CDF. :AD=CD,∠AED=∠DFC=90°， (第5题图)》 (第6题图) ∴.△ADE≌△DCF.∴.DE=CF=1. 6.如图，若点A的坐标为(1，w3),则sin∠1 在Rt△CDF中，CD=√CF2+DF2=√5， 2 sma=sn2c0r5后得 6
第一章直角三角形的边角关系\ 一230°，45°，60°角的三角函数值 基础·自主梳理 1.特殊角的三角函数值 (3)规律记忆法：30°，45°，60°角的三 三角函数 角函数值中，正弦值和余弦值的分母都是 角a sin a cos a tan a 2,正切值的分母是3，它们分子的被开方 30° 3 3 数可简记为：1,2,3；3,2,1；3,9,27. 2 2 3 2.当锐角α的度数逐渐增大时，正弦 值和正切值随之逐渐增大，而余弦值随之 45° 1 2 2 逐渐减小 3.通过该表可以方便地知道30°，45°， 60° 3 2 3 60°角的各三角函数值；同样地，如果知道 了一个锐角的三角函数值，那么也可以求 温馨提示 出这个锐角的度数 1.记忆特殊角的三角函数值可以采 用如下的方法： 2.tan30的值等于(A). (1)图形记忆法：根据特殊角所在的 A⑧ A号 C.1 D.2 直角三角形记忆. (2)列表记忆法：如上表所示， 3.计算：sin30°= 2· 核心·重难探究 知识点一：特殊角的三角函数值 C.145 D.150 【例1】把一把直 思路点拨首先根据特殊角的三角函数 尺与一块三角板如图 值求得 的度数，然后根据直角三 角形的两个锐角互余求出 ,再根 放置，若sin∠1=2， 29 据平行线的性质即可求出 则∠2的度数为(B). 【方法归纳】 A.1201 B.135° 解决这类问题要注意数形结合，正确运 7
儿家庭作业·数学·九年级·下册·配北师大版 用特殊角的三角函数值、直角三角形的性质、 成的角为30 平行线的性质求解即可， 又CML MB,即△CMB为直角三角形， 知识点二：特殊角的三角函数值的应用 .sin∠CBM=sin30= CMCM 【例2】如图， BC=32 放置在水平桌面上 ∴.CM=16. 的台灯的灯臂AB BF 在Rt△ABF中，,sinBAF-sin60=BA, 长为42cm,灯罩 60°入4 BC长为32cm,底 受5解得B5213 座厚度为2cm,灯臂与底座构成的角为60°. 使用发现，光线最佳时，灯罩BC与水平线所 又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90, .四边形BFDM为矩形， 成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度 ∴.MD=BF CE是多少厘米？ .CE=CM+MD+DE=CM+BF+ 思路点拨作AD⊥CE,BM⊥CE,BF⊥ AD.根据sin∠CBM=sin30°= ED=16+21√3+2=18+21W3. 求出CM的长，根据sin∠BAF=sin60°= :.此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是 ,求出BF的长，得出 (18+21√3)cm. 的长，即可得出CE的长. 解如图，作AD⊥CE, C 【方法归纳】 BM⊥CE,BF⊥AD M530B 解决这类问题先正确构造出直角三角 灯罩BC长为32cm,光 形，再利用特殊角的三角函数值求解 线最佳时灯罩BC与水平线所 D---. Fh60AA 即可. 新知· 训练巩固 1.2sin45的值等于(B). △ABC是等边三角形 A.1 B.√2 C.3 D.2 解由|tanB-3l+(2sinA-3Y=0,得 2.在△ABC中，∠C=90,sinA= 之，则tanB tan2B-3=0,2sin A-/3=0. :∠A,∠B均为锐角， 的值为(D). A司 B③ C② D .tan B-3.sin 3 .∠A=60,∠B=60. 3.已知a为锐角，tan(90°一a)=√3，则a的度 ∴.∠C=180-∠A∠B=60. 数为30 .∴.∠C=∠A=∠B=60, 4.在△ABC中，已知∠A,∠B均为锐角，且 .△ABC是等边三角形. |tanB-3十(2sinA-√5)2=0，试说明 ○素能·演练提升 1.(2022·贵州毕节中考)计算√⑧+|-2|× B.32 cos45的结果，正确的是(B). C.22+√5 A.√2 D.22+2 8