家庭侯亚 微专题二 二次丞数中的动点问题和存在性问题
微专题二 二次函数中的动点问题和存在性问题
专题（一）二次函数中的动点问题 1.(2022·贵州贵阳中考)已知二次函数y=x2+4x+b. (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含，b的代数式表示）； (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A,B两 点，AB=6,且图象过(1，c),(3,,(-1,e),(-3,)四点，判断c,d,ef的大 小，并说明理由 (3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点，当-2≤m≤1时，n 的取值范围是-1≤n≤1，求二次函数的表达式
专题(一) 二次函数中的动点问题 1.(2022·贵州贵阳中考)已知二次函数y=ax2+4ax+b. (1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数式表示); (2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x轴交于A,B两 点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(-1,e),(-3,f)四点,判断c,d,e,f的大 小,并说明理由; (3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当-2≤m≤1时,n 的取值范围是-1≤n≤1,求二次函数的表达式
解：(1)y=x2+4ax+b=k+2)2-4a+b, .二次函数图象的顶点坐标为(-2，-4+b) (2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=2, 当>0时，抛物线开口向上， .3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3), ∴.d>c>e=f 当1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3), ..dc<e=f
解:(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2 -4a+b, ∴二次函数图象的顶点坐标为(-2,-4a+b). (2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x=-2, 当a>0时,抛物线开口向上, ∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3), ∴d>c>e=f. 当a1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3), ∴d<c<e=f
(3)当>0时，抛物线开口向上x>2时y随x的增大而增大， ∴.m=-2时，n=-1;m=1时，n=1, a= 2 .-1=4a-8a+b,解得 (1=a+4a+b, 2+5
(3)当a>0时,抛物线开口向上,x>-2时,y随x的增大而增大, ∴m=-2时,n=-1;m=1时,n=1, ∴ -𝟏 = 𝟒𝒂-𝟖𝒂 + 𝒃, 𝟏 = 𝒂 + 𝟒𝒂 + 𝒃, 解得 𝒂 = 𝟐 𝟗 , 𝒃 = - 𝟏 𝟗 , ∴y= 𝟐 𝟗 x 2 + 𝟖 𝟗 x- 𝟏 𝟗
当-2时y随x的增大而减小， .∴m=-2时，n=1;m=1时，n=-1, 2 (4a-8a+b=1,解得 a=- a+4a+b=-1, 1 等上所选，4减号+号
当a-2时,y随x的增大而减小, ∴m=-2时,n=1;m=1时,n=-1, ∴ 𝟒𝒂-𝟖𝒂 + 𝒃 = 𝟏, 𝒂 + 𝟒𝒂 + 𝒃 = -𝟏, 解得 𝒂 = - 𝟐 𝟗 , 𝒃 = 𝟏 𝟗 . ∴y=- 𝟐 𝟗 x 2 - 𝟖 𝟗 x+𝟏 𝟗 . 综上所述,y= 𝟐 𝟗 x 2 + 𝟖 𝟗 x- 𝟏 𝟗 或 y=- 𝟐 𝟗 x 2 - 𝟖 𝟗 x+𝟏 𝟗
2.如图，抛物线=2x2+hx-2与轴交于A,B两点，与轴交于点C, 且A(-1,0) (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)判断△ABC的形状，证明你的结论； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点， 当△ACM周长最小时，求点M的坐标 及△ACM的周长
2.如图,抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C, 且A(-1,0). (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)判断△ABC的形状,证明你的结论; (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点, 当△ACM周长最小时,求点M的坐标 及△ACM的周长. 𝟏 𝟐
解：()点A(-1,0)在抛物线之x2+-2上， “2-IP+bx-1)-2-0,解得b-号 3 “抛物线的表达式为22 y02(x}2-吾 顶点D的坐标为(》
解:(1)∵点 A(-1,0)在抛物线 y= 𝟏 𝟐 x 2 +bx-2 上, ∴ 𝟏 𝟐 ×(-1)2 +b×(-1)-2=0,解得 b=- 𝟑 𝟐 . ∴抛物线的表达式为 y= 𝟏 𝟐 x 2 - 𝟑 𝟐 x-2. ∵y= 𝟏 𝟐 x 2 - 𝟑 𝟐 x-2= 𝟏 𝟐 𝒙- 𝟑 𝟐 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟖 , ∴顶点 D 的坐标为 𝟑 𝟐 ,- 𝟐𝟓 𝟖
(2)当x=0时y=-2,∴.C(0,-2),0C=2. 当0时222=0， 解得x1=-1,2=4,∴B(4,0). .'.OA=1,OB=4,AB=5. ·.AB2=25,AC2=0A2+OC2=5,BC2=0C2+OB2=20, .∴AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形
(2)当x=0时,y=-2,∴C(0,-2),OC=2. 当 y=0 时, 𝟏 𝟐 x 2 - 𝟑 𝟐 x-2=0, 解得x1 =-1,x2 =4,∴B(4,0). ∴OA=1,OB=4,AB=5. ∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20, ∴AC2+BC2=AB2 . ∴△ABC是直角三角形
(3)如图所示，连接AM, 点A关于对称轴的对称点为B,BC交对称轴于点M,根据轴对 称性及两，点之间线段最短可知，MC+MA的值最小， 即△ACM周长最小N 设直线BC的表达式为y=kc+, 则k+十=0解k=台 d=-2
(3)如图所示,连接AM, 点A关于对称轴的对称点为B,BC交对称轴于点M,根据轴对 称性及两点之间线段最短可知,MC+MA的值最小, 即△ACM周长最小. 设直线BC的表达式为y=kx+d, 则 𝒅 = -𝟐, 𝟒𝒌 + 𝒅 = 𝟎, 解得 𝒅 = -𝟐, 𝒌 = 𝟏 𝟐
.直线BC的表达式为yx-2 当x时y=罩M(, ,'.△ACM的周长是AC+AM+MC=AC+BC=v5+2V5=3v5
∴直线 BC 的表达式为 y= 𝟏 𝟐 x-2. 当 x= 𝟑 𝟐 时,y=- 𝟓 𝟒 ,∴M 𝟑 𝟐 ,- 𝟓 𝟒 . ∴△ACM 的周长是 AC+AM+MC=AC+BC= 𝟓+2 𝟓=3 𝟓