第四章根轨迹分析法自动控制原理第四章根轨迹法4.1根轨迹法基本概念4. 2绘制根轨迹图的基本规则4.3控制系统的根轨迹绘制4.4根轨迹法分析
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 第四章 根轨迹法 4.4 根轨迹法分析 4.1 根轨迹法基本概念 4.2 绘制根轨迹图的基本规则 4.3 控制系统的根轨迹绘制
第四章根轨迹分析法自动控制原理4.1根轨迹法基本概念根轨迹法基本概念闭环零、极点与开环零、极点之间的关系幅角条件和幅值条件
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 4.1根轨迹法基本概念 根轨迹法基本概念 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 幅角条件和幅值条件
第四章根轨迹分析法自动控制原理根轨迹法基本概念闭环控制系统稳定闭环极点（即闭环特征方程根）性、瞬态响应特性??希望按性能要求置于合适的位置??系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便。根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。系统特征根的图解方法广义根轨迹：系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为O到8
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 根轨迹法基本概念 !系统特征根的图解方法 根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系 统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个 根形成一条轨迹。 广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。 ??希望按性能要求置于合适的位置。 闭环极点（即闭环特征方程根） 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 ??系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便
第四章根轨迹分析法自动控制原理闭环零、木极点与开环零、极点间的关系C(s)。(s-z,)(s-p,)R(s)G(s)G(s)(s) =1 + G(s)H(s)I(s-p,)(s- p,)+K(s-z,)(s-z,)H(s)Sm个零点(m=f +1)T(s-z)n个极点(n=q+h)KG(tis+1)(t2's?+E2T2s+1)..1=G(s) =/s(T,s+1)(T,'s* +5,T,s+1).(s-p.)i=l前向通道增益前向通道根轨迹增益(s-z,) (s-z)T,T2G(s)H(s)=K)Kc=K(s-p.) (s-p,)T,T2m个零点(m=f+1)反馈通道根轨迹增益开环系统根轨迹增益Z.前向通道零点反馈通道零点II(s-z,)n个极点(n=q+h)H(s)+K.K'=KKHII(s-p,)P前向通道极点P反馈通道极点i=l
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 闭环零、极点与开环零、极点间的关系 = = − − = + + + + + + = q i 1 i f i 1 i ' G 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 G 1 2 (s p ) (s z ) K s (T s 1)(T s T s 1) K ( s 1)( s s 1) G(s) 前向通道根轨迹增益 2 1 2 2 ' 1 2 T T KG KG = = = − − = h j 1 j l j 1 j ' H (s p ) (s z ) H(s) K 反馈通道根轨迹增益 前向通道增益 = = = = − − − − = h j 1 j l j 1 j q i 1 i f i 1 i ' (s p ) (s z ) (s p ) (s z ) G(s)H(s) K ' H ' G ' K = K K i z j z i p j p 开环系统根轨迹增益 前向通道零点 反馈通道零点 前向通道极点 反馈通道极点 = = = = = = − − + − − − − = + = f i 1 l j 1 i j ' q i 1 h j 1 i j f i 1 h j 1 i j ' G (s p ) (s p ) K (s z ) (s z ) K (s z ) (s p ) 1 G(s)H(s) G(s) (s) m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h) m个零点(m=f + l ) n个极点(n= q + h)
第四章根轨迹分析法自动控制原理ka(s-z)(s-p)(s) =1(s- p)(s- p,)+k'(s-z,)(s-z,)1)闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2)闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关;3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益，单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益：K'=KKH（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 = = = = = = − − + − − − − = f i l j i j q i h j i j f i h j G i j s p s p K s z s z K s z s p s 1 1 ' 1 1 1 1 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。 1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点； 2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环 特征方程找出闭环极点。 单位反馈系统 （1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益； （2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。 ' H ' G ' K = K K
第四章根轨迹分析法自动控制原理幅角条件和幅值条件D(s) = 1+G(s)H(s) = 0C(s)R(s)G(s)G(s)H(s) = -1根轨迹方程H(s)I(s-z,)G(s)H(s) = K -Im个零点=-1(s -p,)n个极点i=l(n≥m)s-z幅角条件（k=0,1,2，）幅值条件K=1≥Z(s -z,)-Z(s-p,)=±(2k + 1)元ITs- p:l=i=1）幅角条件只与开环零、极点1）幅值条件不但与开环零、极点有关有关，还与开环根轨迹增益有关；2）充要条件：2）必要条件：！！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K”的值
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 幅角条件和幅值条件 D(s) = 1+ G(s)H(s) = 0 根轨迹方程 G(s)H(s) = −1 m个零点 n个极点 （nm） 1 (s p ) (s z ) G(s)H(s) K n i 1 i m i 1 i ' = − − − = = = 1 s p s z K n i 1 i m i 1 i ' = − − = 幅值条件 = 1）幅值条件不但与开环零、极点 有关，还与开环根轨迹增益有关； 2）必要条件： = = − − − = + n i 1 i m i 1 i (s z ) (s p ) (2k 1) 幅角条件（k=0,1,2, .） 1）幅角条件只与开环零、极点 有关 2）充要条件： ！！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来 确定已知根轨迹上某一点K’的值
第四章根轨迹分析法自动控制原理4.2绘制根轨迹图的基本规则V根轨迹的起点和终点>根轨迹分支数绘制注意点根轨迹的连续性和对称性1)实轴、虚轴相同的刻度>实轴上的根轨迹2)“×”、“O">根轨迹的渐近线3)加粗线及箭头>根轨迹的分离点4)关键点的标注V根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 4.2绘制根轨迹图的基本规则 ➢根轨迹的起点和终点 ➢根轨迹分支数 ➢根轨迹的连续性和对称性 ➢实轴上的根轨迹 ➢根轨迹的渐近线 ➢根轨迹的分离点 ➢根轨迹的起始角和终止角 ➢根轨迹与虚轴的交点 ➢闭环特征方程根之和与根之积 2）“×” 、 “〇” 3）加粗线及箭头 1）实轴、虚轴相同的刻度 4）关键点的标注 ！绘制注意点
第四章根轨迹分析法自动控制原理根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点s - p.lK'=i=l幅值条件27Is - z,li=lS值必须趋近于K'=0>根轨迹起始于开环极点某个开环极点S值必须趋近于K'= 8>根轨迹终止于开环零点某个开环零点
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点 幅值条件 = = − − m i i n i i s z s p K 1 ' ＝ 1 0 ' K = s值必须趋近于 某个开环极点 →根轨迹起始于开环极点 = ' K s值必须趋近于 某个开环零点 →根轨迹终止于开环零点
第四章根轨迹分析法自动控制原理根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点>系统根轨迹有n个分支10 系统特征方程的阶次为n次一特征方程有n个根K变化(O到8）,n个根随着变化→>n条根轨迹2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即n>m。m条终止于开环零点（有限值零点）：(n-m)条根轨迹分支终止于（n-m）个无限远零点
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 根轨迹分支数 n阶系统，根轨迹有n个起始点， →系统根轨迹有n个分支 2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点， 即 n > m。 m条终止于开环零点（有限值零点)； （n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限 远零点。 1）系统特征方程的阶次为n次→特征方程有n个根 K变化(0到∞ ),n个根随着变化→n条根轨迹
第四章根轨迹分析法自动控制原理根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续曲线，且对称于实轴闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根！仅需先购画出S平面上半部和实轴上的根轨迹下半部由镜象求得
第四章根轨迹分析法 自动控制原理 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。 闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下， 各根分别是K的连续函数； 特征方程的根为实根或共轭复数根。 ！仅需先购画出S平面上半部和实轴上的根轨迹， 下半部由镜象求得