CH13拉普拉斯变换(LaplaceTransformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用：运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。$13-1拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。教学难点：用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换教学方法：课堂讲授。教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在[0,]区间的函数f(1),其拉氏变换F(s)定义为:F(s)=L[f(t))= f(t)e"dt式中：s=6+jα为复数，有时称变量S为复频率。应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[]”表示对方括号内的函数作拉氏变换，三、几个常见函数的拉氏变换1.s(t)的拉氏变换fo t<0(t)=-[1 t≥0.F(0)-e(0-Ise-d---02..8(t)的拉氏变换o1+0;(t)=[8(0)dt=1 t=0.s13-2拉普拉斯变换的基本性质
CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations) 本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路 图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。 §13-1 拉普拉斯变换定义 教学目的：拉普拉斯变换的定义。 教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。 教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、引言 拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要 的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中 的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变 换）法的优点所在。 二、拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在 区间的函数 f (t) ,其拉氏变换 F(s) 定义为: − = = 0 F(s) L[ f (t)] f (t) e -stdt 式中：s=б+jω为复数，有时称变量 S 为复频率。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。 F(s)又称为 f(t)的象函数，而 f(t)称为 F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号 内的函数作拉氏变换。 三、几个常见函数的拉氏变换 1．(t)的拉氏变换 = 1 0. 0 0; ( ) t t t s e s F s L t t e dt e dt st st st 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 0 = = = = = − − − − − − 2． (t) 的拉氏变换 = = = + − ( ) 1 0. 0 0; ( ) t dt t t t §13-2 拉普拉斯变换的基本性质
教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。教学重点：拉普拉斯变换的性质。教学难点：用拉普拉斯变换的性质求得象函数。教学方法：课堂讲授。教学内容：一、唯一性定义在[0,0]区间的时间函数()与其拉氏变换F(S)存在一一对应关系。根据()可以唯一的确定其拉氏变换F(s)，反之，根据F(s)，可以唯一的确定时间函数J(C)。唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。二、线性性质若()和()是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为()和F(s)，A和A是两个任意常数，则有：[Af(t)±AJ2(@)]=AZ[(t))AZ[f2(t)]=AF(s)+AF,(s)【证]：根据拉氏变换的定义可得[AJi(t)+AJ2(t)]=[[A(t) +A(t)]e-"dt=AJi(e"dt+A()e-"dt= A,F(s) + A,F2 (s)[例]：求sincot的拉氏变换。[解]:ej-e-jot由于 sin cot =2jejt-e-ia所以[sin at]=LLle-Z[e-ot ]2j2j111@$+022(s-jos+jo三、时域导数性质（微分性质）Z[F (t)) = sF(s) -(0.)证()]=J()e"at
教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质， 可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性 质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 教学重点：拉普拉斯变换的性质。 教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、唯一性 定义在 区间的时间函数 与其拉氏变换 存在一一对应关系。根据 可以 唯一的确定其拉氏变换 ；反之，根据 ，可以唯一的确定时间函数 。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复 频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明 从略。 二、线性性质 若 和 是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 和 ， 和 是 两个任意常数，则有： [证]：根据拉氏变换的定义可得 [例]：求 的拉氏变换。 [解]： 三、时域导数性质（微分性质）
设u=e-",du=f(t)at,则u=f(t),du=-se",代入分布积分公式[ud=-可得I" '(t)e-t dt = f(t)e-" 1. -I" f()(-se")dt如果>0，则当t→时，)e-→0，所以上式为 J (t)e" dt = -f(0_)+sJ (t)e-" dt = sF(s)-f(0.)此性质可推至n阶Z[ (t)]= s F(s)-sf(0_) - f (0_):Z[ g() (0)] = s" F(s) - s(x-1) (0.) - s(x-2) '(0.) -..- sf(x-2) (0_) - f (nr-1)(0.)[例]：应用时域导数性质求Coscot的象函数。[解]:因为d(sin at)-ocosadt1 d(sin a)_二(sin a)所以cos ct=dt@故(sin ct)-(s. L[sin at] - sin at lt-o.)Z[cos at ] =LOCSs2+02s2+02四、时域积分性质（积分规则)若()=F(s),则/()的积分(s)d的拉氏变换为, (5)d5)=IF()证Z ()ds)- ()dse" at-I ()ds(-1)设u=f ()ds,d=d(-_e-")则du= f()dt,=-。-，代入分布积分公式可得, (d1-d ()da(-l)6 +0(od如果>0则当→时，等式右边第一项趋于零，当t=0时，此项也等于零。所以 ()a)--(0)e"t-F(0)求单位斜坡函数。()=及了="的象函数。[例]:[解]:
[例]：应用时域导数性质求 的象函数。 [解]： 四、时域积分性质（积分规则） [例]： 求单位斜坡函数 及 的象函数。 [解]：
因为r()=t=1()dg[r (0)] = [4]-1. 1- 1所以sss又因为5() =1* =21'sdg41- 421 241- 40-所以s依次为推，可得五、时域平移性质（延迟性质）若[F(t))=F(s),则有[f(t-to)-1(t -to)) = e-"F(s)证[f(t-to)-1(t-to)]=f(t-to)1(t-to)e-"dt- f( -to)e"dt令t=t-，则t=+，代如上式得L[(t-to) 1(t-to)]=[ (t)es (++)dt=[f(t)e"r.e-*dt=e- F(s)s13-3拉普拉斯反变换教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法。教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法。教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法。教学方法：课堂讲授。教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。教学内容：一、拉普拉斯反变换在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答，求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数，可直接应用部分分式展开法。将F（s）化为如下形式：NCO - N(0)+ R(OF(s) =D(s)D(s)N(a)是 N(s)被D(s)所除而得的商：R(s)是余式，其次数低于 D(s)的次数。式中：二、D(s)=0有"个单实根
五、时域平移性质（延迟性质） §13-3 拉普拉斯反变换 教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求 待定系数法。 教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法。 教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法。 教学方法：课堂讲授。 教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。 教学内容： 一、拉普拉斯反变换 在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象 函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。 求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为 表中所列的形式。 在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是 s 的有理函数，可直接应用部分分式展 开法。将 F(s)化为如下形式： 式中： 是 被 所除而得的商； 是余式，其次数低于 的次数。 二、 有 个单实根
设D(s)=0的"个单实根分别为P1,P2.P*，则F(s)可展开为k2k+...F(s) =s-pi"s-p2s-px式中：k.k,为待定系数。若要求1，将上式两边都乘(s-p1)，得kC181(s-p)F(s)=k +(s-p)S-P2s-p令S=P1，则等式右端除1外，其余各项均为零。k, =(s- p1)F(s) /s-p故同里可求得2,，…，k。所以，确定待定系数的公式为i=1,2....,nk, =(s-p1)F(s)Is-)R(s)F(s) = D(s)，所以由于R(s)k, =(s-p,)F(s) I-- =(s-p,)=pD(S))0因为Pi是D(s)=0的一个根，所以上式为0型不定式，故可用洛比塔法则来确定*:的值(s-p,)R(s)R(s)k, =limlimD(s)D(s)5→25→P,所以，确定待定系数的另一公式为R(s)R(s)k-limDoi=1,2,,n5-2D'(s)F(s)对应的原函数为EkerJ(0) = L[F(s)]= )i1[例]:s+6s?+15s+11的原函数(t)求F(s)= $s2+5s+6[解]：先将F(s)变为多项式与有理真分式4s+5F(s)= s+1+$+5s+64s+5下面将进行部分分式展开$+5s+64s +54s+5+5$+5s+6$+2$+3(s+2)(s+3)
设 的 个单实根分别为 ，则 可展开为 式中： 为待定系数。 若要求 ，将上式两边都乘 ，得 令 ，则等式右端除 外，其余各项均为零。 故 同里可求得 。所以，确定待定系数的公式为 由于 ，所以 因为 是 的一个根，所以上式为 型不定式，故可用洛比塔法则来确定 的值 所以，确定待定系数的另一公式为 对应的原函数为 [例]： 。 [解]：
4s+54s+5=-3或= (s+ 2)-k,=lim2s+5--2=-3s2+5s+64s +5 = 7或k, =(s+3)4s +5kz=lim 2s +553=7s2+5s+6F(s) =$+1+=3+ 7所以s+2+$+3对应的原函数f(t)=5()+5(t)-3e-t+7e-3t三、D(s)=0有共轭复根的情况kyN(s)kk+..+F(s) :D(s)s-pis-pas-p%中，设D(s)=0在式有一对共轭复根，记为P1=α+jB,P2=α+jB。则在F(s)的展开式中将包含以下两项：kiks-(α+jp)s-(α-jp)其中R(s)R(s)k =[s-(α+ jB)]D(s)D'(s)R(s)R(s)k2 =[s-(α-jp)]eD(s)D(s)由于F(s)实系数有理分式，故,ka必为共轭复数。若设=le则=k，于是F(s)对应的原函数J()将是5() =ke(a+ip +ke(a-ip =le[e(0) +e-M+0)]=2kb*cos(+0)[例]:s+3F(s) =(s+1)(s°+2s+5)的原函数。求[解]:D(s)=0的根为P1 =-1,P2 = -1+ j2,P3 =-1- J2F(s)的部分分式展开式为kF(a)=+ks+1$+1-j2s+1+j2S+3-(+) (0)+23+-0.5 s+3k=(s+1- 2) (0)2=(g+1)(s+1+j2)/1+= 0.25-/2e 45kg =k2 = -0.25/2e-1450所以，相应的原函数为f(t) = L-[F(s)] = 0.5e-t - 0.5 /2e-t cos(2t + 450)四、D(s)=0有重根的情况
三、 有共轭复根的情况 在式 中，设 有一对共轭复根，记为 。则在 的展开式中将包含以下两项： 其中 由于 实系数有理分式，故 必为共轭复数。若设 则 于是， 对应的原函数 将是 [例]： 求 的原函数。 [解]： 四、 有重根的情况
设D(s)=0有一个r阶重根P1，其他均为单根，则F(s)的部分分式展开式为ki(r-1)kakirk+...kiF(s) =(s-pl)"(s-pi)"-1s-pis-p2S-Px式中系数*1,，可按前面介绍的方法确定。(s- pd"为了求得系数1,ky，可将上式两端同乘以，得到(s-pi)'F(s) = k) +(s-p)ur-) ++(s-p1)-lk +(s-p1)kytcs-pus-prl令S=PI，即可求得k = (s-p1)"F(s) --为了求出～-1)，可将上式两端对S求一次导数，再令=P1，即得三[(s- ) F(s)],-kcyr-1) =ds以此类推，可求得1 d2(s-p/)"F(S)lkr-)=21 ds:Q(r-1)1ku(-1) ds(-][(s-P1)"F(s)]-)1(s + α) *112，所以，当各系数确定后，即可求得F(s)的原函数又因为！kirkur-1)+r-2 +...+kn+r-1 +f(0) = L-[F(s)] =E(r-1)!(r - 2)C.e[例]:s+4F(s) =(s+2)(s+1)的原函数。求[解]D(s)=0有一个三重根P1=-2和一个单根P2=-1，所以，F(s)可展开ki3ki2k+kF(s) :s+2s+1(s + 2)3(s +2)2为式中
设 有一个 阶重根 ，其他均为单根，则 的部分分式展开式为 式中系数 可按前面介绍的方法确定。 为了求得系数 ，可将上式两端同乘以 ，得到 令 ，即可求得 为了求出 ，可将上式两端对 求一次导数，再令 ，即得 以此类推，可求得 又因为 ，所以，当各系数确定后，即可求得 的原函数 [例]： 求 的原函数。 [解] 有一个三重根 和一个单根 ，所以， 可展开 为 式中
fk13 = (s +2)" F(s)--2 =13~2=2s+13d-[(s+ 2)3 F(s)],--2 = k12 =(s+12/--2 =-3dsd23[(+2) (0)],--= (s+1)z/s-2 = -3cus+4 =(+P(0)-+--3-3+-3+3-2F(s) =(s +2)3(s+2)2s+2s+1所以其相应的原函数为f (t) = L- [F(s)] = -2t°e-21 3te-2t - 3e-21 + 3e= (2t2 + 3t + 3)e-21 + 3e-ts13-4运算电路教学目的：运算电路图的画法教学重点：熟练掌握运算电路图的画法，正确计入储能元件的的附加电源。教学难点：各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。教学方法：课堂讲授教学内容：基尔霍夫定律的复频域形式当电路中电压电流等时间函数均以其复频域形式的象函数表示时，电路的基本定律和元件的电压电流关系也有与之相对应的复频域形式。时域中，对任一结点有又i=0，对任一回路有厂u=0。对二式取拉氏变换并利用其线性性质可得ZI(s)=0U(s)=0二、电路元件电压电流关系的复频域形式及其电路模型1.电阻对图13-1（a）所示的线性电阻，其时域的电压电流关系为ur(t)=Ri(t)，取拉氏变换并利用其线性性质可得UR(S)=RIR(s)由此关系式可画出电阻R的复频域形式的电路模型如图13-1（b）所示。2.电感
所以 其相应的原函数为 §13-4 运算电路 教学目的：运算电路图的画法。 教学重点：熟练掌握运算电路图的画法，正确计入储能元件的的附加 电源。 教学难点：各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、基尔霍夫定律的复频域形式 二、电路元件电压电流关系的复频域形式及其电路模型 1．电阻 13-1 2．电感
对图13-2(a)所示的线性电感，其时域的电压电流关系为u2(0)=1典，取拉氏变换dt并利用其微分性质可得U,(s)=sLl,(s)-Li,(0_)式中L具有电阻的量纲，称为运算感抗，LiO）表示电感中初始电流（初始储能）对电路响应的激励，称为附加电源。它是一个电压源，此附加电压源的正极性端与电感电流的流出端总是致的，实际应用时可根据让（0_）的方向判断附加电压源的极性。图13-2（b）是按照着上式画出的电感元件复频城形式的电路模型。++UR(s)U,(s)++tURL12(s)sLI(s)RRitLi(0.)(a)(b)(a)(b)图13-2电感的复频域形式电路模图13-1电阻的复频域形式电路模型3.电容类似的，对图13-3（a)所示的线性电容，有uc()=uc(0.)+（)ds，取拉氏变换并利用其积分性质可得1c(s)+"c(0.)1Uc(s)=-SCs式中二也具有电阻的量纲，称为运算容抗，"c(0)UucscYLs示电容中初始电压（初始储能）对电路响应的激励，也icIds11~(0.)称为附加电压源，该电压源的方向与电容电压初始值方sCs向相同。图13-3b）是按照着上式画出的电容元件复频域(a)(b)形式的电路模型。实际应用中，也可根据需要将上述电图13-3电容的复频域形式电路模型感、电容的附加电压源等效为附加电流源形式（图略）。4：RLC串联电路的复频域模型在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析RLC串联电路，如下图（a），其为运算电路图如(b)图。sRRI (s)i(t)X3 UL(G)Ju (s)LiL(O-Ue (0-) /sC.HH1/ sCUe(-)(b)(a)图13-4RLC串联电路的复频域模型注意：图中的电压和电流的方向。s13-5用拉普拉斯变换进行线性电路的分析
13-1 13-2 3．电容 13-3 13-3 13-3 照着上 4．RLC 串联电路的复频域模型 在讨论各元件运算电路图的基础上，现在用运算法来分析 RLC 串联电路，如下图(a), 其为运算电路图如(b)图。 图 13-4 RLC 串联电路的复频域模型 注意：图中的电压和电流的方向。 §13-5 用拉普拉斯变换进行线性电路的分析
教学目的：会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。教学重点：熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。教学难点：跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。教学方法：多媒体，课堂讲授。教学内容：、用拉普拉斯变换分析线性电路对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：（1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。若已给出初始值，则不必再进行计算。（2）绘出电路的复频域电路图。（3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。（4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。二、下面通过几个例子来说明具体的分析方法【例1]：所示电路中，原电路已达稳态，t=0时开关K由a倒向b。试用运算法求≥0时的()RKi(t)9bC图13-5例题[解]:U,cost1(0)RVLC过程略。【例2]：试求题图所示电路的零状态响应u(t)。1%8 (t)191H1F1Fu(t)1(t)图13-6例题
教学目的：会用拉普拉斯变换进行线性电路的分析。 教学重点：熟练掌握用拉普拉斯变换进行线性电路的分析及步骤。 教学难点：跃变的问题，方向的问题，画输出曲线的问题。 教学方法：多媒体，课堂讲授。 教学内容： 一、用拉普拉斯变换分析线性电路 对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不 改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。根据复频域电路图，便可 用运算法进行分析，其一般步骤如下： （1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路 的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。若已给出初始值，则 不必再进行计算。 （2）绘出电路的复频域电路图。 （3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。 （4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。 二、下面通过几个例子来说明具体的分析方法 [例 1]：所示电路中，原电路已达稳态， 时开关 由 a 倒向 b。试用运算法求 时的 。 图 13-5 例题 [解]： 过程略。 [例 2]：试求题图所示电路的零状态响应 u(t)。 图 13-6 例题