《电路》课程教学资源（PPT课件）第十三章 拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换8 13-1拉普拉斯变换的定义s13-2拉普拉斯变换的基本性质S 13-3拉普拉斯反变换运算电路8 13-48 13-5应用拉普拉斯变换法分析线形电路福福

第十三章 拉普拉斯变换 §13-1 拉普拉斯变换的定义 §13-2 拉普拉斯变换的基本性质 §13-4 运算电路 §13-5 应用拉普拉斯变换法分析线形电路 §13-3 拉普拉斯反变换

813-1 拉普拉斯变换的定义拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程以便于求解AXB-AB乘法运算简化例1:对数变换！个为加法运算Ig A + Ig B= Ig AB例2:相量法 正弦量 i+i=i11-正弦运算简化为复数运算相量I+I,=

§13-1 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换法是一种数学变换，可将微分方程变换为代数方程以 便于求解。 例1:对数变换 A B AB A B AB lg lg lg + =     = 乘法运算简化 为加法运算 例2:相量法 • • • + =   =  + = I I I i i i 1 2 1 2 相量 正弦量 正弦运算简化 为复数运算

拉氏变换将时域函数f(t)(原函数)变换为复频域函数F(s）（象函数）1.双边拉氏变换S为复频率F(s)=r+f(t)e-"dt正变换s=o+ joJo+F (s)eds反变换f(t) =2元j(t)与F(s)一一对应当α=0,s=jの时F(jo)=[tf(t)e-jo dt 正变换傅立叶变换f(t)=F(jo)edo 反变换2元

s =  + j 1. 双边拉氏变换        = =  +  −  + − − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) F s e ds j f t F s f t e dt st j j st S为复频率 f(t)与F(s)一 一对应 当 = 0 ，s = j 时          =  =    − + − −  反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) f t F j e d F j f t e dt j t j t 傅立叶变换 拉氏变换 将时域函数f(t) (原函数)变换为 复频域函数F(s)(象函数)

t<0 ,f(t)-02.单边拉氏变换F(s)=Jtf(t)e-"dt 正变换JotrF ()e"ds 反变换f(t) =2元j积分下限从0-开始，称为0-拉氏变换0福积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换OF(s)= J.tf(t)e-" dtJ f(t)e" dt+ f(t)edt0+拉氏变换f(t)=8(t)时此项± 0今后讨论的拉氏变换均为0-拉氏变换

       = =  +  −  + − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 F s e ds j f t F s f t e dt st j j st    + − 0 0 0 积分下限从0 − 开始，称为0 − 拉氏变换。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换。 f t e dt f t e dt F s f t e dt st st st =  +  =  − + − + − + + − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f(t)=(t)时此项 0 今后讨论的拉氏变换均为0 − 拉氏变换 2. 单边拉氏变换 0 +拉氏变换 t < 0 , f(t)=0

F (s)=tf(t)e-"dt 正变换F(s)= L[r(t)简写(t) = L-'[F(s)]L+F(s)e"ds反变换f(t) =2元jF(s)称为象函数，大写字母表示,如(s)，U(s)(t)为原函数用小写字母表示，如i(t)，u(t)。3.存在条件J f(t)e dt 0积分存在e-为收敛因子

       = =   +  −  +  − − 反变换 正变换 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 F s e ds j f t F s f t e dt s t j j s t        = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f t L F s F s L f t 简写 F(s)称为象函数，大写字母表示,如I(s)，U(s)。 f(t )为原函数用小写字母表示，如i(t ), u(t )。 3.存在条件     − − f t e dt st 0 ( )     − − f t e dt t 0 ( ) e −t为收敛因子 常见函数为指数阶函数 f (t)  Me t [0,) ct f t e dt Me dt t ( c)t 0 0 ( ) − −  −    − −    C M − =   − c  0积分存在

4.典型函数的拉氏变换F (S)=It f(t)e-s dt(1)指数函数8e-(s+a)t)Lle-"t e(t)] = fo-e-ate-st dt0s+as+a(2)单位阶跃函数8stL[e(t)] = joo e(t)e-s dt = Jo+ e-"t dt1当a=0时e-"(t)=(t)(3)冲激函数LIS(t)]= J 8(t)e-st dt = J S(t)e-s0 dt =1

4.典型函数的拉氏变换 (2)单位阶跃函数 0 1  = − −st e s s 1 = (1)指数函数 L e t e e dt −at  −at −st =  − 0 [  ( )] 0 1 ( )  + = − − s+a t e s a s + a = 1   − − = 0 L[ (t)] (t)e dt st   a 0 e (t) (t) at =  =  当 时 − (3)冲激函数 =   − − 0 L[ (t)] (t)e dt st   =  + − 0 − 0 0 (t)e dt s  = 1   − + = 0 e dt st ( ) ( ) 0 F S f t e dt st  + − − =

$13-2拉普拉斯变换的基本性质F (S) = J+ f(t)e-st dt一线性若LIfi(t)I=F(S),LIf2(t)I=F(S)则L[af.(t)±bf,(t)l =aF(S)±bF,(S)证:[af (t)±bf,(t)le-"dt=af.(t)e-"dt±bf.(t)e-"dt=aF(S)bF(S)U例l:LIUe(t)/ =S(ejar - e-jar )e(t)]例2: L[sin ote(t)] = L[-jo ia0S+0

§13-2 拉普拉斯变换的基本性质 一.线性 [ ( )] ( ) , [ ( )] ( ) 若L f1 t = F1 S L f2 t = F2 S af t bf t e dt −st   − [ ( ) ( )] 0 证： 1 2 af t e dt bf t e dt st −st  −  =  −   − 0 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = aF1 S  bF2 S 例1： L[U(t)] 例2： L[sint (t)] [ ( ) ( )] 1 2 则L af t  bf t ] 1 1 [ 2 1 j S j S + j − − = ( ) ( ) = aF1 S  bF2 S 2 2   + = S ( ) ( )] 2 1 [ e e t j L j t j t   −  = − ( ) ( ) 0 F S f t e dt st  + − − = S U =

设: LLf(t)I= F(s)导数性质一df (t)1.时域导数性质LI= SF(S)-f(0)dtdf(t)StT80dt = o e-sdf(t) Judv =uv-I vdudt08- Jf(t)(-s)e-" dt-s f(t)=e"f(t)-+sJf(t)e"dt =-f(0-)+ SF(S)=e.1 d例l:LJcos ote(t)]=L[(sin ote(t)lo dt0S0=+の+のOs

二 、导数性质 1. 时域导数性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ − = SF S − f dt df t L  −  −   − − = 0 0 ( ) ( ) e dt e df t dt df t st st −  −  =  − − − − 0 ( )( ) 0 e f (t) f t s e dt st st = − f (0 ) + SF(S) − 0 2 2 − + =    s s 2 2 + = s s (sin ( ))] 1 1 [cos ( )] [ t t dt d L t t L    例 ：   = 设：L[ f (t)] = F(s)  udv = uv −  vdu +   =  − − − − 0 ( ) 0 e f (t) s f t e dt st st

例2: L/8(0)=LL6(0)1 =S-15dtdf(t)L- SF(S)-f(0)一dtd'f()) =SISF(S)- f(0)I- (0-)推广：Ldt?=sF(S)-Sf(0-)- (0~)d"f(t)LII= s"F(S) - s"- f(0-)-..- f"- (0-)dt

推广： ] ( ) [ 2 2 dt d f t L [ ( ) (0 )] (0 ) − ' − = S SF S − f − f ( ) (0 ) (0 ) 2 − ' − = S F S − Sf − f ] ( ) [ n n dt d f t L ( ) (0 ) (0 ) −1 − −1 − = − − − n n n S F S S f  f ] ( ) (0 ) ( ) [ − = SF S − f dt df t L 例2：L[ (t)] [ (t)] dt d = L  1 1 = = S S

设：LIf()I=F(S2.频域导数性质dF(S)L[-t f(t)] =dsd[ f(n)e"at -Ff()(-)e"dt - Li-f(0)证ds例l: L[te(t)]=例2: Lre(0)-(-1 4()-()例3: LIte-1 =_((S+α)dss+α

例1：L[t (t)] ) 1 ( ds S d = − ) 1 ( 2 S = 2 L[t (t)] n 例 ：  ) 1 ( 1) ( ds S d n n n = − ) ! ( +1 = n S n ) 1 ( + = − ds S d 2 ( ) 1 + = S 3 [ ] t L te 例 ： − 2.频域导数性质 dS dF S L t f t ( ) [− ( )] =   − − 0 f (t)e dt ds 证：d st =  −  − − 0 f (t)( t)e dt st = L[−tf (t)] 设：L[ f (t)] = F(S)