第13章拉普拉斯变换重点(1) :拉普拉斯变换的基本原理和性质(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤（3）电路的时域分析变换到频域分析的原理爱图爱校XrnJhaoton西安交通大学求真理nvewity
第13章 拉普拉斯变换 ⚫重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
13.1拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数t)与复变函数F（S）联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解例熟悉的变换1对数变换把乘法运算变换为加法运算 × B = ABA个北Ig A+lgB=lg AB爱国爱校XranJicotong西安交通大学求真理ey
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换 为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。 13.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 例 熟悉的变换 1 对数变换 A B AB A B AB lg lg lg + = = 把乘法运算变换为加法运算
2相量法把时域的正弦运算变换为复数运算正弦量i+i=i→=个相量i,+i, =i拉氏变换：对应时域函数大（原函数）复频域函数F（S）（象函数）简写F(s)= [f(t)]s为复频率s=o+jo应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法爱国爱校西安交通大学XriznJictotox这求真理nvwy
2 相量法 I I I i i i + = = + = 1 2 1 2 相 量 正弦量 把时域的正弦运算变换为复数运算 简写 F(s) = f (t) 对应 拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数) 复频域函数F(s)(象函数) s为复频率 s = + j 应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法
拉氏变换的定义t<0 ，f(t)=02.F(s)=-f(t)e-st dt正变换c+ioF(s)est dsf(t)反变换c-joo2元积分下限从0一开始，称为0一拉氏变换积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。今后讨论的拉氏变换均为0-拉氏变换,计及t-0时f(t)包含的冲击。爱图爱校西安交通大学XrnJhaoton求真理nvwity
2. 拉氏变换的定义 = = + − + − − ( ) (s) (s) ( ) F e ds j f t F f t e dt s t c j c j s t 2 1 0 正变换 反变换 t < 0 , f(t)=0 + − 0 0 0 积分下限从0 − 开始，称为0 − 拉氏变换 。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 今后讨论的拉氏变换均为 0 − 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含 的冲击
F(S)=± [f(t)]正变换简写f(t)= -[F(S)]反变换注F(S)= tf(t)e-" dt = ff(t)e-"dt + fff(t)e-"dt在t=0-至t=0+f(t)=8(t)时此项±0象函数F(s）用大写字母表示,如I(s)，U(s)。如i(t), u(t)。原函数(t）用小写字母表示，象函数F(s）存在的条件：Jof(t)e-sre-st为收敛因子dt < 80爱国爱校XrinJaotong西安交通大学求真理nvwy
注 在t＝0 − 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0 = = − ( ) ( ) ( ) ( ) f t F S F S f t 简 写 1 正变换 反变换 F S f t e d t f t e d t f t e d t s t s t s t + − − + − + + = − = − + 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。 2 3 象函数F(s) 存在的条件： − − f t e dt st 0 ( ) e −st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t）满足[f(t)] ≤ Mect t e[0,o0)M88-(s-c)t则Mef(t)e-st dt ≤dtS-C10总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在爱国爱校西安交通大学XrinJicaoton求真理tnveuwity
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足： f (t) Me t [0,) ct f t e dt Me dt t c t − − − − − 0 0 s (s ) ( ) C M − = s 则 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即 f(t)的拉氏变换式F(s)总存在
3.典型函数的拉氏变换F (S)= J+ f(t)e-stdt1(1）单位阶跃函数的象函数f(t) =(t)18eF(s) = α[ε(t)]= (_ε(t)e-sdt = J-爱图爱校西安交通大学XrnJhaoton求真理nvwy
3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 ( ) ( ) 0 F S f t e dt st + − − = f (t) = (t) F s t t e dt −s t = = − 0 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 = − −st e s s 1 = − + = 0 e dt st
(2）单位冲激函数的象函数f(t) =(t)F(s) = [S(t)] = (~ S(t)e-"tdt =s(t)e-stdt=e-so=1（3）指数函数的象函数f(t)=eutF(s)=[e" ]= f~ e"e--1s+a爱图爱校西安交通大学aniaoton求真理newy
(3)指数函数的象函数 0 1 + = − −( s−a )t e s a s − a = 1 (2)单位冲激函数的象函数 + − − = 0 0 (t )e dt st f (t) = (t) F s t t e dt −s t = = − 0 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 = = −s e at f (t ) = e F(s ) e e e dt a t a t −s t = = − 0
13.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质若 [fi(t))=F(S)，[f,(t)=F(S)则 ±[A,fi(t)+ A,(t)] =A,[f(t)]+A,[f(t)]A,F(S)+A,F(S)证: ± [A,fi(t)+ A,f(t)]= f[A,fi(t)+ A,f(t)k-"dt= J, A,f(t)e-"dt + J.A,f(t)e-s" dt=AF(S)+A,F(S)爱国爱校XfinJaoton西安交通大学求真理nvwy
13.2 拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 f (t ) f (t )e dt −s t = + 0 A1 1 A2 2 f (t )e dt f (t )e dt s t −s t − = + 0 2 2 0 A1 1 A F ( S ) F ( S ) = A1 1 + A2 2 F ( S ) F ( S ) = A1 1 + A2 2 f (t ) F ( S ) f (t ) F ( S ) 1 1 2 2 若 [ ]= , [ ]= f (t ) f (t ) A1 1 A2 2 则 + f (t ) f (t ) 1 1 2 2 = A + A f (t ) f (t ) A1 1 A2 2 证： +
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。例1求：f(t)=Ue(t)的象函数LF(s) =±[Ue(t)] =U[e(t)] = 解S例2求：f(t)=sin(のt)的象函数10F(s) = ±[sin(ot)]1 =解元172ilS-jo S+jolS+0爱图爱校XranJicoton西安交通大学求真理tnvewity
求: f (t) = U (t )的象函数 + − − = S j 1 S j 1 2 j 1 2 2 + = S 例1 解 S U F(s) = [U (t)] = U (t) = 例2 求: f (t) = sin( t)的象函数 解 F(s) = sin(t) = − − ( ) j t j t e e 2 j 1 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算