SA-2动态电路的频域分析一、基尔霍夫定律和R、L、C元件电压电流关系的频域形式若将时域的电压u(t)和电流i（t)的拉普拉斯变换记为U(s)和(s），则时域和频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律分别表示为元件时域关系频域关系ZI(s)=0 对每个节点Zi(t)=0 对每个节点KCLU(s)=0 对每一回路KVLu(t)=0 对每一回路
§A－2 动态电路的频域分析 一、基尔霍夫定律和R、L、C元件电压电流关系 的频域形式 若将时域的电压u(t)和电流i(t)的拉普拉斯变换记为U(s) 和I(s)，则时域和频域形式的基尔霍夫电流定律和电压定律 分别表示为 元件 时域关系 频域关系 KCL KVL = = 对每一回路 对每个节点 ( ) 0 ( ) 0 U s I s = = 对每一回路 对每个节点 ( ) 0 ( ) 0 u t i t
对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示：元件时域关系频域关系电阻Ur(s)= RIr(s)Ur(t) = Rir(t)Ii(s)=—U,(s)+-it(0_)电感() =u(5)d5+i(0-)U (s)= sLI (s)- Li. (0-lc(s)+-uc(0_Jc(s)电容iuc(t) = ic(E)d + uc(0Ic(s) = sCUc(s)-Cuc(0其中i（0）、uc(0)表示电感电流和电容电压的初始值
对于R、L、C元件电压电流的关系式如下所示: ( ) ( ) R R u t = Ri t ( )d (0 ) 1 ( ) L t 0 L L - = + − u i L i t ( )d (0 ) 1 ( ) C t 0 C C - = + u − i C u t ( ) ( ) R R U s = RI s (0 ) 1 ( ) 1 ( ) L = L + L − i s U s sL I s ( ) ( ) (0 ) L = L − LiL − U s sLI s (0 ) 1 ( ) 1 ( ) C = C + uC − s I s sC U s ( ) ( ) (0 ) C = C −CuC − I s sCU s 元件 时域关系 频域关系 电阻 其中iL (0- )、uC (0- )表示电感电流和电容电压的初始值。 电感 电容
图A-3表示根据R、LC元件时域电压电流的关系式如何得到它们频域电路模型的过程Rir(t)RIr(s)拉氏变换o0o++Ur(s)Ur(t)(a)1i(0.)i(0.)SLi(o.)Lit(t)SLI(s)it(t)I(s)电源变换拉氏变换t>oOOo.oLSLur(t)++YU,(s)+ur(t)+U,(s)(b)Cuc(o.)iuc(0.), uc(0.)cic(t)cic(t)SCI(s)St>0拉氏变换电源变换I(s)+HHHHHHooOOO.SC+uc(t)++uc(t)HHU(s)(c)+Ue(s)图A-3R、L、C元件的频域电路模型的导出由此可见，在频域模型中电感电流和电容电压的初始值i,（0）、uc0是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的
图A－3 R、L、C元件的频域电路模型的导出 由此可见，在频域模型中电感电流和电容电压的初始 值iL (0- )、uC (0-是以一个阶跃电源或冲激电源的形式出现的。 图A－3表示根据R、L、C元件时域电压电流的关系式 如何得到它们频域电路模型的过程
一、频域法分析线性时不变电路的主要步骤（一）画出频域的电路模型已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤如下：1.将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换表示，并标明在电路图上
二、频域法分析线性时不变电路的主要步骤 (一) 画出频域的电路模型 已知时域电路模型可以画出频域的电路模型，其步骤 如下： 1. 将时域模型中的各电压电流用相应的拉普拉斯变换 表示，并标明在电路图上
2.将R、L、C元件用图A-3所示频域等效电路模型表示。其中，电感电流的初始值i（0）是以阶跃电流源i（0)/s或冲激电压源Li(0)的形式出现。电容电压的初始值uc(0）是以阶跃电压源uc（0)/s或冲激电流源Cuc(0）的形式出现（一）根据频域形式的KCL、KVL和元件VCR关系，建立频域的电路方程，并求解得到电压电流的拉普拉斯变换（三）根据电压电流的拉普拉斯变换，用部分分式展开和查阅拉普拉斯变换表的方法得到时域形式的电压和电流
2. 将R、L、C元件用图A－3所示频域等效电路模型表 示。其中，电感电流的初始值iL (0- )是以阶跃电流源iL (0- )/s 或冲激电压源LiL (0- )的形式出现。电容电压的初始值uC (0- ) 是以阶跃电压源uC (0- )/s或冲激电流源CuC (0- )的形式出现。 (二) 根据频域形式的KCL、KVL和元件VCR关系，建 立频域的电路方程，并求解得到电压电流的拉普拉斯变换。 (三) 根据电压电流的拉普拉斯变换，用部分分式展开 和查阅拉普拉斯变换表的方法得到时域形式的电压和电流
例A-1 电路如图A-4(a)所示，已知R=4Q,L=1H,C=-1/3Fus(t)=2s(t)V,uc(0)=6V,i,(0.)=4A。 试求t> 0电感电流的零输入响应，零状态响应和全响应。Li(0.)=4R=4Q I(s) SL=SR=40LL=1H3SC-+2e(t)u+Use(t)Us(s):3uc(o.)_6(b)(a)图A-4例A-1电路解：图A －4(a)电路的频域模型，如图(b)所示，由此列出频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉斯变换如下所示
例A-1 电路如图A-4(a)所示，已知R=4, L=1H,C=1/3F, uS (t)=2(t)V,uC (0- )=6V, iL (0- )=4A。试求t > 0电感电 流的零输入响应，零状态响应和全响应。 图A－4 例A－1电路 解：图A－4(a)电路的频域模型，如图(b)所示，由此列出 频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉 斯变换如下所示
Li(0.)=4R=4Q I(s) SL=SXR=42L=1H71-3SC=s+21F宁u2e(t)+UsE(t)(C=Us(s)=3Cuc(0.)6SS(a)(b)列出频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉普拉斯变换uc(0_)uc(0_)Us(s) + Lit (0_)-Li (0_)Us(s)SSI(s)=11R+sL+R+sL+R+sL+SCSCsC224s-64s-6522+4s+66+4s+6(s+1)(s+3)(s+1)(s +3)PI(s)=(s+3)(s+1)(s+1)(s+3)全响应零输入响应零状态响应+二
全响应 = 零输入响应 ＋ 零状态响应 + − + + + + + + − = + + + + + − = + + + + + − = + + + + + − = + + + − = − − − − ( 3) 1 ( 1) 1 ( 3) 9 ( 1) 5 ( ) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 4 6 4 6 2 4 6 4 6 1 ( ) 1 (0 ) (0 ) 1 (0 ) ( ) (0 ) ( ) 2 2 S C L C S L s s s s I s s s s s s s s s s s sC R sL U s sC R sL s u Li sC R sL s u U s Li I s 列出频域形式的网孔方程，并求解得到电感电流的拉 普拉斯变换
根据电感电流的拉普拉斯变换，查阅拉普拉斯变换表A-1，可以得到电感电流的零输入响应、零状态响应和全响应为5零输入响应it (t) =(-5e- +9e-3)c(t)As+3)(s+l零状态响应it(t)=(e- -e-3')s(t)A(s+1$+3全响应it (t)=(-4e-t +8e-3t)s(t)As+IS+3此题的计算结果和例9-5用时域分析方法得到的结果相同
根据电感电流的拉普拉斯变换，查阅拉普拉斯变换表 A-1，可以得到电感电流的零输入响应、零状态响应和全响 应为 ( ) ( 4e 8e ) ( )A ( 3) 8 ( 1) 4 ( ) (e e ) ( )A ( 3) 1 ( 1) 1 ( ) ( 5e 9e ) ( )A ( 3) 9 ( 1) 5 3 L " 3 L ' 3 L i t t s s i t t s s i t t s s t t t t t t − − − − − − → = − + + + + − → = − + − + + → = − + + + + − 全响应 零状态响应 零输入响应 此题的计算结果和例9－5用时域分析方法得到的结果 相同
例A-2电路如图A-5(a)所示，已知us(t)=12s(t)V,uc(0)=8Vi(0)=4A。试求t>0电感电流的全响应。412121H左+证SY+12+1F宝uc21212e(t)IL(S)S(a)(b)图A-5例A-2解：图A-5(a）的频域模型如图(b）所示，列出网孔电流方程812(1+)(s)-↓(s) SS8I(s)+$+1+IL(s)=4+SS?
例A-2 电路如图A-5(a)所示，已知uS (t)=12(t)V,uC (0- )=8V, iL (0- )=4A。试求t > 0电感电流的全响应。 图A－5 例A－2 解：图A-5(a)的频域模型如图(b)所示，列出网孔电流方程 = + − + + + − = − + s I s s I s s s s I s s I s s 8 ( ) 4 1 ( ) s 1 1 12 8 ( ) 1 ( ) 1 1 1 L 1 L
求解得到电感电流的拉普拉斯变换后，再用部分分式展开为4(s~+3s +3)I (s) :+2s+2)S(S662s2s+2s+2(s+1-j)(s+1+ j)SS光雕S查阅拉普拉斯变换表可以得到电感电流为it (t) =[6 + 2V2e-' cos(t -135°)]A
求解得到电感电流的拉普拉斯变换后，再用部分分式 展开为 1 j 1 j 1 j 6 1 j ( 1 j)( 1 j) 6 2 2 2 6 2 ( 2 2) 4( 3 3) ( ) 2 2 2 L + + − + + + − − − = + + − + + − = + + + − = + + + + + = s s s s s s s s s s s s s s s s I s 查阅拉普拉斯变换表可以得到电感电流为 L ( ) [6 2 2e cos( 135 )]A = + − − i t t t