s2-2电阻的星形联接与三角形联接电阻的星形联接：将三个电阻的一端连在一起，另一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联接，又称为Y形联接，如图2-17(a)所示电阻的三角形联接：将三个电阻首尾相连，形成一个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连就构成三角形联接，又称为△形联接，如图（b）所示@?a?a0aR12R.RR.1R36③(b)(a)图2 - 17
§2-2 电阻的星形联接与三角形联接 电阻的星形联接:将三个电阻的一端连在一起，另一端 分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联接，又称为 Y形联接，如图2-17(a)所示。 电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一个三 角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连， 就构成三角形联接，又称为Δ形联接，如图(b)所示。 图2－17
电阻的星形联接和电阻的三角形联接构成一个电阻三端网络。一般来说，电阻三端网络的端口特性，可用联系这些电压和电流关系的两个代数方程来表征。RR2i112?2?+R3
电阻的星形联接和电阻的三角形联接构成一个电阻三 端网络。一般来说，电阻三端网络的端口特性，可用联系 这些电压和电流关系的两个代数方程来表征
R2R,i1iz0②XXR③对于电阻星形联接的三端网络，外加两个电流源i和i2。用2b方程求出端口电压u，和u，的表达式为：ui = R,ii +Rs(i +i2)u2=R2i2+R3(ii+i2整理得到u, =(R, +R)i, + R,i2(2-11)uz = Ri +(R +R,)i2
( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1 1 1 3 1 2 u R i R i i u R i R i i = + + = + + (2 11) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 1 1 3 1 3 2 − = + + = + + u R i R R i u R R i R i 整理得到 对于电阻星形联接的三端网络，外加两个电流源i 1和i 2。 用2b方程求出端口电压u1和u2的表达式为：
②①R120Rali12R12R23?i13+鱼+X+R31i1R3i4u2??(a)(b)对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i和i将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻的串联单口，得到图（b）电路，由此得到u, =Rri-R3ri12 =R3i(i -i2)R31i1 - R23i2Ri2 + R23 + R31u2=R23i12+R23iz=R23(i2+i12
对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i 1和i 2， 将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻 的串联单口，得到图(b)电路，由此得到 = + = + = − = − + + − = ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 3 2 1 2 u R i R i R i i u R i R i R i i R R R R i R i i
u = Rri -R1i12 = R3i(i -i2)Rri-R23i2112R12 + R23 + R32=R23i12 +R23i2 =R23(iz +i12将i，表达式代入上两式，得到R2,R31R3i(R12 + R23)iu1,R12 + R23 + R31R2 + R23 + Rs1(2 -12)R23Rg1R23(Ri2 + R31u2R2 + R23 + R3R2 +R23 +R3式(2-11)和(2-12)分别表示电阻星形联接和三角形联接网络的VCR方程
(2 12) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 3 1 − + + + + + + = + + + + + + = i R R R R R R i R R R R R u i R R R R R i R R R R R R u 将i 12表达式代入上两式，得到 式(2－11)和(2－12)分别表示电阻星形联接和三角形联 接网络的 VCR方程。 = + = + = − = − + + − = ( ) ( ) 2 2 3 1 2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 3 2 1 2 u R i R i R i i u R i R i R i i R R R R i R i i
u =(R +R)i +R,i,(2-11)uz =R,i +(R, +R,)i,R2,Ra1R31(R12 + R23i2iui+R12 + R23 + R31R12 + R23 + R31(2-12)R23RyR23(R)+R31unR12 + R23 Ri2+R31+R+R31如果要求电阻星形联接和三角形联接等效，则要求以上两个VCR方程的对应系数分别相等，即：R,R12R3)(R12 + R23)RR +RR12 + R23 + R31R12 + R23 + R31R23R31Ri2R23由此R3((2-13)R(2-14)一R12+Rs1R12 + R23 + R31+ R23解得R2,Ra1R23(Ri2 +R31)RR2 + R3R12 + R23 + R31R,+R+R31323D2
如果要求电阻星形联接和三角形联接等效，则要 求以上两 个VCR方程的对应系数分别相等，即： (2 13) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 3 1 3 − + + + + = + + = + + + + = R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R 由此 解得 (2 14) 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 1 − + + = + + = + + = R R R R R R R R R R R R R R R R R R (2 12) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 3 1 − + + + + + + = + + + + + + = i R R R R R R i R R R R R u i R R R R R i R R R R R R u (2 11) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 2 1 1 3 1 3 2 − = + + = + + u R i R R i u R R i R i
R,R12R,R12 + R23 + R31R,R235(2-14)R12 + R23 + R31R2,R31RRi2 + R23 + R31电阻三角形联接等效变换为电阻星形联接的公式为接于端两电阻之乘积R形三电阻之和当R12= R23= R31= R 时,有今R,=R, = R, =R3
电阻三角形联接等效变换为电阻星形联接的公式为 形三电阻之和 接于 端两电阻之乘积 = i Ri 当R12 = R23 = R31 = R时，有 R = R = R = R = R 3 1 1 2 3 (2 14) 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 3 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 1 − + + = + + = + + = R R R R R R R R R R R R R R R R R R
由式(2-14)可解得RR+RR+RRR2R3RR,+R,R,+R,RR(2-17)R,R,R,+R,R+RRR3R电阻星形联接等效变换为电阻三角形联接的公式为Y形电阻两两乘积之和Rm(2 -18)不与mn端相连的电阻
(2 17) 2 1 2 2 3 3 1 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 2 − + + = + + = + + = R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R 电阻星形联接等效变换为电阻三角形联接的公式为 (2 −18) = 不与 端相连的电阻 形电阻两两乘积之和 m n Rmn 由式(2－14)可解得：
当R,=R,=R,=R,时, 有(2 -19)R2 = R23 = R31 = R = 3R在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联接与电阻三角形联接网络的等效变换，可以简化电路分析
当R1 = R2 = R3 = RY时，有 3 (2 19) R12 = R23 = R31 = R = R − 在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联接与电阻三角 形联接网络的等效变换，可以简化电路分析
例2-11求图2-20(a)电路中电流i。OOt3052广R,=1.5022R2=0.60YR,=10③22310V10V1.4010101.40@④(a)(b)图2-20解：将3Q、5Q和2Q三个电阻构成的三角形网络等效变换为星形网络[图(b)，其电阻值由式(2-14)求得3x53×22×5RR,R2=12Q=1.522=0.623+2+53+2+53+2+5
例2－11 求图2-20(a)电路中电流 i。 解：将3、5和2三个电阻构成的三角形网络等效变换 为星形网络[图(b)]，其电阻值由式(2－14)求得 = + + = = + + = = + + = 1 3 2 5 2 5 0.6 3 2 5 3 2 1.5 3 2 5 3 5 R1 R2 R3 图2－20