CH9正弦稳态电路的分析本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。主要内容有：阻抗和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量描述和应用、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。s9-1阻抗和导纳教学目的：掌握复阻抗和复导纳的概念，阻抗和导纳的串并联电路。教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。教学难点：RLC电路的阻抗及导纳形式。教学方法：课堂讲授。教学内容：s9-1阻抗和导纳一、一端口阻抗和导纳的定义1.定义：（1）一端口阻抗Z：端口的电压相量U与电流相量I之比。Z-±-U0- -29 -0 =220, =R+JXI211（2）一端口导纳Y：端口的电流I与电压相量U之比。= -,=y0,=G+JBY=I-UZUU2．阻抗、导纳的代数形式Z=R+jxR为电阻X为电抗（虚部）Y=G+JBG为电导B为电纳（虚部）3.单个元件R、L、C的阻抗及导纳(1) ZR=RZ,=jwl其电抗X,=wl（感性）；11（容抗）Zc=-j其电抗Xcwcwc1(2) YR=G=R
CH9 正弦稳态电路的分析 本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。主要内容有：阻抗 和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量 描述和应用、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率、 最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。 §9-1 阻抗和导纳 教学目的：掌握复阻抗和复导纳的概念，阻抗和导纳的串并联电路。 教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： §9-1 阻抗和导纳 一、一端口阻抗和导纳的定义 1．定义： （1）一端口阻抗 Z：端口的电压相量 . U 与电流相量 . I 之比。 （2）一端口导纳 Y：端口的电流 . I 与电压相量 . U 之比。 2．阻抗、导纳的代数形式 Z=R+jx R 为电阻 X 为电抗（虚部） Y=G+JB G 为电导 B 为电纳（虚部） 3．单个元件 R、L、C 的阻抗及导纳 （1）Z R =R Z L =jwl 其电抗 X L =wl（感性）; Z C = -j wc 1 其电抗 X C =- wc 1 （容抗） （2）Y R =G= R 1
111其电纳B,（感纳）；wlwljwlY=jwc其电纳B=wc（容纳）4.RLC电路的阻抗及导纳形式（1）RLC串联电路：U1=R+j(wl--)=R+jx=Z2z7=.=R+jwl+jwcwCI1虚部x即电抗为：X=X,+X。=wl-wcOx>0 即wi>二称Z呈感性wc②x0即Wc>wI1②B<0即wC<称Y呈容性wlB|= /G2 + B2yy=arctan(C二、阻抗、导纳的串联和并联1.n个阻抗串联：Z。g =Z,+Z, +...+ZⅡ个阻抗串联可以用一个等效阻抗等效替代如图所示。Z1Z21++ox+U1U2XZeqUUUnZ.图9-1阻抗串联
Y L = jwl 1 =-j wl 1 其电纳 B L =- wl 1 （感纳）； Y C =jwc 其电纳 B C =wc（容纳） 4．RLC 电路的阻抗及导纳形式 （1）RLC 串联电路： Z= . . . I U =R+jwl+ jwc 1 =R+j(wlwc 1 )=R+jx= Z Z 虚部 x 即电抗为：X= X L +X C =wlwc 1 ①X>0 即 wl> wc 1 称 Z 呈感性 ②X0 即 wc> wl 1 称 Y 呈容性 ②B<0 即 wc< wl 1 称 Y 呈容性 Y = 2 2 G + B Y =arctan( G B ) 二、阻抗、导纳的串联和并联 1．n 个阻抗串联：Z eq =Z 1 +Z 2 +.+Z n 图 9-1 阻抗串联
ZkUU.分压公式：k=1,2....n2.n个导纳并联：Y..=Y,+Y,+.+Y.Ⅱ个导纳并联可以用一个等效导纳等效替代如图所示。11+Lii12YiYiUU图9-2导纳并联Yk分流公式：k-1,2,ns9-2无源一端口网络的等效电路教学目的：学习和掌握等效电路的形式教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。教学难点：RLC电路的阻抗及导纳形式。教学方法：课堂讲授教学内容：等效电路的形式Z=U.=R+jx1Xx>0(感性)L=W1x0（容性）C=w1B<0（感性）LwB二、例题1.由端口的电压相量及电流相量的表达式确定等效电路的形式
分压公式： . U k = eq k Z Z . U k=1,2,.n 2．n 个导纳并联：Y eq =Y 1 +Y 2 +.+Y n 图 9-2 导纳并联 分流公式： . k I = eq k Y Y . I k=1,2,.n §9-2 无源一端口网络的等效电路 教学目的：学习和掌握等效电路的形式。 教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、等效电路的形式 Z= . . . I U =R+jx x>0(感性) L= w x x0（容性） C= w B B<0（感性） L= wB 1 二、例题 1．由端口的电压相量及电流相量的表达式确定等效电路的形式
[例]:已知某无源二端网络中，已知端口电压和电流分别为：u(t)=10/2cos(wt+37°)V,I(t)=2/2cos(100t)A.试求该而端网络的输入阻抗、导纳及其等效电路。[解]:由题可得电压和电流相量为：U=1037°V，[=2Z0°AU10Z37。=R+jx=5/37=4+j3Q由阻抗定义：Z2Z0°1X=3Q>0,z呈感性，等效电路为一个R=4Q的电阻与一个感抗为X，=3Q的电感元件11XL-3=0.03H,由于 Y=G+Jb==0.2 -37°=0.16-的串联，其等效电路为L，Z5Z37°w100j0.12S.B=-0.12S<0,Y呈感性，等效电路为一个G=0.16S的电导与一个感纳B，=0.12S的电感111元件的串联，其等效电感为L，HwB,100×0.12122.RLC串、并、混联电路的等效电路。（1）串联：先求阻抗Z，再求Y=一求导纳：Z1（2）并联：先求导纳Y，再求Z=求阻抗；Y（3）混联：视电路结构定。[例]:求一端口的输入阻抗Z和导纳Y。教材P2199-3（c）3.含CS一端口等效电路。[例]:求一端口的输入阻抗Z和导纳Y。图教材P2199-4（b）[解]：由KVL:jwl/-r|-U=0: U=(wl -r) 1UZ==jwl-rQ111-jwl-rY=Szjwl-rr+(wl)
[例]： 已知某无源二端网络中，已知端口电压和电流分别为：u(t)=10 2 cos(wt+37 )V, I(t)=2 2 cos(100t)A.试求该而端网络的输入阻抗、导纳及其等效电路。 [解]： 由题可得电压和电流相量为： . U =10 37 V, I=2 0 A 由阻抗定义：Z= . . I U =R+jx= 2 0 10 37 =5 37 =4+j3 X=3 >0,z 呈感性，等效电路为一个 R=4 的电阻与一个感抗为 X L =3 的电感元件 的串联，其等效电路为 L 1 = w XL = 100 3 =0.03H,由于 Y= G+Jb= Z 1 = 537 1 =0.2 − 37 =0.16- j0.12S.B=-0.12S<0,Y 呈感性，等效电路为一个 G=0.16S 的电导与一个感纳 B L =0.12S 的电感 元件的串联，其等效电感为 L 2 = wBL 1 = 100 0.12 1 = 12 1 H 2．RLC 串、并、混联电路的等效电路。 （1）串联：先求阻抗 Z，再求 Y= Z 1 求导纳； （2）并联：先求导纳 Y，再求 Z= Y 1 求阻抗； （3）混联：视电路结构定。 [例]： 求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。 教材 P219 9-3（c） 3．含 CS 一端口等效电路。 [例]： 求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。 图教材 P219 9-4（b） [解]：由 KVL:jwl . I -r . I - . U =0 . U =(jwl – r) . I Z= . . I U =jwl – r Y= Z 1 = jwl − r 1 = 2 2 r (wl) jwl r + − − S
S9-3电路的相量图教学目的：学习和掌握相量图的画法。教学重点：画相量图的原则。教学难点：图形结合求解正弦稳态电路。教学方法：课堂讲授。教学内容：画相量图的原则1.串联：以电流相量I为参考量，然后根据KVL画出回路上各电压相量。2.并联：以电压相量为U参考量，然后根据KCL画出回路上各电流相量。3.混联：选取并联支路最多的电压相量为参考量，在画出其它的相量。[例 1]:教材P2199-5（串联）[解]：略。[例 2]:图9-3已知U=100V，R,=6.5Q，R=20Q，调节触点到C，R=4Q时，电压表读数最小，其最小值为30V求阻抗Z。.1212a+aURUnR2UUR2UedZUacuUcb(a)(b)图9-3例题[解]:分析：选取总电压U为参考相量，电阻R上的电流I与总电压同相位，电阻R2通过的电流越前（或滞后）总电压，根据这些关系，可画出电压和电流的相量图，如图（b)所示。再根据相量图中的电压和电流数值的几何关系求Z1。$9-4正弦稳态电路的分析教学目的：学习正弦稳态电路分析的相量法
§9-3 电路的相量图 教学目的：学习和掌握相量图的画法。 教学重点：画相量图的原则。 教学难点：图形结合求解正弦稳态电路。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、画相量图的原则 1．串联：以电流相量 . I 为参考量，然后根据 KVL 画出回路上各电压相量。 2．并联：以电压相量为 . U 参考量，然后根据 KCL 画出回路上各电流相量。 3．混联：选取并联支路最多的电压相量为参考量，在画出其它的相量。 [例 1]： 教材 p 219 9-5（串联） [解]：略。 [例 2]： 图 9-3, 图 9-3 例题 [解]： (b) §9-4 正弦稳态电路的分析 教学目的：学习正弦稳态电路分析的相量法
教学重点：用直流电路的方法和理论求解正弦电路。教学难点：正弦电路戴维宁等效电路的求解。教学方法：课堂讲授。教学内容：一、正弦稳态电路分析的相量法电阻电路中各种分析方法在正弦稳态电路中具有适应性。只需完成下面三种变化：（1）将时域电路对换成复域电路，即电路的相量模型；(2）将电阻和电导对换成阻抗和导纳：(3）将直流变量对换成相量。二、正弦稳态电路的回路法[例]:用回路电流法求图9-4电路中的亡。ZO°A-j4060YY80+ j5Q3Z0°ALU100-j22图9-4例题三、正弦稳态电路的结点法[例]:用结点电压法求图9-5所示电路的i；。94Z0°A60-j4982+j5Q93Z0ALU10Z0°j20图9-5例题四、正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路[例]:求图9-6所示正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路
教学重点：用直流电路的方法和理论求解正弦电路。 教学难点：正弦电路戴维宁等效电路的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、正弦稳态电路分析的相量法 电阻电路中各种分析方法在正弦稳态电路中具有适应性。只需完成下面三种变化： ⑴ 将时域电路对换成复域电路，即电路的相量模型； ⑵ 将电阻和电导对换成阻抗和导纳； ⑶ 将直流变量对换成相量。 二、正弦稳态电路的回路法 [例]： 用回路电流法求图 9-4 电路中的 U 。 图 9-4 例题 三、正弦稳态电路的结点法 [例]： 用结点电压法求图 9-5 所示电路的 x i 。 图 9-5 例题 四、正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路 [例]： 求图 9-6 所示正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路
1022iA7-20cos4fV5H1图9-6例题s9-5正弦稳态电路的功率教学目的：学习正弦稳态电路功率的概念和计算，功率因数提高，最大功率问题，交流参数测量。教学重点：功率的计算，功率因数提高。教学难点：复功率，功率因数。教学方法：课堂讲授。教学内容：一、基本概念1.瞬时功率：p(t)=u(t)i(t)设：u(t)=/2Ucos(w+,)i(t)=/2Icos(wt+y,)p(t)=/2 Ucos( wt+y,). /2 1 cos( wt+)!. /2 U. J21 [ cos(wt+,+w+y,)+cos(w+u-wt-y.) ]2=UIcos(.-)+UIcos(2wt+2u-+）令u-,=y=UI cosy+UI cos(2wt+2 y.-y)=UI cos y+UI cosycos(2wt+2 y.)+UI siny sin(2wt+2y)=UI cosy [ 1+ cos(2 wt+2y,) J+UI siny sin(2 wt+2 yn)元由于R>0≤：上式第一项等于零，称这一项为瞬时功率不可逆部分；第2二项为可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源与一端口之间来回交换
图 9-6 例题 §9-5 正弦稳态电路的功率 教学目的：学习正弦稳态电路功率的概念和计算，功率因数提高，最 大功率问题，交流参数测量。 教学重点：功率的计算，功率因数提高。 教学难点：复功率，功率因数。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、基本概念 1．瞬时功率： p(t) = u(t) i(t) 设： u(t) = 2 Ucos( wt + u ) i(t) = 2 I cos( wt + i ) p(t) = 2 Ucos( wt + u ). 2 I cos( wt + i ) = 2 1 2 U 2I cos( wt + u + wt + i )+cos( wt + u - wt - i ) =UI cos( u - i )+ UI cos(2 wt +2 u - u + i ) 令 u - i = =UI cos + UI cos(2 wt +2 u - ) =UI cos + UI cos cos(2 wt +2 u )+ UI sin sin(2 wt +2 u ) =UI cos 1+ cos(2 wt +2 u ) + UI sin sin(2 wt +2 u ) 由于 R>0 2 上式第一项等于零，称这一项为瞬时功率不可逆部分；第 二项为可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源与一端口之间来回交换
2uNoUIco0(a)(b)图9-7一端口网络的功率2．平均功率：也称有功功率，代表一端口实际消耗的功率，是恒定分量，用式子表示：p=UI cosppat=Ui[cosΦ+cos(2ot+u+e,)]dt=UI cosg纯R:V=0°，p=UI；纯L:V=90°，p=0;纯C:=-90°，p=0。3.无功功率：Q(var,kvar)与瞬时功率的可逆部分有关，表示电网与动态L、C之间能量交换的速率。用式子表示：Q=UIsiny纯R:Q=0：纯LQ=UI：纯C:Q=-UI。4.视在功率：S（V·A）（表征发电设备的容量），也称表现功率，用式子表示：S=UIS、P、Q可以用功率三角形来表示其之间关系：S= p? +Q?y=arctan(P5.复功率：S(V.A)S=P+jQ-UI cosp+jUI sinp=Ue(w.-w)-Uejw.x Ie-jwi-u 1s=sarg S=注：（1）正弦电流电路中，总的有功功率是电路各部分有功和功率之和，总的无功功率是电路各部分无功功率之和，因此有功功率和无功功率分别守恒。(2)复功率也守恒。设电路中有b条支路，b个支路电压相量U.、U，U，应满足KVL，b个支路电流相量应满足KCL，其共轭复量I，、I，.I；也必须满足KCL，由特勒定律知ZUI=0，所以复功率守恒。=（3）视在功率不守恒。二、功率因数的提高
图9-7 一端口网络的功率 2．平均功率：也称有功功率，代表一端口实际消耗的功率，是恒定分量，用式子表示： p =UI cos 纯 R： =0 ， p =UI ；纯 L： =90 ， p =0；纯 C： = -90 ， p =0。 3．无功功率：Q(var,kvar)与瞬时功率的可逆部分有关，表示电网与动态 L、C 之间能量交换 的速率。用式子表示：Q= UI sin 纯 R：Q=0 ； 纯 L：Q= UI ； 纯 C：Q= -UI 。 4．视在功率：S（ V A ）（表征发电设备的容量），也称表现功率，用式子表示：S= UI S、P、Q 可以用功率三角形来表示其之间关系： S= 2 2 P + Q =arctan( P Q ) 5．复功率： S （ V A ） S =P+jQ= UI cos +j UI sin =UI e ( ) u i j − =U e u j I e i − j = . U . I S = S arg S = 注： （1）正弦电流电路中，总的有功功率是电路各部分有功和功率之和，总的无功功率是电路 各部分无功功率之和，因此有功功率和无功功率分别守恒。 （2）复功率也守恒。设电路中有 b 条支路，b 个支路电压相量 . U1 、 . U2 . . Ub 应满足 KVL， b 个支路电流相量应满足 KCL，其共轭复量 . 1 I 、 . 2 I . . b I 也必须满足 KCL，由特勒定律 知 = b k k k U I 1 . . =0，所以复功率守恒。 （3）视在功率不守恒。 二、功率因数的提高
PP1.功率因数：=cos?cospp=arcos(SS2.意义：cosβ越高，电网利用率越高。P表示一端口实际消耗的功率。(1）p=UIcosp=cos,S一定时，cosβ个=p个电网利用率一般在0.9左右.P(2)=，P、U一定时，cosβ个=I线路损耗大大降低。Ucosp3.提高功率因数的方法（1）引言：提高cosβ，也就是减少电源与负载之间的能量互换。由于实际上大量感性负载的存在，功率因数一般降低，当cos个后，电感性负载自然所需的无功功率由谁负担？我们自然想到时时与电感持相反性质的电容。提高功率因数，常用发方法就是与感性负载并联一个静电容。（2）计算C的公式：并联电容C不会影响感性负载与支路的复功率S，，因为U和i，都未改变。但是电容的无功功率“补偿”了电感L的无功功率，减少了电源的无功功率，从而提高了电路的功率因数。设并联电容后电路吸收的复功率为S，电容吸收的复功率因数为S。，电容的无功功率为Qc，原电路感性负载吸收的功率为P，电路外加电压U，频率为W的正弦电压，见个功率因数有cosq,提高到cosP2，求C=?（3）公式推导：设=cosQ电路的无功功率Q,=PtanP,=P+jQ,=cosP2电路的无功功率Q,=PtanP2S=P+jQ2.. S=S-S,=j(Q2-Q,)j P(tan P2-tan g)=Pe+jOc.. Oc=-wcu’= P(tan P2- tan @))P.C(tan,-tan2)wu?i12站12Rü1Ujal3jac图9-8功率因数提高[例]：P=20kw，W=314rad/s，U=380V，元由0.6-→0.9，求C=?
1．功率因数： = cos cos = S P =arcos( S P ) 2．意义： cos 越高，电网利用率越高。P 表示一端口实际消耗的功率。 （1） p =UI cos = S cos , S 一定时, cos p 电网利用率一般在 0.9 左右. （2） U cos P I = , P 、U 一定时， cos I 线路损耗大大降低。 3．提高功率因数的方法 （1）引言：提高 cos ，也就是减少电源与负载之间的能量互换。由于实际上大量感性负载 的存在，功率因数一般降低，当 cos 后，电感性负载自然所需的无功功率由谁负担？我 们自然想到时时与电感持相反性质的电容。提高功率因数，常用发方法就是与 感性负载并 联一个静电容。 （2）计算 C 的公式：并联电容 C 不会影响感性负载与支路的复功率 1 S ，因为 . U 和 . 1 I 都未 改变。但是电容的无功功率“补偿”了电感 L 的无功功率，减少了电源的无功功率，从而提 高了电路的功率因数。设并联电容后电路吸收的复功率为 S ，电容吸收的复功率因数为 C S ， 电容的无功功率为 QC ，原电路感性负载吸收的功率为 P ，电路外加电压 U ，频率为 w 的正 弦电压，见个功率因数有 1 cos 提高到 2 cos ，求 C =？ （3）公式推导： 设 1 = 1 cos 电路的无功功率 Q1 = P 1 tan 1 S = P + 1 jQ 2 = 2 cos 电路的无功功率 Q2 = P 2 tan S = P + 2 jQ C S = S - 1 S = j ( Q2 - Q1 )= j P ( 2 tan - 1 tan )= PC + C jQ QC = - 2 wcu = P ( 2 tan - 1 tan ) C = 2 wu P ( 1 tan - 2 tan ) R 图 9-8 功率因数提高 [例]： P =20 kw， w =314 rad s ，U =380V， 由 0.6 → 0.9，求 C =？
120×103[解]：.C-(tan P,-tan ,)374.49 μ F(tan-tan)3.14×(380)2wu三、最大功率传输[例];j10052如图5.20电路负载分三种情况如下给出，求负载功率并比较上功率大小。5041/0a.负载为5Q的电阻：b.负载为电阻与内阻抗配：c.负载为共轭匹配。图9-9例题[解]:PL=500W,a.b.Pl=614W,PL=994W，所以共轭匹配负载获得功率最大，为最佳匹配。C.四、三表法测交流参数教材P204例9-9文五、其他例题【例1]：已知正弦电流i=5cos(314+45A，通过30Q的电阻R，试求R消耗的平均功率。[解]: /==55N)2×30=375w. P=UI-?R=(22V2[例2]：教材P2239-27【例3]:教材 P2249-28【例4]：教材P2279-3769-6谐振教学目的：学习串联谐振和并联谐振。教学重点：谐振的特点。教学难点：实际的并联谐振电路。教学方法：课堂讲授。教学内容：串联谐振
[解]： C = 2 wu P ( 1 tan - 2 tan )= 2 3 3.14 (380) 20 10 ( 1 tan - 2 tan )=374.49 F 三、最大功率传输 [例]： 如图 5.20 电路负载分三种情况如下给出,求负载功率, 并比较上功率大小。 a. 负载为 5Ω的电阻； b. 负载为电阻与内阻抗配； c. 负载为共轭匹配。 [解]： 四、三表法测交流参数 教材 p 204 例 9-9 五、其他例题 [例 1]：已知正弦电流 i =5 cos(314 45 ) + A，通过 30 的电阻 R，试求 R 消耗的平均功率。 [解]： I = 2 m I = 2 5 A P =UI = 2 I R=( 2 5 ) 2 30=375 w [例 2]：教材 p 223 9-27 [例 3]：教材 p 224 9-28 [例 4]：教材 p 227 9-37 §9-6 谐振 教学目的：学习串联谐振和并联谐振。 教学重点：谐振的特点。 教学难点：实际的并联谐振电路。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、串联谐振 图 9-9 例题