CH7二阶电路本章在一阶电路的基础上，用经典法分析二阶电路的过渡过程通过简单实例，阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应教学目的：掌握二阶电路过渡过程的三种状态及判断条件。教学重点：二阶电路的动态过程。教学难点：用经典法分析二阶电路的过渡过程。教学方法：自学为主，课堂讲授为辅。教学内容：、二阶电路暂态过程方程的列写K(t=0)图示电路中电容原已充电至uc(o_)=U。，开关在t=0时闭合（为简单起见，设电感电流的初始值为零）。根据KVL及元件的VCR列出电路方程为u+"x-"c=+Ri-"c-0dtcdc代入式中求得uc满足的微分方程为将i=-dt图7-1二阶电路d'uc+Rduc+JLCuc=0Ldtdt?上述微分方程的两个初始值可求得为uc(0+)=uc(0_)=Uoduc(0.)=(0_)= 0一dtl=0+CC此齐次微分方程的特征方程及特征根为p+p+=0R+RP-PL2=-IC21121齐次微分方程的通解uc=AjeP'+AePr(1)二、三种状态的判断
CH7 二阶电路 本章在一阶电路的基础上，用经典法分析二阶电路的过渡过程。 通过简单实例，阐明二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响 应、阶跃响应和冲激响应。 教学目的：掌握二阶电路过渡过程的三种状态及判断条件。 教学重点：二阶电路的动态过程。 教学难点：用经典法分析二阶电路的过渡过程。 教学方法：自学为主，课堂讲授为辅。 教学内容： 一、二阶电路暂态过程方程的列写 图 7-1 二阶电路 图 .（1） 二、三种状态的判断
特征根P,和P是由电路参数决定的，可能出现下列三种情况：1.两个不相等的负实数2.一对实部为负的共轭复数3.一对相等的负实数（1）非振荡放电过程当R>2/时，P1和P2是两个不相等的负实数，此时电容电压以指数规律衰减，VC响应式（1）中待定系数A，和A可由初始条件确定如下：uc(0)=A +A2 =Uduc=Ap+A2p=0dtlr=0-P2_Uo得A=—P2 -PIpiA=-UoP2- P1将A和A代入式（1）求得响应uc为U。(pzepit -Prepat)uc=P2-P1继而可求得电流和电感电压Uoduci=-C(epit-epat)dtL(p2-p1)U.M=L(piept-Pzep')dtP2-P11的关系。以上推导中利用了PiP2=LC
1. 2. 3. （1）非振荡放电过程 响应式（1） （1）
图7-2画出了uc、i、u随时间变化的曲线。从图中可以看出，在整个过程中电容一直释放所储存的电能，因此称为非振荡放电，又称为过阻尼放电。放电电流从零开始增大，至t=tm时达到最大，然后逐渐减小最后趋于零。可由也=0求得为ue,Ul,idtU.In(p2 / p))?Pi-P2uet=tm正是电感电压过零的时刻。tt时，电感释放能量，磁场逐渐减图7-2过阻尼放电弱最后趋于消失。（2）振荡放电过程L-圣.0时，特征根p和p2是一对共轭复数。令P2=-α±jo，其中α=R当R<2VCICβ=arctan由图7-3可知=+，α=のcosβ，の=0osinβ，根据欧拉方程eJp=cosβ+jsinβ可进一步求得Pr=-Woe-JP, P2=-WoeJB由前面的分析可得Uo(pent - pre'")ucaP2-Pi图7-3Uo[a++-a-]20inor+-jor+p)Uo.j2@Vobe-a" sin(ot+ p)继而可求得电流和电感电压Cdic Ugeaf sin ot=-dtOL---"si(or- )dt0可见，在整个过渡过程中uc、i、u周期性地改变图7-4uc、i、ut的波形方向，呈现衰减振荡的状态，即电容和电感周期性地交换能量，电阻则始终消耗能量，电容上原有的电能最终全部转化为热能消耗掉。uc、i、ut的波
图 7-2 过阻尼放电 7-2 （2）振荡放电过程 7 - 3 7-3 7-4
R称为衰减系数，の形如图7-4所示，这种振荡称为衰减振荡或阻尼振荡。其中α=为振荡角频率。（3）临界状态R_def时，特征方程存在二重根，P=P=当R=2α，此时微分方程的通解为LVuc=(A +A,t)e-at根据初始条件可求得Ai =UoAn=aUo所以uc=Uo(+at)e-atducUoteatdtLdi=U,(1-αt)e-aru,=Ldt可以看出特征根为一对相等的负实数时动态电路的响应与特征根为一对不相等的负实数时的响应类似，即uc、i、u具有非振荡的性质，二者的波形相似。由于这种过渡过程刚好介于振荡与非振荡之间，因此称之为临界状态。[例]:在图7-5所示电路中，已知U,=40V，R=R，=10Q，L=2mH，C=20uF，换路前电路处于稳态。求换路后的电容电压uc。S (t=0)[解]:换路前电路已达稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，所以U.40=2Ait(0_)=R+R10+10uc(0_)=Rit(0_)=20 V图7-5例题换路后的RLC串联电路中10Rα==2500立2×2×10-12×10-×2×10-=2.5×10700=LC-因为α<，由前面的分析可见换路后电路的二阶微分方程的特征根为一对共轭复数，所以
7-4 （3）临界状态 [例]： [解]： 7 - 5 7-5 例题
电路为衰减振荡型，且02.510-2500430电容电压的通解可以写为uc = de=*t sin(ot+0) = Ae-25001 sin(4330 t+0)利用初始条件确定待定系数，有A=22.030=65.2°于是所求响应为u=22032500 sin(4330+65.2)V