第十四章非正弦周期电流电路的计算
第十四章 非正弦周期电流电路的计算
8 14-1非正弦周期电流电路1．非正弦周期电流的产生定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。分类：f(t.)1）偶函数:f(t)=f(-t)2）奇函数:f(t)=-f(-t)0TT/23）奇谐函数Tf(t) =-f(t±2T-24）偶谐函数f(t) = f(t±
§14-1 非正弦周期电流电路 1. 非正弦周期电流的产生 定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。 分类： 1）偶函数:f(t)=f(-t) 4）偶谐函数 2）奇函数:f(t)=-f(-t) 3）奇谐函数 ) 2 T f(t) = f(t ) 2 T f(t) = −f(t
814-2周期函数展开为FourierSeries1、傅立叶级数展开式若非正弦函数f(t)=f(tnT),且满足狄氏条件，则：8f(t) = ao + E(a, cosnQt + b, sin nQt)n=1其中：172722a=Trod f(t)cosnQtdtan =云 心T /2-T/2b.-Trosi norda-T/2
§14-2 周期函数展开为Fourier Series 1、傅立叶级数展开式： 若非正弦函数 f(t)=f(tnT),且满足狄氏 条件,则: 其中: ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = − = / 2 / 2 0 ( ) 1 T T f t dt T a − = / 2 / 2 ( )cos 2 T T n f t n tdt T a − = / 2 / 2 ( )sin 2 T T n f t n tdt T b
f(t) = ao + E(a, cosnQ2t + b, sin nQt)n=18= A, + Z Am cos(nQt + @)n=1其中:6元Pn = -arctanAm = Van? +bnan
其中: ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + = A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 2 n 2 Amn = an + b n n n a b = −arctan
讨论: f(t)=A。+EAm cos(n2t +$,)n=11) Ao=ao常量，与频率无关（直流分量、零频分量）2）A,cos(nQt+βo）—正弦量，与n有关（谐波分量)3）谐波分类：直流分量Ao=ao基波分量0=QAml cos(Qt + Pi) 0=2Q二次谐波Am2 cos(2Q2t + P2)高次谐波0 = 3QAm3 cos(32t + (P3)三次谐波Amk cos(kt + Pk)k次谐波0 =kQ
讨论： f(t) A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 1）A0=a0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） 2）Ancos(nt+0 )——正弦量，与n有关（谐波分量） 3）谐波分类： 直流分量 A cos( t ) m1 +1 A0=a0 基波分量 A cos(2 t ) m2 +2 A cos(3 t ) m3 +3 A cos(k t ) mk + k 二次谐波 三次谐波 k次谐波 高 次 谐 波 = = 2 = 3 = k
函数对称性与谐波的成份4）f(t) = a + E(a, cosn2t + b, sin n2t)n=1=A。 +Am cos(n2t + (p,)n=讨论：f(t.)偶函数：无奇函数分量奇函数：无偶函数分量奇谐函数：无偶次谐波0TT/2偶谐函数：无奇次谐波
讨论： 偶谐函数：无奇次谐波 奇谐函数：无偶次谐波 A A cos(n t ) n n 1 = 0 + mn + = 奇函数:无偶函数分量 偶函数:无奇函数分量 4）函数对称性与谐波的成份 ( ) ( cos sin ) 1 0 f t a a n t b n t n n = + n + =
例：图示电压中T=2元，求u（t）傅立叶级数展开式u(t)福2Umue (t)Umt0RT/2>t0T/2T解：↑ u.(t)A=a.=UUmu(t)+u(-t)u.(t)= ua, = 0(n 0)2>t0T/24Uu(t)-u(-t)mb,u.(t)= =U2n元4U11msin 52t +...u(t) =U m+(sin t+32t+sin35元
例： 图示电压中，T=2，求u(t)傅立叶级数展开式。 0 0 Um A = a = a = 0(n 0) n n U b m n 4 = sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m 2 u(t) u( t) u (t) e + − = 2 u(t) u( t) u (t) o − − = 解：
$ 14-4有效值、平均值和平均功率1、有效值定义：若非正弦电量i(t)=i(tnT),u(t)=u(tnT）则有效值为：1-Pd -V(d1.1、计算：1）按定义计算；2）按傅立叶系数计算：1--1*+221*-/+2i(t)=I。 +ZIm cos(n2t+Pm)n=lu(t)= U, +ZU.m cos(n2t+Pun)U-yu.++zu.m-yuo+zu.n=l
§14-4 有效值、平均值和平均功率 1、有效值定义： 若非正弦电量 i(t)=i(tnT), u(t)=u(tnT) 则有 效值为: 1.1、计算： 1）按定义计算； 2）按傅立叶系数计算： = T i t dt T I 0 2 ( ) 1 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 = = + n 1 2 mn 2 0 I 2 1 I I = = + n 1 2 mn 2 0 U 2 1 U U = = + 1 2 2 0 n n I I = = + 1 2 2 0 n U Un i(t) I I cos(n t ) i n n 1 = 0 + mn + = u(t) U U cos(n t ) u n n 1 = 0 + mn + =
例：图示电压中，T=2元求u（t)有效值u(t)2Um0TT/2解：4U-u(t) =Usin 3Qt +(sin Qt +-ssin 5Qt +...m+m53元405+2) =V2U1U.ZUm(1 +二十32nm2元-Fr(dt -(2U.)d =V2U,或
例： 图示电压中，T=2，求u(t)有效值。 解： = = + 1 2 2 0 2 1 n U U Unm Um = 2 = T u t dt T U 0 2 ( ) 1 或 ) 7 1 5 1 3 1 (1 2 1 ) 4 ( 2 2 2 = 2 + 2 + + + m m U U sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = + t + t + t + U u t U m m = 2 0 2 (2 ) 1 T Um dt T Um = 2
2、平均功率定义1）瞬时功率：若单口网络端口电流和电压为：i(t)i(t) = I. + E/21, cos(n2t + Pim)+Pn=1u(t)u(t) = U。 + V2U, cos(nQ2t + Pum)n=1则瞬时功率为 ： p(t)= u(t)i(t)2) 平均功率: P=Jp(0)dtP = U,I。 +U,I, cos(Pu -Pil)+U,I, cos(Pu2 - Pi2)+ :
2、平均功率定义： 1） 瞬时功率：若单口网络端口电 流和电压为： 则瞬时功率为： ( ) 2 cos( ) 1 0 i n n n i t = I + I nt + = ( ) 2 cos( ) 1 0 u n n n u t = U + U nt + = p(t) = u(t)i(t) 2）平均功率： = T p t dt T P 0 ( ) 1 P =U0 I0 +U1 I1 cos(u1 −i1 ) +U2 I2 cos(u2 −i2 ) +