第17卷第1期 重庆交通学院学报 1998年3月 Vol.17 No.1 JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG INSTITUTE Mar.1998 中心点法在钢筋混凝土构件 可靠度计算分析中的应用 余 沛 (重庆交通学院计算机与信息工程系，400074) 摘要 本文应用近似概率法参考有关文献的统计参数。结合现行桥梁规范对钢筋混凝土构件正 常使用极限状态的可靠度进行计算分析。 关键词：可靠度中心点法 0引言 结构可靠度是工程结构在规定的时间内和条件下，完成预定功能的概率。结构可靠度的 分析方法可分为全概率法、近似概率法和半概率法.就目前而言对结构可靠进行第一、三种 分析是困难的，这是因为目前尚缺乏随机变量足够的统计信息和分析中还存在着很多的数学 困难。因此，目前结构可靠度研究的着重点是近似概率法.本文详细介绍讨论国际上己进入 实用阶段的近似概率模式一一次二阶矩方法之一“中心点法”.且用其解决实际问题。 1概念与方法 L.1失效概率 定义设抗力为R:荷载效应为S;R小于S的概率就是失效概率. 结构达到极限状态的概率超过某一允许值。结构就失效，所以极限状态是衡量结构是否 失效的标准。 1.2设有n个随机变量x:(i=1,2.,n)影响结构的可靠度，则状态函数可表示为 Z=g(x1,x2.x) 极限状态方程为 Z=g(x1x2,…xa)=0 又 Z=g(R.S)=R-S=0 显然，当>0结构处于可靠状态；Z<0结构失效：Z=0结构处于极限状态. 本文收到日期1997-0417。余沛女。1964年生讲师， (C)1994-2019 China Academie Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww
第 17 卷 第 1 期 重 庆 交 通 学 院 学 报 1998年3月 Vol .1 7 No .1 JOURNAL OF CHONGQING JIAOTONG INS TITUTE M ar.1 9 9 8 本文收到日期:1997-04-17.余 沛, 女, 1964 年生, 讲师. 中心点法在钢筋混凝土构件 可靠度计算分析中的应用 余 沛 (重庆交通学院计算机与信息工程系, 400074) 摘 要 本文应用近似概率法, 参考有关文献的统计参数, 结合现行桥梁规范, 对钢筋混凝土构件正 常使用极限状态的可靠度进行计算分析. 关键词:可靠度, 中心点法 0 引 言 结构可靠度是工程结构在规定的时间内和条件下 , 完成预定功能的概率.结构可靠度的 分析方法可分为全概率法 、 近似概率法和半概率法.就目前而言对结构可靠进行第一、 三种 分析是困难的, 这是因为目前尚缺乏随机变量足够的统计信息和分析中还存在着很多的数学 困难, 因此 , 目前结构可靠度研究的着重点是近似概率法.本文详细介绍讨论国际上已进入 实用阶段的近似概率模式 ———一次二阶矩方法之一 “中心点法 ” .且用其解决实际问题. 1 概念与方法 1.1 失效概率 定义 设抗力为 R ;荷载效应为 S ;R 小于S 的概率就是失效概率 . 结构达到极限状态的概率超过某一允许值, 结构就失效 , 所以极限状态是衡量结构是否 失效的标准. 1.2 设有 n 个随机变量 x i (i =1 , 2 , … , n)影响结构的可靠度, 则状态函数可表示为 Z =g(x 1 , x 2 , …, xn) 极限状态方程为 Z =g(x 1 , x 2 , … , xn)=0 又 Z =g(R , S )=R -S =0 显然 , 当 Z >0 结构处于可靠状态;Z <0 结构失效 ;Z =0 结构处于极限状态
70 重庆交通学院学报 第17卷 所以失效概率可以写成 Pr=P{Z≤0}=P{R≤S} 1.3如不考虑基本变量的实际分布，假定其服从正态或对数正态分布，采用泰勒级数在均 值展开方法导出结构可靠度分析表达式此法为中心点法。 (1)正态分析 设抗力R和荷载效应S相互独立且服从正态分布.这时： Z=R-S~N(5,.) 其中，=R一：：=6十 失效概率 此， =经)= 式中，÷()为标准正态分布函数：=5/4=(R一5)/R十 P=p(-)=1-$(3) 这表明B与P,具有数值上的一一对应关系.由于B越大，P就越小，即结构越可靠， 3称为可靠指标.表1为可靠指标与失效概率关系. 表1可靠指标与失效概率的关系 31001.642002703003.093203.70400426450500 21g (2)对数正态分布 因为抗力和荷载效应大多趋向于偏正态分布，按正态分布计算时将产生较大的误差.因 此许多学者建议R和S服从对数正态分布，这时 Z=InR-InS InR/S 其平均值与标准差 片=R-hsG=6R十 B=h/G=(R-hs)/0品R十o2a 可见B是lnR,lnS统计参数表达.根据概率论原理，可换算成R,S的统计参数 oR=项(e-1) 则设 v喉=成/喉=ea-1 e'w =1+Vk ding In(1+) 同理2=ln(1十) (c抗办R平执值nacademi Jou Electron Publishing House,.All rights reserved.hitp:W
所以失效概率可以写成 Pf =P{Z ≤0}=P{R ≤S} 1.3 如不考虑基本变量的实际分布 , 假定其服从正态或对数正态分布, 采用泰勒级数在均 值展开方法, 导出结构可靠度分析表达式, 此法为中心点法. (1)正态分析 设抗力 R 和荷载效应S 相互独立且服从正态分布.这时 : Z =R -S ～ N(μz , σz) 其中 , μz =μR -μs ;σz = σ 2 R +σ 2 s 失效概率 Pf ={Z =R -S ≤0}=P (Z -μz) σz ≤- μz 此 σz , = (- μz σz )= (-β) 式中 , (·)为标准正态分布函数;β =μz / σz = (μR -μs)/ σ 2 R +σ 2 s ∴Pf = (-β) =1 - (β) 这表明 β 与P f 具有数值上的一一对应关系 .由于 β 越大, Pf 就越小 , 即结构越可靠 , β 称为可靠指标.表 1 为可靠指标与失效概率关系 . 表 1 可靠指标与失效概率的关系 β 1.00 1.64 2.00 2.70 3.00 3.09 3.20 3.70 4.00 4.26 4.50 5.00 Pf 15.87× 10 -2 5.05 × 10 -2 2.27× 10 -2 3.47 × 10 -3 1.36× 10 -3 1.00 × 10 -3 6.87× 10 -4 1.08 × 10 -4 3.16× 10 -5 1.02 × 10 -5 3.40 × 10 -6 2.90× 10 -7 (2)对数正态分布 因为抗力和荷载效应大多趋向于偏正态分布 , 按正态分布计算时将产生较大的误差 .因 此, 许多学者建议 R 和S 服从对数正态分布, 这时 Z =lnR -lnS =lnR/ S 其平均值与标准差 μz =μlnR -μlnS σz = σ 2 lnR +σ 2 lnS β = μz / σz =(μlnR -μlnS)/ σ 2 lnR +σ 2 lnS 可见 β 是 lnR , lnS 统计参数表达.根据概率论原理, 可换算成 R , S 的统计参数 . σ 2 R = μ2 R(e σ 2 lnR -1) 则设 V 2 R =σ 2 R/ μ2 R =e σ 2 lnR -1 e σ 2 lnR =1 +V 2 R ∴ σ 2 lnR =ln(1 +V 2 R) 同理 σ 2 lnS =ln (1 +V 2 s) 抗力 R 平均值 70 重 庆 交 通 学 院 学 报 第 17 卷
第1期余沛：中心点法在钢筋混凝土构件可靠度计算分析中的应用1 exp(R+1/) In InR 1/2Ging aR=lnR-h(1+ya)Ψ2 同理 ns Ints-In(1+)v2 最后得 3= n(I+)+ln(1+) 2实 刚 2.1钢筋混凝土构件裂缝的可靠度 由于裂缝产生和发展的原因很多。影响结构正常使用的后果也各不相同，因此可靠度的 概率分析是一个复杂而困难的问题，这里运用中心点法只对有抗裂要求的构件计算给定抗 裂安全系数K,下的可靠度. 2.2抗裂度验算的可靠度 标准荷载作用下抗裂验算的极限状态方程为 R-S=0 式中，R一与荷载相应的截面抗裂能力： S一荷载效应，如截面承受的弯矩、轴力等. 因抗裂度的可靠指标值较小，通常在1~2之间103，因而可靠指标阝值对R、S统计 分布类型不敏感，这里近取R、S服从对数正态分布，以单筋矩形截面钢筋混凝土受弯构 件为例，进行可靠指标B的校核计算. 截面抗力能力 R-GERYRIbhG -IMn 其中，ER一抗裂弯矩计算模式的不确定性： Y一化截面混凝土应力为三角形分布的系数（塑性系数）： R1一混凝土抗拉设计强度， b,h一矩形截面的宽度与高度： c1一截面配筋对抗裂能力的影响系数： 【M一—截面抗力弯矩 MR=石MEM(e,)MR,Mm KR=MR/RK=KE。·K(e)KRKK 同样可得 ra=屋+r)+,+4i 式中，KE。,E,分别为ER的平均值比标准值和变异系数。其余类推 (C对天S这里即为截面承受的弯矩Eletron Publishing House,All rights reserved..hitp:ww
μR =exp(μlnR +1/2σ 2 lnR) ln μR = μlnR =1/2σ 2 lnR μln R =ln μR -ln(1 +V 2 R)1/2 同理 μlnS =ln μS -ln(1 +V 2 S)1/2 最后得 β = ln μR μS 1 +V 2 S 1 +V 2 R - ln(1 +V 2 R)+ln(1 +V 2 S) 2 实 例 2.1 钢筋混凝土构件裂缝的可靠度 由于裂缝产生和发展的原因很多, 影响结构正常使用的后果也各不相同, 因此可靠度的 概率分析是一个复杂而困难的问题 , 这里运用中心点法, 只对有抗裂要求的构件计算给定抗 裂安全系数 K f 下的可靠度 . 2.2 抗裂度验算的可靠度 标准荷载作用下抗裂验算的极限状态方程为 R -S =0 式中 , R ———与荷载相应的截面抗裂能力 ; S ———荷载效应 , 如截面承受的弯矩、 轴力等. 因抗裂度的可靠指标值较小, 通常在 1 ～ 2 之间 10 -3 , 因而可靠指标 β 值对R 、 S 统计 分布类型不敏感 , 这里近取 R 、 S 服从对数正态分布, 以单筋矩形截面钢筋混凝土受弯构 件为例, 进行可靠指标 β 的校核计算. 截面抗力能力 R = 1 6 ER γRlbh 2 c1 =[ Mf] 其中 , ER ———抗裂弯矩计算模式的不确定性 ; γ———化截面混凝土应力为三角形分布的系数 (塑性系数); R l ———混凝土抗拉设计强度 ; b , h ———矩形截面的宽度与高度 ; c1 ———截面配筋对抗裂能力的影响系数; [ Mf] ———截面抗力弯矩 MR = 1 6 MERM(γc 1)MRlMh 2 KR =MR/ RK =KE R · K(γc 1 )KR l KbK h 2 同样可得 V 2 R = V 2 E R +V 2 (γc 1 )+V 2 R l +4 V 2 h 式中 , KE R , VE R 分别为ER 的平均值比标准值和变异系数, 其余类推 对于 S 这里即为截面承受的弯矩 M 第 1 期 余 沛 :中心点法在钢筋混凝土构件可靠度计算分析中的应用 71
72 重庆交通学院学报 第17卷 Z=IM1-M 按中心点法 Br= 必。 k是 (1) n(I+V)+ln(I+)Jn1+)+ln(1+) 式中，Kr为抗裂安全系数，K=Rx/Sk。 进行计算前，先列出所采用的统计参数表，这些参数均取自于文献[] 表2基本统计参数 参数名称 符号 平均值/标准值(K)变异系数N 计算模式不定性 ER 098 019 抗 系数 1.00 005 为 混凝土抗力设计强度 1.23 019 截面高、宽 h、b 100 002 荷载效应 截面承受弯矩 M 0.94 010 运用表2参数计算得KR=098×1.0X1.23X1.00=1.205 v3=0.192+0052+0.192+4×0.022=00763 代入()式可得不同K;下的值 Ky=115时，=L23 Kf=125时，y=1.52 可见B值均在《统一规范》建议的B=1一2之间. 3结束语 中心点法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式，直接给出可靠指标B与随 机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活，当结构可靠指标β较小，失效概率P较 大时（如P>10一3）其精度已足够.在公路桥梁钢筋混凝土结构正常使用极限状态中阝值 一般在1.0~20之间，这时中心点法具有较好的实用性. 参考文献 1赵国藩编者.工程结构可告度。北京：水利电力出版社，19%4 2中国建筑科学研究院.建筑结构设计统一标准.GB6884北京：中国建筑工业出版社. 1984 3张建仁编者.公路工程结构可靠度理论及其应用。北京：人民交通出版社1995 (C)1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww
∴ Z =[ Mf] -M 按中心点法 βf = ln MR MS 1 +V 2 S 1 +V 2 R ln(1 +V 2 R)+ln(1 +V 2 S) = ln K f KR KS 1 +V 2 S 1 +V 2 μ R R ln(1 +V 2 R)+ln(1 +V 2 S) (1) 式 中, K f 为抗裂安全系数 , Kf =RK/ SK . 进行 βf 计算前 , 先列出所采用的统计参数表, 这些参数均取自于文献 [ 1] . 表 2 基本统计参数 参数名称 符号 平均值/ 标准值 (K) 变异系数 N 抗 力 计算模式不定性 ER 0.98 0.19 系数 γc1 1.00 0.05 混凝土抗力设计强度 Rl 1.23 0.19 截面高、 宽 h 、 b 1.00 0.02 荷载效应 截面承受弯矩 M 0.94 0.10 运用表 2 参数计算得 K R =0.98 ×1.0 ×1.23 ×1.00 =1.205 V 2 R =0.19 2 +0.05 2 +0.19 2 +4 ×0.02 2 =0.0763 代入 (1)式可得不同 K f 下的βf 值 K f =1.15 时 , βf =1.23 K f =1.25 时 , βf =1.52 可见 β 值均在 《统一规范》 建议的 βf =1 ～ 2 之间. 3 结 束 语 中心点法, 概念清楚 , 计算比较简单, 可导出解析表达式 , 直接给出可靠指标 β 与随 机变量统计参数之间的关系, 分析问题方便灵活 , 当结构可靠指标 β 较小 , 失效概率 Pf 较 大时 (如 Pf >10 -3)其精度已足够 .在公路桥梁钢筋混凝土结构正常使用极限状态中 β 值 一般在 1.0 ～ 2.0 之间, 这时中心点法具有较好的实用性. 参 考 文 献 1 赵国藩编者.工程结构可告度.北京:水利电力出版社, 1984 2 中国建筑科学研究院.建筑结构设计统一标准.GBJ68-84.北京:中国建筑工业出版社, 1984 3 张建仁编者.公路工程结构可靠度理论及其应用.北京:人民交通出版社, 1995 72 重 庆 交 通 学 院 学 报 第 17 卷
第1期 余沛：中心，点法在钢筋混凝土构件可靠度计算分析中的应用 73 Application of Central-point Method in the Reliability Analysis of Reinforced Concrete Members Yu Pei Department of Computer and Inforcement Engineering Chongqing Jiaotong Institute 400074) Abstract Referring to some statistical parameters,the current method examined and analyzed by means of approximate theory of probability. Key words:degree of reliability,central-point method (上接61页) The Bending and Cleavage Properties of Semi-rigid Basecourse Material Wei Changjun (The Managing City Agency of Longgang District.Shenzhen,518172) Abstract The paper compares the bending and the cleavage properties of semi-rigid basecourse materi- al.Semi-rigid material is in a state of two-direction stress as it was splitted,and the practical basecourse material is in three under the traffic loads.The conclusion is given that the cleavage fitague testing method is more reasonale than the bending fitague testing method for determining the fitague properties of semi-rigid material. Key words:semi-rigid basecourse,fatigue (C)1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww
Application of Central-point Method in the Reliability Analysis of Reinforced Concrete Members Yu Pei (Department of Computer and Inforcement Engineering Chong qing Jiao to ng Institute , 400074) Abstract Referring to some statistical parameters, the current method examined and analyzed by means of approximate theory of probability . Key words:deg ree of reliability , central-point method (上接 61 页) The Bending and Cleavage Properties of Semi-rigid Basecourse Material Wei Changjun (The Manag ing City Agency of Longg ang District , Shenzhen , 518172) Abstract The paper compares the bending and the cleavage properties of semi-rigid basecourse material .Semi-rigid material is in a state of two-direction stress as it w as splitted , and the practical basecourse material is in three under the traffic loads .The conclusion is given that the cleavage fitague testing method is mo re reasonale than the bending fitag ue testing method fo r determining the fitague properties of semi-rigid material . Key words:semi-rigid basecourse , fatig ue 第 1 期 余 沛 :中心点法在钢筋混凝土构件可靠度计算分析中的应用 73