长沙理工大学：《荷载与结构设计方法》课程教学资源（讲稿）第5讲

《荷载与结构设计方法》讲稿第5讲（1学时) 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 教学目标：中心点法 (1)熟练掌握中心点法计算步骤： (2)了解可靠指标的几何意义，进一步 荷载与结构设计方法 理解可靠度的概念： 第5章结构可靠度计 (3)了解中心点法的优缺点。 第5章结构可市度计算 》 目前我国《工程结构可靠性设计统一标 准》(GB50153-2008)等统一标准都采用 了可靠度设计方法水准Ⅱ一近似概率可 靠度设计法。该法用可靠指标B作为结构 可靠度的度量，因此，掌握可靠指标B 和可靠度的计算方法，在结构设计中是非 常重要的。 51中心点法 中心点法是结构可靠度研究初期提出的 种方法，其基本思想是首先将非线性功 能函数在随机变量的平均值（中心点）处 按泰粉级数展开并保留至线性项，然后计 算功能函数的平均值和标准差。 一、结构功能函数为线性数 若结构功能函数是线性函数，按照随机变 量函数统计参数的计算公式，容易计算出 %-尼 结构功能函数Z的平均值z和标准差0z, 应用康奈尔的可靠指标定义计算可靠指 标B。 51

5-1 《荷载与结构设计方法》讲稿第 5 讲（1 学时） 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 荷载与结构设计方法 第5章 结构可靠度计算 教学目标：中心点法 （1）熟练掌握中心点法计算步骤； （2）了解可靠指标的几何意义，进一步 理解可靠度的概念； （3）了解中心点法的优缺点。 荷载与结构设计方法|第5章 第5章 结构可靠度计算 5.1 中心点法 5.2 验算点法 5.3 蒙特卡洛（Monte Carlo）法 目前我国《工程结构可靠性设计统一标 准》(GB 50153-2008)等统一标准都采用 了可靠度设计方法水准Ⅱ—近似概率可 靠度设计法。该法用可靠指标 β 作为结构 可靠度的度量，因此，掌握可靠指标 β 和可靠度的计算方法，在结构设计中是非 常重要的。 荷载与结构设计方法|第5章 5.1 中心点法 ⚫ 特点：仅利用基本随机变量的统计参数(均值和方差) 计算结构的可靠度，因此实用方便； ⚫ 假定：根据概率中心极限定理，Z的分布随功能函数 中自变量n的增加而渐进于正态分布。 2 2 Z R S Z R S        − = = + 康奈尔可靠指标的定义 康奈尔 中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法，其基本思想是首先将非线性功 能函数在随机变量的平均值（中心点）处 按泰勒级数展开并保留至线性项，然后计 算功能函数的平均值和标准差。 荷载与结构设计方法|第5章 一、结构功能函数为线性函数 则 0 1 n i i i Z a a X = = + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 0 0 1 2 1 n n Z i Xi Z i Xi i i n Xi z i f n Z i Xi i a a a a a P a           = = = = = + = + = = =  −     若结构功能函数是线性函数，按照随机变 量函数统计参数的计算公式，容易计算出 结构功能函数 Z 的平均值 μZ和标准差𝜎Z， 应用康奈尔的可靠指标定义计算可靠指 标 β

，结构动活数为中线性活教》 设X,X…X为影响结构可靠性的n个相 z-x) 中心黑开 互独立的随机变量，又称为基木变量，其 统计参数为：均值、标准差。由 】 X=1,2…m)生成的n维空间记为0， (X,及Xa)表示空间中的点。点Mμ 如，“心，∈口，称为P空间的中心 点，它是以各基本变量的均值为坐标。 可细标的九何童义 》 极限状态方程Z=0所对应的曲面将空间 0分为结构的可靠区和失效区，Z=0所 对应的曲面称为失效边界。中心点M可 能位于结构的可靠区内，也可能在失效区 内。在标准正态空间中，中心点也是坐标 原点。 三、可标的几何意义 》 可靠指标的几何意义是标准正态空 间中，坐标原点到极限状态超曲面 的最短距离；若功能函数是线性的， 则可靠指标为坐标原点到该极限状 态直线的距离。 ,可容招标的几何义 》 中心点法对非线性结构的功能函数进 行了线性化处理，计算可靠指标用到的 统计参数最高阶数为二阶，故该方法又 被称为一次二阶矩方法。 、中心点法的神点 在运用中心点法计算结构可靠指标 与 B值以及失效概率pr时，若B值较 小，即pr值较大(pr≥10)时，pr值 对基本变量联合概率分布类型不敏 感，计算结果基本满足精度要求。 52

5-2 荷载与结构设计方法|第5章 二、 结构功能函数为非线性函数 在各个变量的中心点(均值点) 展开成泰勒级数,仅取 线性项 则 Z g X X X = ( 1 2 , , , n ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 , , , , , , X n X X Xn i Xi i i Z X X Xn g Z g X X g          =   + −   L  L 2 1 X n Z Xi i i g X   =          设X1,X2,…,Xn为影响结构可靠性的n个相 互独立的随机变量，又称为基本变量，其 统计参数为：均值μXi、标准差σXi。由 Xi(i=1,2,…,n)生成的 n 维空间记为Ω， (X1,X2,…,Xn)表示Ω空间中的点。点 M(μ X1,μX2,…,μXn)∈Ω，称为Ω空间的中心 点，它是以各基本变量的均值为坐标。 荷载与结构设计方法|第5章 三、可靠指标β的几何意义 极限状态方程 Z＝0 所对应的曲面将空间 Ω分为结构的可靠区和失效区，Z＝0 所 对应的曲面称为失效边界。中心点 M 可 能位于结构的可靠区内，也可能在失效区 内。在标准正态空间中，中心点也是坐标 原点。 荷载与结构设计方法|第5章 三、可靠指标β的几何意义 可靠指标的几何意义是标准正态空 间中，坐标原点到极限状态超曲面 的最短距离；若功能函数是线性的， 则可靠指标为坐标原点到该极限状 态直线的距离。 荷载与结构设计方法|第5章 三、可靠指标β的几何意义 1. 当X=[X1 , X2 ,…,Xn ]T为独立正态随机向量时，可靠指 标β的绝对值近似等于在标准化空间中原点到过极限状 态超曲面上某点 (常取为均值点) 切面的距离。 2. 当X=[X1 , X2 ,…,Xn ]T为独立正态随机向量时，且在X的 标准化空间中极限状态曲面的最短距离代替可靠指标所 产生的误差最小。 中心点法对非线性结构的功能函数进 行了线性化处理，计算可靠指标用到的 统计参数最高阶数为二阶，故该方法又 被称为一次二阶矩方法。 荷载与结构设计方法|第5章 四、中心点法的特点 1.直接给出与随机变量统计参数之间的关系，计算简单； 2.对正常使用极限状态尤为适用 (  ＝1～2) ； 3.没有考虑有关基本变量分布类型的信息； 4.算得的可靠指标取决于极限状态方程的形式； 5.由于在中心点处取功能函数的线性近似,由此得到的可 靠指标β一般不为标准空间原点到极限状态曲面的最短 距离。 在运用中心点法计算结构可靠指标 β值以及失效概率 pf 时，若β值较 小，即 pf 值较大(pf≥10-3 )时，pf 值 对基本变量联合概率分布类型不敏 感，计算结果基本满足精度要求

小结 若B值较大，即pr值较小(pr≤10 时，Pr值对基本变量联合概率分布类 型很敏感，此时，概率分布不同， 计算出的Pr值可在几个数量级范围 内变化。 保后作业 课后作业 材P51. 53

5-3 荷载与结构设计方法|第5章 小结 （1）熟练掌握中心点法计算步骤； （2）了解可靠指标的几何意义，进一步理解可靠度 的概念； （3）了解中心点法的优缺点。 Summary 若β值较大，即 pf 值较小(pf≤10-5 ) 时，pf 值对基本变量联合概率分布类 型很敏感，此时，概率分布不同， 计算出的 pf 值可在几个数量级范围 内变化。 荷载与结构设计方法|第5章 课后作业 教材P78：S 1、6 Exercise 课后作业