长沙理工大学：《荷载与结构设计方法》课程教学资源（讲稿）第6讲.pdf_大学文库

6-1 《荷载与结构设计方法》讲稿第 6 讲（2 学时）幻灯片讲义学生反馈与教学反思教学目标：验算点法（1）了解验算点法对中心点法的两点改进；（2）掌握当量正态化方法；（3）熟悉验算点法的计算步骤荷载与结构设计方法|第5章二、计算公式 1、设极限状态方程为： 1 2 ( , , ) 0 Z g X X X = = L n 1 2 , , X X X L n 基本变量服从正态分布，统计参数已知。 2、空间变换： i i i X i X X U   − = X 空间（正态空间） U空间（标准正态空间） Hasofer、Lind 、Rackwitz 和 Fiessler 等人提出了验算点法，它经系统改进后作为结构安全度联合委员会(JCSS)的推荐给土木工程界。这个方法也被很多国家所采纳，我国也是以该方法作为可靠性校准的基础。荷载与结构设计方法|第5章二、计算公式验算点 P X X X * * * * ( , , , ) 1 2 L n 转换为 * * * * 1 2 ˆ ( , , , ) P U U U L n X 空间的功能函数 1 2 ( ) ( , , , ) Z g X g X X X = = L n 转换为U空间功能函数 1 2 ˆ ( ) ( , , , ) Z g U g U U U = = L n 1 2 ( , , , ) X X X X = L n 1 2 ( , , , ) U U U U = L n 荷载与结构设计方法|第5章二、计算公式验算点 P X X X * * * * ( , , , ) 1 2 L n 转换为 * * * * 1 2 ˆ ( , , , ) P U U U L n X 空间的功能函数 1 2 ( ) ( , , , ) Z g X g X X X = = L n 转换为U空间功能函数 1 2 ˆ ( ) ( , , , ) Z g U g U U U = = L n 1 2 ( , , , ) X X X X = L n 1 2 ( , , , ) U U U U = L n 荷载与结构设计方法|第5章 3、U空间的可靠指标极限状态超曲面过验算点的超切平面方程为 ˆ Z g U = = ( ) 0 * * * * * 1 2 1 ˆ ( , , , ) ( ) 0 n n i i i i P g g U U U U U = U  +  − =  L  * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g U U U L = * * 1 ˆ ( ) 0 n i i i i P g U U = U   − =   因为为极限状态超曲面上的点，则超切平面方程化简为 * P ˆ 由 Xi(i=1,2,…,n)生成 n 维正态空间记为 X 空间。将 X 空间变换到标准正态空间—U 空间。荷载与结构设计方法|第5章 3、U空间的可靠指标极限状态超曲面过验算点的超切平面方程为 ˆ Z g U = = ( ) 0 * * * * * 1 2 1 ˆ ( , , , ) ( ) 0 n n i i i i P g g U U U U U = U  +  − =  L  * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g U U U L = * * 1 ˆ ( ) 0 n i i i i P g U U = U   − =   因为为极限状态超曲面上的点，则超切平面方程化简为 * P ˆ 按 Hasofer 和 Lind 对可靠指标β的定义：可靠指标是标准正态空间内坐标原点到，到极限状态超曲面 Z=0 的最短距离。在超曲面 Z=0 上离坐标原点 M 最近的点 P * (u1 * ,u2 * ,…,un * )即为验算点。荷载与结构设计方法|第5章 5.2 验算点法一、验算点法对中心点法的两点改进 1. 当极限状态方程g(X)为非线性曲面时，不以通过中心的切平面作为线性近似,而以通过g(X)=0上某一点P*=[X1 * ,X2 * ,…,Xn * ]T的切平面作为线性近似，以减少中心点法的误差。该点P *称为验算点，验算点法可使P *收敛与标准化空间中极限状态曲面到原点的最短距离点。 2. 当基本变量具有分布类型的信息时，将非正态分布的基本变量在验算点P*处变换为当量正态分布，以考虑基本变量分布对可靠度的影响

6-2 荷载与结构设计方法|第5章可靠指标的几何意义 U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P* (u1 * ,u2 * ,····,un * ) 即为验算点。 * * * 1 ˆ 2 1 ˆ n i i i P n i i P g U U g U  = =  −   =             * 1 u  * 2 u U1 U2 切线验算点极限状态曲线 U1  U2  * P ˆ O 由于 P * 是 𝑍 = 𝑔1(. ) 上的一点，因此 𝑔1(𝑢1 ∗ , 𝑢2 ∗ , ⋯ , 𝑢𝑛 ∗ ) = 0 荷载与结构设计方法|第5章方向余弦 i 令 * * ˆ 2 1 ˆ i P i n i i P g U g U  =  −  =            是 OP ˆ * 的方向余弦 cos i   i U = * cos i Ui U i = =     i i X i i i i g g g X U X U X      =  =      * * 2 1 i i X i P i n X i i P g X g X    =  −   =           X 空间的方向余弦式5-1 式中的方向余弦 i 也称为敏感性系数，它实际上是反映了各基本变量的不确定性对结构可靠度影响的权重。荷载与结构设计方法|第5章验算点 * P ˆ 因为 * * i i i X i X X U   − = * * i i i i X U i X i X X i X = + = +      * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g X X X L = 4、X 空间的验算点所以运用迭代法按式5-1、5-2和5-3求解可靠指标。式5-2 式5-3 式(5-1)-(5-3)中包含的 * i x ， i 及  共 2n+1 个未知数，基本变量的均值 Xi  和标准差 Xi  已知时，就可解上述联立方程式，确定验算点的位置和相应的  值。一般采用逐次迭代法解上述的方程组。荷载与结构设计方法|第5章三、当量正态化 Xi i x () X i i f x Xi '  Xi *  i x ' * * ( ) ( ) i i X i i X f x f x = ' * * ( ) ( ) i i X i i X F x F x = 非正态分布随机变量密度函数 Xi  Xi  ( ) X i i f x i X ' 当量正态分布随机变量密度函数 Xi ' Xi  ' Xi  ' ( ) i X i f x ' i X 当基本变量均为正态分布时，可直接由计算所得的  估计结构的失效概率。否则，应按 Rackwitz-Fiessler 的算法，将非正态的基本变量 Xi 在验算点处，根据分布函数 ( ) Xi F x 及密度函数 ( ) Xi f x 等价条件变换为当量正态的变量 ' Xi ，并确定 ' Xi 的平均值 ' i  X 和标准差 ' i  X