《荷载与结构设计方法》讲稿第6讲(2学时) 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 52验算点迪 教学目标：验算点法 (1)了解验算点法对中心点法的两点改 必 (2)掌握当量正态化方法： (3)熟悉验算点法的计算步骤 计公式 Hasofer、.Lind、Rackwitz和Fiessler等 人提出了验算点法，它经系统改进后作为 结构安全度联合委员会(CSS)的推荐给 土木工程界。这个方法也被很多国家所采 纳，我国也是以该方法作为可靠性校准的 基础。 由X=1,2…,n生成n维正态空间记为 计销公式 空间。 &) 将X空间变换到标准正态空间一U空间。 马c2 .U空问的可量指标 》》 按Hasofer和Lind对可靠指标B的定义： 可靠指标是标准正态空间内坐标原点到 到极限状态超曲面2-0的最短距离。在 乱-0 超曲面Z=0上离坐标原点M最近的点 2e…即为验算点。 61 .U空的可靠新 》】
6-1 《荷载与结构设计方法》讲稿第 6 讲（2 学时） 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 教学目标：验算点法 （1）了解验算点法对中心点法的两点改 进； （2）掌握当量正态化方法； （3）熟悉验算点法的计算步骤 荷载与结构设计方法|第5章 二、计算公式 1、设极限状态方程为： 1 2 ( , , ) 0 Z g X X X = = L n 1 2 , , X X X L n 基本变量服从正态分布，统计参数已知。 2、空间变换： i i i X i X X U − = X 空间（正态空间） U空间 （标准正态空间） Hasofer、Lind 、Rackwitz 和 Fiessler 等 人提出了验算点法，它经系统改进后作为 结构安全度联合委员会(JCSS)的推荐给 土木工程界。这个方法也被很多国家所采 纳，我国也是以该方法作为可靠性校准的 基础。 荷载与结构设计方法|第5章 二、计算公式 验算点 P X X X * * * * ( , , , ) 1 2 L n 转换为 * * * * 1 2 ˆ ( , , , ) P U U U L n X 空间的功能函数 1 2 ( ) ( , , , ) Z g X g X X X = = L n 转换为U空间功能函数 1 2 ˆ ( ) ( , , , ) Z g U g U U U = = L n 1 2 ( , , , ) X X X X = L n 1 2 ( , , , ) U U U U = L n 荷载与结构设计方法|第5章 二、计算公式 验算点 P X X X * * * * ( , , , ) 1 2 L n 转换为 * * * * 1 2 ˆ ( , , , ) P U U U L n X 空间的功能函数 1 2 ( ) ( , , , ) Z g X g X X X = = L n 转换为U空间功能函数 1 2 ˆ ( ) ( , , , ) Z g U g U U U = = L n 1 2 ( , , , ) X X X X = L n 1 2 ( , , , ) U U U U = L n 荷载与结构设计方法|第5章 3、U空间的可靠指标 极限状态超曲面 过验算点的超切平面 方程为 ˆ Z g U = = ( ) 0 * * * * * 1 2 1 ˆ ( , , , ) ( ) 0 n n i i i i P g g U U U U U = U + − = L * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g U U U L = * * 1 ˆ ( ) 0 n i i i i P g U U = U − = 因为 为极限状态超曲面上的点，则 超切平面方程化简为 * P ˆ 由 Xi(i=1,2,…,n)生成 n 维正态空间记为 X 空间。 将 X 空间变换到标准正态空间—U 空间。 荷载与结构设计方法|第5章 3、U空间的可靠指标 极限状态超曲面 过验算点的超切平面 方程为 ˆ Z g U = = ( ) 0 * * * * * 1 2 1 ˆ ( , , , ) ( ) 0 n n i i i i P g g U U U U U = U + − = L * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g U U U L = * * 1 ˆ ( ) 0 n i i i i P g U U = U − = 因为 为极限状态超曲面上的点，则 超切平面方程化简为 * P ˆ 按 Hasofer 和 Lind 对可靠指标β的定义： 可靠指标是标准正态空间内坐标原点到， 到极限状态超曲面 Z=0 的最短距离。在 超曲面 Z=0 上离坐标原点 M 最近的点 P * (u1 * ,u2 * ,…,un * )即为验算点。 荷载与结构设计方法|第5章 5.2 验算点法 一、验算点法对中心点法的两点改进 1. 当极限状态方程g(X)为非线性曲面时，不以通过中心的切平面作 为线性近似,而以通过g(X)=0上某一点P*=[X1 * ,X2 * ,…,Xn * ]T的切平面作 为线性近似，以减少中心点法的误差。该点P *称为验算点，验算点 法可使P *收敛与标准化空间中极限状态曲面到原点的最短距离点。 2. 当基本变量具有分布类型的信息时，将非正态分布的基本变量在 验算点P*处变换为当量正态分布，以考虑基本变量分布对可靠度的 影响
由于P是Z=91()上的一点，因此 g1(ui,u2,…,u%)=0 式中的方向余弦α，也称为敏感性系数， 气是O少的方肉余室 它实际上是反映了各基本变量的不确定 性对结构可靠度影响的权重。 式(6-15-3)中包含的x,a,及B共 2+1个未知数，基本变量的均值以，和 标准差0x己知时，就可解上述联立方程 式，确定验算点的位置和相应的B值。 般采用逐次迭代法解上述的方程组， 当基本变量均为正态分布时，可直接由计 三、当量正态化 》 算所得的B估计结构的失效概率。否则， - 应按Rackwitz-Fiessler的算法，将非正态 的基本变量X在验算点处，根据分布函 数Fx(x)及密度函数人(x)等价条件 变换为当量正态的变量X,并确定X 的平均值4x和标准差6。 62
6-2 荷载与结构设计方法|第5章 可靠指标的几何意义 U 空间内坐标原点到极限状态超曲面Ｚ＝0的最短距离。 在超曲面Ｚ＝0上，离原点Ｍ最近的点P* (u1 * ,u2 * ,····,un * ) 即为验算点。 * * * 1 ˆ 2 1 ˆ n i i i P n i i P g U U g U = = − = * 1 u * 2 u U1 U2 切线 验算点 极限状态曲线 U1 U2 * P ˆ O 由 于 P * 是 𝑍 = 𝑔1(. ) 上 的 一 点 ， 因 此 𝑔1(𝑢1 ∗ , 𝑢2 ∗ , ⋯ , 𝑢𝑛 ∗ ) = 0 荷载与结构设计方法|第5章 方向余弦 i 令 * * ˆ 2 1 ˆ i P i n i i P g U g U = − = 是 OP ˆ * 的方向余弦 cos i i U = * cos i Ui U i = = i i X i i i i g g g X U X U X = = * * 2 1 i i X i P i n X i i P g X g X = − = X 空间的方向余弦 式5-1 式中的方向余弦 i 也称为敏感性系数， 它实际上是反映了各基本变量的不确定 性对结构可靠度影响的权重。 荷载与结构设计方法|第5章 验算点 * P ˆ 因为 * * i i i X i X X U − = * * i i i i X U i X i X X i X = + = + * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g X X X L = 4、X 空间的验算点 所以 运用迭代法按式5-1、5-2和5-3求解可靠指标。 式5-2 式5-3 式(5-1)-(5-3)中包含的 * i x ， i 及 共 2n+1 个未知数，基本变量的均值 Xi 和 标准差 Xi 已知时，就可解上述联立方程 式，确定验算点的位置和相应的 值。 一般采用逐次迭代法解上述的方程组。 荷载与结构设计方法|第5章 三、当量正态化 Xi i x () X i i f x Xi ' Xi * i x ' * * ( ) ( ) i i X i i X f x f x = ' * * ( ) ( ) i i X i i X F x F x = 非正态分布随机变量密度函数 Xi Xi ( ) X i i f x i X ' 当量正态分布随机变量密度函数 Xi ' Xi ' Xi ' ( ) i X i f x ' i X 当基本变量均为正态分布时，可直接由计 算所得的 估计结构的失效概率。否则， 应按 Rackwitz-Fiessler 的算法，将非正态 的基本变量 Xi 在验算点处，根据分布函 数 ( ) Xi F x 及密度函数 ( ) Xi f x 等价条件 变换为当量正态的变量 ' Xi ，并确定 ' Xi 的平均值 ' i X 和标准差 ' i X
当量正态化的条件为，在验算点处基本变 三、当量正化 量X和当量正态的变量X的分布函数 - 及概率密度函数值分别相等。 ag高tw 三，当量正态化 》 当基本变量X为对数正态分布时，其当 对前正态分店南量正态化 量正态变量X的平均值和标准差的 算公式可进一步简化 速后作 教学总结：本次课学习验算点法基本公式 教P7852.3.7 和当量正态化，下次课介绍验算点法的计 算步骤和计算例题。 63
6-3 荷载与结构设计方法|第5章 三、当量正态化 ' ' * 1 * ( ) i i i X X i X i x F x − = − ' ' ' * 1 * * * 1 1 [ ( ( ))] ( ) ( ) i i i i i i i X X X i X i X i X x F x f x f x − − = = … … … … …(1) … … … … …(2) ' ' * * ( ) i i i i X X i X x F x − = ' ' ' * * 1 ( ) i i i i i X X i X X x f x − = 标准正态分布函数 标准正态分布密度函数 正态分布函数 正态分布密度函数 当量正态化的条件为，在验算点处基本变 量 Xi 和当量正态的变量 ' Xi 的分布函数 及概率密度函数值分别相等。 荷载与结构设计方法|第5章 三、当量正态化 ( ) ' * * 2 * * ln 1 ln ln 1 1 ln i i i i X X i i X i i X x x x x = − + + = − + ' * 2 * ln ln(1 ) i i i X i X i X x x = + = … … … … …(3) … … … … …(4) 对数正态分布当量正态化 当基本变量 Xi 为对数正态分布时，其当 量正态变量 ' Xi 的平均值和标准差的计 算公式可进一步简化。 荷载与结构设计方法|第5章 课后作业 教材P78：S 2、3、7 Exercise 教学总结：本次课学习验算点法基本公式 和当量正态化，下次课介绍验算点法的计 算步骤和计算例题
