《荷载与结构设计方法》讲稿第7讲(2学时) 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 网、验算点法计算步漂 》 按验算点法计算时，验算点x和B用逐 次迭代的方法依照下述步骤进行 e-K-f. 四验点法计算乡 “可 g+,+r+成}- 图、给算京法计算少障 》 反计算的断值 五、验算应法计算流程图 》 在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标 回 准差)是比较容易得到的参数，故国内外 目前采用的结构可靠度计算方法的特点 >国 是：仅用均值和标准差来描述所有基本变 量的统计特征：当结构功能函数为非线性 函数时，则设法对其进行线性化处理，具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法 (FOSM)。中心点法和验算点法就是屈于 一次二阶矩法。 71
7-1 《荷载与结构设计方法》讲稿第 7 讲（2 学时） 幻灯片 讲义 学生反馈与教学反思 荷载与结构设计方法|第5章 四、验算点法计算步骤 1. 列出极限状态方程g(X1 ,X2 ,…,Xn )，并确定所有基本变量 Xi的分布类型和统计参数μXi及σXi ; 2. 假定Xi *和β的初值，一般取Xi *的初值等于Xi的均值; 3. 对于非正态变量Xi,在验算点处按下式进行当量正态化， 计算当量正态变量的标准差 和均值 ,并分别代替原来 变量的标准差 和均值 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' * * 1 * * * 1 * i i i i i i i i i i X X X i X i X i X X X i X i x f x F x f x X F x − − − = = = − ' X i ' X i Xi Xi 按验算点法计算时，验算点 xi *和β用逐 次迭代的方法依照下述步骤进行 荷载与结构设计方法|第5章 四、验算点法计算步骤 4. 求方向余弦 5. 按公式 求解β ; * ' * ' 1 2 2 1 i i P X i i n P X i i g X g X = = − ( ) 1 1 2 2 1 2 , , , 0 X X X X X n X n n g a a a + + + = 荷载与结构设计方法|第5章 四、验算点法计算步骤 6. 计算 xi *的新值 重复步骤3~6,直到后两次计算所得到的值相对差值不 超过容许限值。 * i Xi i Xi x a = + 荷载与结构设计方法|第5章 五、验算点法计算流程图 赋初值，假定 * i i X x = 当量正态化，求 ' ' , X X i i 求方向余弦i 将 ' ' 代入 求 * i i i i X X x = + * * * 1 2 ( , , , ) 0 n g x x x L = 将 代入 ' ' 计算新一轮验算点 * i i i i X X x = + 满足目标 结束迭代 否 是 在一般情况下，一阶矩(均值)和二阶矩(标 准差)是比较容易得到的参数，故国内外 目前采用的结构可靠度计算方法的特点 是：仅用均值和标准差来描述所有基本变 量的统计特征；当结构功能函数为非线性 函数时，则设法对其进行线性化处理，具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法 (FOSM)。中心点法和验算点法就是属于 一次二阶矩法
5.4【数材7 餐：山列得隔状方帮更鞋本支提分有精 例5.4【数材7信) 9斜5.4【数材78要1 -0572 例5.4（材78 》 g--=0 72
7-2 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） 解：（1）列极限状态方程及基本变量分布信息 R : 309.2kN, 52.6kN : 53kN, 3.7kN : 70kN, 20.3kN G G Q Q G Q R G N N Q N N Z R N N R N N = − − = = = = = = 服从对数正态分布 服从正态分布 服从极值Ⅰ型分布 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） （2）赋初值 （3）当量正态化 首先对R进行当量正态化 * * * 309.2kN, 53kN, 70kN R G N Q N G Q R N N = = = = = = ' * * 2 R R 2 R 1 ln ln 304.8kN 1 ( = =0.17,ln =5.72) 1 R R R R R R R = − + = + + ' * 2 2 ln(1 ) 52.2kN( ln(1 )=0.169) R = + = + R R R 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） （3）当量正态化 然后对NQ进行当量正态化 * * * ( ) 0.5703kN, ( ) 0.0202kN ( =70) N Q N Q Q Q Q F N f N N = = 0.5772 / 70 0.5772 / 0.063 60.86 NQ = − = − = 1.2826 / 1.2826 / 20.3 0.063 NQ = = = ( ) ( ) ( ) ' ' ' 1 * * * 1 * 19.4kN 66.56kN Q Q Q Q Q Q N N Q N Q N N Q N Q F N f N N F N − − = = = − = 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） （4）计算方向余弦 * * 2 1 i i X i P i n X i i P g X g X = − = ' ' ' ' * * * * = + = + = + = + i i G G G Q Q Q i X i X R R R G N N N Q N N N X R N N ( 1,2, , ) i n = L ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 G Q G G G Q Q Q G Q R R R N N N N R N N N N R N N − = + + = + + = + + 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） （5）计算可靠指标 * * * − − = 0 R N N G Q ' ' ' ' − − = − + + G Q G G Q Q R N N R N N N R N * = + i i Xi X i X ( 1,2, , ) i n = L ' ' ' ' * * * = + = + = + G G G Q Q Q R R R G N N N Q N N N R N N
5.4(数材7页1 》 深后作 53特卡洛 蒙特卡洛法是一种采用随机模拟和统计 抽样理论近似求解数学问题或物理问题 的方法，所以又称为随机模拟法或统计试 验法。结构可靠度所讨论的问题实质上随 机事件的概率问题，除了前面所介绍的计 算方法外，还可以采用蒙特卡洛方法进行 模拟。 随机数的生州 》 用蒙特卡洛方法模拟结构的失效概率时， 由于模拟次数总是有限的，所以模拟结果 是一个随机变量。评价蒙特卡洛方法模拟 结果好坏或模拟效率的指标是失效概率 模拟结果的变异系数的大小。 样法计可的步》 尽管失效概率的值是一个待求量，但就习 际工程而言，其数量级是己知的，一般为 … .MJ-IL..N P,=103~105。这样为达到规定的精 度，估算出所需檬拟的次数，比如变异系 数为01时，需要模拟的次数达 105一10。由此可见，一般抽样法的计 算量很大，因此，一般抽样法仅适用于可 靠度不高或计算精度要求不高的情况。 73
7-3 荷载与结构设计方法|第5章 例5.4（教材78页） （6）计算新一轮验算点 1 5% − − n n n 可得新一轮验算点。应用新一轮验算点，重复（3）-（6）步，直 到前后两次迭代所得可靠指标相对误差满足要求。 ' ' ' ' * * * = + = + = + G G G Q Q Q R R R G N N N Q N N N R N N ( 1,2, , ) i n = L 由 荷载与结构设计方法|第5章 课后作业 教材P78：S 7 Exercise 荷载与结构设计方法|第5章 5.3 蒙特卡洛法 一、蒙特卡洛法的基本思路 ⚫ 针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求 的量恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。 ⚫ 对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试， 抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计。 ⚫ 对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度(方差)的 估计。 蒙特卡洛法是一种采用随机模拟和统计 抽样理论近似求解数学问题或物理问题 的方法，所以又称为随机模拟法或统计试 验法。结构可靠度所讨论的问题实质上随 机事件的概率问题，除了前面所介绍的计 算方法外，还可以采用蒙特卡洛方法进行 模拟。 荷载与结构设计方法|第5章 二、随机数的生成 ⚫ 蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 ⚫ 在计算机实现中, 是通过确定性的算法生成随机数, 这样生成的序 列在本质上不是随机的,只是很好的模仿了随机数的性质。我们通 常称之为伪随机数。 ⚫ 在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率 分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。 可靠度计算中采用一般抽样法和重要抽样法。 用蒙特卡洛方法模拟结构的失效概率时， 由于模拟次数总是有限的，所以模拟结果 是一个随机变量。评价蒙特卡洛方法模拟 结果好坏或模拟效率的指标是失效概率 模拟结果的变异系数的大小。 荷载与结构设计方法|第5章 三、一般抽样法计算可靠度的步骤 1、列出功能函数及基本变量的概率分布函数 2、估算抽样的次数 3、产生的随机数 4、计算基本变量 5、计算功能函数值，记录功能函数小于0的次数 ； 6、计算失效概率估计值 1 2 ( , , , ) Z g X X X = L M 100 ˆ f N P ( 1, ,M; 1, , N) ij r i j = = L L N f ˆ f f N P N 1( ) i ij X ij x F r − = 尽管失效概率的值是一个待求量，但就实 际工程而言，其数量级是已知的，一般为 3 5 f 10 ~ 10 − − p = 。这样为达到规定的精 度，估算出所需模拟的次数，比如变异系 数 为 0.1 时 ， 需 要 模 拟 的 次 数 达 5 7 10 ~ 10 。由此可见，一般抽样法的计 算量很大，因此，一般抽样法仅适用于可 靠度不高或计算精度要求不高的情况
四、重要样法 》 当按一般抽样法对随机变量进行抽样时， 样本点落在最大似然点处的概率最大，最 大似然点在可靠区域内，一般远离失效边 界。这样，模拟中只有极少数的样本点落 入失效区域内，落入失效区域的样本点越 少，失效概率的估计值的不确定性越大， 从而估计的精度越低。 五、重要益样法计算失效板率的多理》》 提高蒙特卡洛方法精度或抽样效率的 个途径是减小失效概率估计值的变异系 数。通过改变抽样中心的位置或者用新的 概率分布对随机变量进行抽样来估计失 效概率的值，从而达到减小变异系数的目 的，即所谓的重要抽样法。 为增大样本点落入失效区域的机会，将随 机变量抽样的中心选在对结构失效概率 影响最大的点一最可能失效点，一般可选 在验算点法分析得到的验算点。重要抽样 法的抽样策略即是在最可能失效点附近 区域产生模拟的样本值，从而达到减小失 效概率估计值变异性的目的。 74
7-4 荷载与结构设计方法|第5章 四、重要抽样法 ⚫ 对于小概率事件的结构失效问题，在一定的模拟次数下，一般 抽样法的精度很低，模拟效率低。 ⚫ 提高蒙特卡洛方法精度或抽样效率的有效途径是减小失效概率 估计值的变异系数。 ⚫ 所谓重要抽样法就是通过改变抽样中心的位置或者用新的概率 分布对随机变量进行抽样，估计失效概率的值，从而达到减小 变异系数的目的。 当按一般抽样法对随机变量进行抽样时， 样本点落在最大似然点处的概率最大，最 大似然点在可靠区域内，一般远离失效边 界。这样，模拟中只有极少数的样本点落 入失效区域内，落入失效区域的样本点越 少，失效概率的估计值的不确定性越大， 从而估计的精度越低。 荷载与结构设计方法|第5章 五、重要抽样法计算失效概率的步骤 1. 借助一次二阶矩方法确定重要抽样中心，一般取验算点作为抽 样中心； 2. 选取用于一般重要抽样的概率分布，可选原来的概率分布，也 可以选正态分布； 3. 以抽样中心的值为重要抽样随机变量的平均值，方差取原随机 变量的方差进行抽样； 4. 计算结构失效概率估计值和方差。 提高蒙特卡洛方法精度或抽样效率的一 个途径是减小失效概率估计值的变异系 数。通过改变抽样中心的位置或者用新的 概率分布对随机变量进行抽样来估计失 效概率的值，从而达到减小变异系数的目 的，即所谓的重要抽样法。 荷载与结构设计方法|第5章 小结 1. 熟悉蒙特卡洛法一般抽样法的计算步骤； 2. 重要抽样法的概念 Summary 为增大样本点落入失效区域的机会，将随 机变量抽样的中心选在对结构失效概率 影响最大的点—最可能失效点，一般可选 在验算点法分析得到的验算点。重要抽样 法的抽样策略即是在最可能失效点附近 区域产生模拟的样本值，从而达到减小失 效概率估计值变异性的目的。 荷载与结构设计方法|第5章 课后作业 教材P78：S 4 Exercise