《逻辑学》课程教学课件（PPT讲稿）第十二章 模态逻辑

第十二章模态逻辑

第十二章 模态逻辑

第一节模态逻辑概述模态自然语言中的一些语词表达了不同的情态、势态。这些情态和势态在逻辑学中被通称为模态。“必然”和“可能”所表达的模态叫作逻辑模态，“应当”、“允许”所表达的模态叫作“知道”、“相信”所表达的模态叫作认识模态义务模态，“曾经”、“将会”、“过去一直”“将一直会等所表达的模态叫作时态。义务模态、认识模态和时态等通常被称为广义模态

第一节 模态逻辑概述 • 模态 自然语言中的一些语词表达了不同的情态、势态。这些情态 和势态在逻辑学中被通称为模态。“必然”和“可能”所表达 的模态叫作逻辑模态，“应当”、“允许”所表达的模态叫作 义务模态，“知道”、“相信”所表达的模态叫作认识模态， “曾经”、“将会”、“过去一直.”、 “将一直会.”等 所表达的模态叫作时态。义务模态、认识模态和时态等通常被 称为广义模态

模态词自然语言中表达势态的语词必然”和“可能”被称为狭义模态词。除了“必然”和“可能”之外，自然语言中的其他模态词，如允许”、知道始终”、有时”等。应当”、首”、相信”、这些词通常被称为广义模态词。·模态命题包含有模态词的命题被称为模态命题。包含有广义模态词的命题被称为广义模态命题·模态逻辑研究狭义模态的逻辑理论通常被称为模态逻辑，而研究广义模态的逻辑理论则被称为为广义模态逻辑

• 模态词 自然语言中表达势态的语词“必然”和“可能”被称为狭义模态 词。 除了“必然”和“可能”之外，自然语言中的其他模态词，如 “应当 ”、 “允许 ”、 “知道 ”、 “相信 ”、 “始终 ”、 “有时 ”等。 这些词通常被称为“广义模态词。 • 模态命题 包含有模态词的命题被称为模态命题。包含有广义模态词的命题 被称为广义模态命题。 • 模态逻辑 研究狭义模态的逻辑理论通常被称为模态逻辑，而研究广义模态 的逻辑理论则被称为为广义模态逻辑

·模态模态逻辑与数理逻辑的重要区别在数理逻辑中，一个命题形式的真值由其中所包含的原子命题的真值惟一地确定。为此，数理逻辑也被称为真值函数（或真值函项）理论。然而在模态逻辑中却并非如此。一般地说，包含有模态词的命题形式，其真值不一定能由其中所包含的原子命题的真值确定。例如，口p真值不能由P的真值确定。模态命题的真值不是简单地由其中所包含的原子命题的真值所确定的。这使得模态逻辑在语义学方面较数理逻辑更为复杂

• 模态模态逻辑与数理逻辑的重要区别 在数理逻辑中，一个命题形式的真值由其中所 包含的原子命题的真值惟一地确定。为此，数理 逻辑也被称为真值函数（或真值函项）理论。然 而在模态逻辑中却并非如此。一般地说，包含有 模态词的命题形式，其真值不一定能由其中所包 含的原子命题的真值确定。例如，□p真值不能由 p的真值确定。 模态命题的真值不是简单地由其中所包含的原 子命题的真值所确定的。这使得模态逻辑在语义 学方面较数理逻辑更为复杂

·模态逻辑是广义模态逻辑的基础广义模态逻辑是在模态逻辑的基础之上逐步发展起来的。在缺乏必要的基础的情况下学习广义模态逻辑是十分困难的。模态逻辑，较之广义模态逻辑，更加成熟，并且广义模态逻辑是对模态逻辑的变化和扩展。所以，学习模态逻辑可以为进一步学习广义模态逻辑提供必备的理论基础现代模态逻辑理论以逻辑演算为工具研究模态命题的推演，迄今，已有了非常丰富的理论。学习模态逻辑对于了解现代逻辑大有益

• 模态逻辑是广义模态逻辑的基础。 广义模态逻辑是在模态逻辑的基础之上逐步发 展起来的。在缺乏必要的基础的情况下学习广义 模态逻辑是十分困难的。模态逻辑，较之广义模 态逻辑，更加成熟，并且广义模态逻辑是对模态 逻辑的变化和扩展。所以，学习模态逻辑可以为 进一步学习广义模态逻辑提供必备的理论基础。 现代模态逻辑理论以逻辑演算为工具研究模态 命题的推演，迄今，已有了非常丰富的理论。学 习模态逻辑对于了解现代逻辑大有裨益

第二节 林模态系统的语法·一、模态命题逻辑语言LpM（一）LpM的符号·1.初始符号(1) p, q, , s, P q1 ri S1... (2) -, V ;(3) ;(4) (,)

第二节 模态系统的语法 • 一、模态命题逻辑语言LPM （一）LPM的符号 • 1. 初始符号 (1) p, q, r, s, p1 , q1 , r1 s1.； (2) , ； (3) □； (4) ( , )

·2.被定义的符号·Lpm中还有一些通过定义引入的符号：^,,,这些符号的具体定义如下：定义 : (αβ)=df (αVβ)定义→: (αβ)=df (αβ)定义: αβ=df (αβ)(βα)定义：α=df--α

• 2. 被定义的符号 • LPM中还有一些通过定义引入的符号：∧,→, ,◇。 这些符号的具体定义如下： 定义∧： (∧)＝df  ( ) 定义→： (→)＝df ( ) 定义： ＝df (→)∧(→) 定义◇： ◇＝df□

·（二）Lpm公式Lpm的公式亦称合式公式，由形成规则来定义。LpM公式形成规则：甲：任意命题变元是公式乙：若α、β是公式，则α和（αβ）也是公式丙：若α是公式，则口α也是公式丁：α是Lpm公式，当且仅当α是有限次使用Lp公式形成规则得到的符号串。根据形成规则，可以判断任一长度有限的符号串是否LpM的合式公式

• （二）LPM公式 LPM的公式亦称合式公式，由形成规则来定义。 LPM公式形成规则： 甲：任意命题变元是公式； 乙：若α、β是公式，则α和（αβ）也是公 式 丙：若α是公式，则□α也是公式 丁：α是LPM公式，当且仅当α是有限次使用LPM公 式形成规则得 到的符号串。 根据形成规则，可以判断任一长度有限的符号串 是否LPM的合式公式

·二、系统K1、公理：Ar:αvα→αA2:α→αvβA:αvβ→>βvαA4: (βα)→(αvβ→α)As:(αβ）(αβ)

• 二、系统K 1、公理： A1 : αα→α A2 : α→αβ A3 : αβ→βα A4 : (β→α)→(αβ→αγ) A5 : □（α→β）→（□α→□β）

初始规则：·2、天MP（分离规则）：由α和α→β可推演出βN（必然化规则）：由α可推演出αA1、Az、A3、A是古典命题逻辑系统PC的公理MP是系统PC的初始规则。系统K是在系统PC的基础上加上A和规则N构成的。所以系统K是对系统PC的扩张

• 2、初始规则： MP（分离规则）：由α和α→β可推演出β。 N（必然化规则）：由α可推演出□α。 A1、A2、A3、A4是古典命题逻辑系统PC的公理， MP是系统PC的初始规则。系统K是在系统PC的基 础上加上A5和规则N构成的。所以系统K是对系统 PC的扩张