方差分析的基本思想
方差分析的基本思想
方差分析的基本思想 问题的提出 、分析的观想 四、F检验 五、平方和分解公式 六、方差分析的实质 七、关于方差分析适用条件的说明凶 八、复习思考题
方差分析的基本思想 一、 问题的提出 二、 方差分析的直观思想 三、 MS间 和MS内的数量表示 四、 Ｆ检验 五、 平方和分解公式 六、 方差分析的实质 七、 关于方差分析适用条件的说明 八、 复习思考题
问题的提出 例1为了探索简便易行的发展大学生心血 管系统机能水平的方法,在某年级各项身 体发育水平基本相同,同年龄女生中抽取 36人随机分为三组,用三种不同的方法进 行训练,三个月后,测得哈佛台阶指数如 表1,试分析三种不同的训练方法对女大 学生心血管系统的影响有无显著性差异
一、问题的提出 例 1 为了探索简便易行的发展大学生心血 管系统机能水平的方法，在某年级各项身 体发育水平基本相同，同年龄女生中抽取 36人随机分为三组，用三种不同的方法进 行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数如 表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女大 学生心血管系统的影响有无显著性差异
表1 N(A1,02)N(/2a2)N(32a2) 编号 A3 76.53 43.12 61.31 2 60.05 42.54 60.00 56.24 42.40 67.26 60155619 6905
表 1 N (1 2 , ) N( , ) 2 2 N ( 2 3 , ) 编号 A1 A2 A3 １ 76.53 43.12 61.31 ２ 60.05 42.54 60.00 ┆ ┆ ┆ ┆ 1 2 56.24 42.40 67.26 x 60.15 56.19 69.05
分析 根据研究目的,这里有三个正态总体N(A1a2),N(p22), N(32)。三组数据分别为来自三个总体的样本,问题是 推断和之间有无显著差异。 由x,x2x不相等,不能直接得出A1,42,3不尽相等的结 论,原因是:造成x,x,x不相等可能有两个方面因素 是1,l2,u3不等,二是4=42=42,但由于抽样误差,造成 x1,x2,x3之间有差异。现在的任务是通过样本推断A,A2,42之 间有无显著性差异
分析 根据研究目的，这里有三个正态总体 ( , ) 2 N 1 ， ( , ) 2 N 2 ， ( , ) 2 N 3 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断1 2 , 和 3之间有无显著差异。 由 1 2 3 x , x , x 不相等，不能直接得出 1 2 3 , , 不尽相等的结 论，原因是：造成 1 2 3 x , x , x 不相等可能有两个方面因素：一 是 1 2 3 u ,u ,u 不等，二是1 = 2 = 3，但由于抽样误差，造成 1 2 3 x , x , x 之间有差异。现在的任务是通过样本推断 1 2 3 , , 之 间有无显著性差异
方差分析的直观思想 1.如果A1,A2八之间没有差异,则三个 样本之间的差异(以组间方差衡量)由 抽样误差带来,实质上由各组内个体之 间的差异造成,组内个体之间的差异的 大小,以组内方差来衡量。这时,组间 方差MS与组内方差Ms相近
二、方差分析的直观思想 １．如果 1 2 3 , , 之间没有差异，则三个 样本之间的差异（以组间方差衡量）由 抽样误差带来，实质上由各组内个体之 间的差异造成，组内个体之间的差异的 大小，以组内方差来衡量。这时，组间 方差 ＭＳ间与组内方差 ＭＳ内相近
二、方差分析的直观思想 2.如果A,2有差异,则组间差异不仅有 个体差异的影响还要受到总体差异的影 响,这时组间方差MS比组内方差M大得 多,据此,可以按假设检验的方法来处理 H,;=A=。如果组间方差不是太大,则接受 原假设;若比值很大则否定原假设。具体 定量检验需要了解比值的分布并且要给出 MS和AS的计算表达式
二、方差分析的直观思想 ２．如果 1 2 3 , , 有差异，则组间差异不仅有 个体差异的影响还要受到总体差异的影 响，这时组间方差M S间比组内方差M S内 大 得 多，据此，可以按假设检验的方法来处理 0 1 2 3 H : = = 。如果组内方差 组间方差不是太大，则接受 原假设；若比值很大则否定原假设。具体 定量检验需要了解比值的分布并且要给出 M S间和M S内的计算表达式
MSa和MS的数量表示 考虑一般情况 N(A,02)N(u2, 02) N(4k22) 2 K lI x k1 DX 12 22 X k2 Inl k X1 k 12∑x欲推断:n42有无显著异 n,;=1=1
三、MS间和MS内的数量表示 考虑一般情况 ( , ) 2 N 1 ( , ) 2 N 2 ┄ ( , ) 2 N k 1 2 ┄ K 11 x 21 x ┄ k1 x 12 x 22 x ┄ k 2 x ┆ ┆ ┄ ┆ 1n1 x 2n2 x ┄ knk x 1 x 2 x ┄ k x = = = k i n i ij i x n x 1 1 1 欲推断：u1 u2uk , 有无显著异
Ms= SSia MS 内 内 先考虑总离差平方和SS总 SS8=∑∑(xn-x)2 SS总由组间离差和组内离差构成
间 间 间 n S S M S = 内 内 内＝ n SS M S 先考虑总离差平方和 SS 总 2 1 1 S S ( x x ) ij n j k i i = − = = 总 SS 总由组间离差和组内离差构成
1.若各组内个体大小一致 则SS即为SS间 将各组内个体x取成x, 此时 Ss=S5=22(x-)=2n(一)
1. 若各组内个体大小一致 则 SS 总即为 SS 间 , 将各组内个体 ij x 取成 i x ， 此时 SS 间＝SS 总＝ 2 1 2 (x x) n k(x x) i k i i i j − = − =