第一章 第章限 主要内容 典型例题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣□☑正 1
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 1 一、主要内容 二、典型例题 第一章
数列极限 函数 极限 无穷大 两者的 limx=a lim f(x)=A lim f(x)=A lim f(x)=co 关系 极限存在的 无穷小 左右极限 无穷小的比较 充要来件 limf(x)=0 判定极限 两个重要 等价无穷小 无穷小 存在的准则 极限 及其性质 的性质 唯一性 求极限的常用方法 极限的性质 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣☑☑四2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 2 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 xn a n = → lim f x A x x = → lim ( ) 0 f x A x = → lim ( ) 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 lim f (x) = 0 两者的 关系 无穷大 lim f (x) =
连续定义 间断点定义 lim△y=0Iimf(x)=f(xn）》 连续的 第一类 第二类 左右连续 充要条件 可跳 无振 去跃 穷荡 间间 间间 在区间[a,b] 连续函数的 断断 断断 上连续 运算性质 点点 点点 非初等函数 初等函数 连续函数 的连续性 的连续性 的性质 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣a☑☑
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 3 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 lim 0 0 = → y x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 非初等函数 的连续性 振 荡 间 断 点 无 穷 间 断 点 跳 跃 间 断 点 可 去 间 断 点 第一类 第二类
例1设fx)+f心二马)=2x,其中x≠0，x≠1. 求f(x). 解利用函数表示法的无关特性 令，即x=1 代入原方程得 +0=品+2 令”分即=。代入上式得 1 +2即+-” 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣☒☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 4 例1 ( ). ) 2 , 0, 1. 1 ( ) ( f x x x x x x f x f 求 设 = 其中 − + 解 利用函数表示法的无关特性 , 1 x x t − 令 = , 1 1 t x − 即 = 代入原方程得 , 1 2 ) ( ) 1 1 ( t f t t f − + = − , 1 2 ) 1 1 ( ) ( x x f x f − = − 即 + , 1 1 1 u u x − = − 令 , 1 1 u x − 即 = 代入上式得 , 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( u u u u f u f − = − + − , 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( x x x x f x f − = − + − 即
解联立方程组 fx+f'-马=2x 1-x +-2 1,1 ∴.f(x)=x++ x 1-x 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣a☑正5
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 5 − = − + − − = − + = − + x x x x f x f x x f x f x x x f x f 2( 1) ) 1 ) ( 1 1 ( 1 2 ) 1 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( 解联立方程组 1. 1 1 1 ( ) − − = + + x x f x x
例2当x<1时 求im(1+x)1+x2)1+x4)…(1+x2). 100 解将分子、分母同乘以因子(1-x),则 原式=lim1-1+x+x2)1+x)…1+x2) 1-x =1im-x21+c)1+x)(1+x2） 11→ 1-x -x2)1+x")=im 1-x2 lim I→c∞ 1-x n→01-x 1 (~当<1时，limx2"=0.) 1-x 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 6 例2 lim(1 )(1 )(1 ) (1 ). 1 , 2 4 2 n x x x x x n + + + + → 求 当 时 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 x x x x x x n n − − + + + + = → 1 (1 )(1 )(1 )(1 ) (1 ) lim 2 4 2 原 式 x x x x x n n − − + + + = → 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) lim 2 2 4 2 x x x n n n − − + = → 1 (1 )(1 ) lim 2 2 x x n n − − = + → 1 1 lim 1 2 . 1 1 − x = ( 1 ,lim 0.) 1 2 = + → n x x n 当 时
例3设p(x)是多项式，且im p(x)-x3 x2 —=2, 1→00 imp=L,求p(x) x→0X 解：limp(e)-x 22, ∴.可设p(x)=x3+2x2+x+b(其中a,b为待定系数) 又limp=l, x→0X .p(x)=x3+2x2+c+b~x(→0) 从而得b=0,M=1.故p(x)=x3+2x2+x 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣a☑正 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 7 例3 1, ( ). ( ) lim 2, ( ) ( ) , lim 0 2 3 p x x p x x p x x p x x x 求 设 是多项式 且 = = − → → 解 2, ( ) lim 2 3 = − → x p x x x ( ) 2 ( , ) 可设p x = x 3 + x 2 + ax + b 其中a b为待定系数 1, ( ) lim 0 = → x p x x 又 ( ) 2 ~ ( 0) p x = x 3 + x 2 + ax + b x x → 从而得 b = 0,a = 1. p x = x + x + x 3 2 故 ( ) 2
[x-1,x>1 例4 讨论f(x) 的连续性 cos 2,x≤1 解 将f(x)改写成 1-x, x1 显然f(x)在(-0，-1)，(-1,1)，(1，+oo)内连续 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 8 例4 . , 1 2 cos 1, 1 讨 论 ( ) 的连续性 − = x x x x f x 解 将f x( )改写成 1 , 1 ( ) cos , 1 1 2 1, 1 x x x f x x x x − − = − − 显然f x( ) ( , 1), ( 1,1), (1, ) . 在 − − − + 内连续
当x=-1时， lim f(x)=lim(1-x)=2..lim f(x)lim f(x) 1 x→-1 me)=mcs=.x在r=-间航 当x=时， /=mcs受=.m=细树 x→1 x- limf(x)=lim(x-1)=0.故f(x)在x=1连续 c1 ∴f(x)在(-o,-1)U(-1,+o∞)连续 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣☒☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 9 当x = −1时, = − →− lim ( ) 1 f x x − = − →− lim (1 ) 1 x x 2. = + →− lim ( ) 1 f x x = + →− 2 lim cos 1 x x 0. lim ( ) lim ( ) 1 1 f x f x x x − + →− →− 故f (x)在x = −1间断. 当x = 1时, = → − lim ( ) 1 f x x = → − 2 lim cos 1 x x 0. = → + lim ( ) 1 f x x − = → + lim( 1) 1 x x 0. lim ( ) lim ( ) 1 1 f x f x x x → − → + = 故f (x)在x = 1连续. f (x)在(−,−1)(−1,+)连续