第三章 、 函数单调性的判定法 曲线的凹凸与拐点 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 日▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 1 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 第三章
函数单调性的判定法 问题的提出 B y=f(x) y=f(x) f'(x)≥0 f'(x)≤0 若y=f(x)在区间(a,b)上单调增加含 f'x)≥0 若y=f(x)在区间(a,b)上单调减少一 f'(x)≤0 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ▣▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 2 问题的提出 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调增加 若 y = f (x) 在区间（a,b)上单调减少 f (x) 0 f (x) 一、 函数单调性的判定法
定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若∫'(x)>0 (∫'(x)0,x∈I,任取，x2∈I(G10 5∈(6，x2)CI 故f(x)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 日▣a☒应 3
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 3 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证:无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间， 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-10(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 x (-0,1) 1 (1,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 0 f(x) 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞) 2 f(x)的单调减区间为1,2) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣自☑四4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 4 例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点. 例如，y=3x2,x∈(-0，+0) 2 y'= 33/ yx=0=00 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,xe(-0,+o0) 0 y'=3x2 y1x=0=0 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 日▣a☒应 5
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 5 y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x
单调区闻求法 (①)问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调。 (2)定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间。 (3)分界点：导数等于零的点（驻点）和不可导点， 可能是单调区间的分界点。 (④)单调区间求法： (I)确定f(x)的定义域(a,b),(2)求导数f'(x) (3)求出f'(x)=0的根及f'(x)不存在的点c,c2,,cm (4)确定区间(a,c(Cc2),…,(cn,b)内导数的符号； (5)若'(x)>0,则f(x)在该区间递增，反之递减， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣凸☑四6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 6 单调区间求法 ⑴ 问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调。 ⑵ 定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间。 ⑶ 分界点：导数等于零的点(驻点) 和不可导点， 可能是单调区间的分界点。 ⑷ 单调区间求法: 若 则 在该区间递增,反之递减. 确定区间 内导数的符号; 求出 的根及 不存在的点 确定 的定义域 求导数 (5) ( ) 0, ( ) (4) ( , )( , ), ,( , ) (3) ( ) 0 ( ) , , , ; 1) ( ) ( , ); (2) ( ); 1 1 2 1 2 f x f x a c c c c b f x f x c c c f x a b f x n n = (
例2.证明0<x≤时，成立不等式snx2 2 证：令fx)=s1nx_2 X 则在0，孕上准续在0，孕上可导，且 f'(x)= x·cosx-sinx cosx 后面证到 2 (x-tanx)<0 因此)在(0，爱内单调递诚。 tan x 又f()在7处左连续，因此f()≥f(号)=0 从而 sinr≥2 xe0, 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣a☑正7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 7 例2. 证明 时,成立不等式 证:令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 后面证
另例试证sinx=x只有一个实根。 解：设f(x)=sinx-x 先证存在性：x>1时f(x)≠0 f(x)在[-1,1]上连续，f(-1)>0,f①)<0 故f(x)=0在(-1,1)内有根 再证唯一性：x∈(-1,1)时，f'(x)=cosx-1≤0 (等号仅在x=0时成立) 故f(x)在(-1,1)单调减少， 因此f(x)=0仅有一个实根。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 9 另例 试证sin x = x只有一个实根。 : 1 ( ) 0 ( ) sin = − x f x f x x x 先证存在性 时 解：设 （等号仅在 时成立） 再证唯一性： 时， 0 ( 1,1) ( ) cos 1 0 = − = − x x f x x 故 在 内有根 在 上连续， ( ) 0 ( 1,1) ( ) [ 1,1] ( 1) 0, (1) 0 = − − − f x f x f f 因此 仅有一个实根。 故 在 单调减少， ( ) 0 ( ) ( 1,1) = − f x f x
另例当x>0时，试证x>ln(1+x)成立. 证r)=-la1+则f=1年 :f(x)在0，+o)上连续，且(0，+o)可导，f'(x)>0, ∴在0，+o)上单调增加； ∴.当>0时，f(x)>f0),f(0)=0, 即x-ln(1+x)>0,从而x>ln(1+x). 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣a☑正0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 10 另例 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； 当x 0时，f (x) f (0), f (0) = 0, 即 x − ln(1+ x) 0, 从 而 x ln(1+ x)
二、曲线的凹凸与拐点 问题：如何研究曲线的弯曲方向？ f(x)+f(x2) y=f(x)2 =f(x) ,+ 2 f+2 0■ 七1+2 2 X2 0xx+x2x2 x 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 8▣a☑正m
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 11 二、曲线的凹凸与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 2 1 2 x + x 2 1 2 x + x ) 2 ( 1 2 x x f + ) 2 x x f( 1 + 2 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x A B M N