复习上节 1.若ex是f(x)的原函数，则 ∫x2f0nx)dx=22+C 提示：f()=(exy=-e-x f(lnx))=-enx=-1 2.若f(x)是ex的原函数，则 )Cs c 提示：已知f'(x)=exfx)=-e+C0 A) X 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 复习上节 1. 若 (ln )d 2 = x f x x 提示: x e − = − x e −ln f (ln x) = − x 1 = − − x +C 2 2 1 2. 若 是 x e − 的原函数,则 = x x f x d (ln ) 提示: 已知 x f x e − ( ) = 0 f (x) e C x = − + − 0 1 (ln ) C x f x = − + x C x x f x 0 2 (ln ) 1 = − + C x C x + ln + 1 0
3.求下列积分： wj0 dx dx (2) sin2 xcos2x 提示： (1) =(1+x2)-x2.1 1 x21+x2)x21+x2)x2 1+x2 (2) sin2x+cos2x sin2 xcos2 x sin2 xcos2x =sec2x+csc2 x 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 3. 求下列积分: 提示: (1 ) 1 (1 ) 1 (1) 2 2 2 2 x x x + x = + x x x x 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 (2) = x x 2 2 = sec + csc x x 2 2 sin + cos 2 2 1 1 1 x + x = − ( ) 2 + x 2 − x
4.求不定积分 e+1 3x 解： e +1 dx e'+1 e+e2-e产+la e'+1 le2x ex+1)dx 2x -P -ex+x 2 如何积分？ 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 4. 求不定积分 解： ( 1) 2 − + x x e e 如何积分??
第四章 第二节换玩积分法 问题的提出 二、第一类换元法（凑微分法） 三、第二类换元法 四、小结与思考与判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣a☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 一、问题的提出 二、第一类换元法（凑微分法） 三、第二类换元法 四、小结与思考与判断题 第四章
一、 问题的提出 我们知道 cos xdx sin x+C 1 但是 ∫cos2xh=2sn2x+C≠sn2x+C 解决方法：利用复合函数，设置中间变量 1 令 u=2x→dk=三du, 2 利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是 非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不 定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称 为换元积分法。 2023年7月17日星期 蛛埠学院高等数学 O▣a☑☑
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 但是 cos 2xdx sin 2 sin 2 , 2 1 = x +C x +C 解决方法: 利用复合函数，设置中间变量. 令 u = 2x , 2 1 dx = du cos 2xdx u du = cos 2 1 = sin u +C 2 1 sin 2 . 2 1 = x +C 一、问题的提出 我们知道 cos xdx = sin x +C 利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是 非常有限的；我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不 定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称 为换元积分法
基本思路 设F'(u)=f(u),u=p(x可导，则有 dF[o(x)]=flo(x)]o'(x)dx ∫fIp(x]p'(x)de=F[o(x】+C=F(u+Cu=p(x) =∫f(u)du=o() 第一类换元法 ∫flp(x]p'(c)dr 第二类换元法 ∫fw)du 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 F(u) = f (u), 可导, F[(x)]+C d ( ) ( ) u u u x f = = ( ) ( ) = F u +C u= x dF[(x)] = f [(x)](x)dx 则有
一、第一类换元法 定理1.设f(W有原函数，u=p(x)可导，则有换元公式 ∫/Lp(xp'xdr=∫fw)du u=p(x) 即 ∫f[o(x)]p'(x)dr=∫fo(x)dp(x) (也称配元法，凑微分法) 注意使用此公式的关键在于将 fLp(x]p'(x)dc拼凑成fp(x)]dp(x) 即：∫g(x)d-∫f[p(xo'(ax)dc=∫f[o(xdp(x) u=p(x)Jfu)d=F(w)+C还原F[p(x)]+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 = f [(x)] (x)dx 一、第一类换元法 = f [(x)](x)dx = f [(x)]d(x) = F(u) +C 定理1. 设 f (u)有原函数,u =(x)可导, 则有换元公式 f (u)du u =(x) f ((x))d(x) (也称配元法 即 , 凑微分法) 注意 使用此公式的关键在于将 f[(x)](x)dx 拼凑成 f[(x)]d(x) 即： g(x)dx u =(x) f (u)du 还原 F[(x)]+C
例1.求∫ax+b)mdrm≠-1)， 解：令u=ax+b,则du=adx,故 原式=∫w”1du=1.1 m+1+C a m+1 1 (+b)m+I+C a(m+1) 注：当m=-1时 dx_=Inax++C ax+b a 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 例1. 求 解:令 u = ax + b , 则 d u = adx , 故 原式 = m u u a d 1 a 1 = u C m m + + +1 1 1 注:当 时
例2.求 dx 想到公式 f du 1+2 arctanu+C 令u=×,则du=dx a 1 du 1 =-arctan u+C aJ1+2 a 1 =-arctan()+C a a 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 + = 2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2. 求 解: , a x 令 u = 则 x a u d 1 d = + 2 1 u du a 1 u C a = arctan + 1 想到公式 + 2 1 d u u = arctan u +C ( ) a x =
由上面的解题可发现，变量只是一个中间变量， 在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要 换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以 采用不直接写出中间变量的做法。例如： 「2cos2xd=「cos2xd2x=sin2x+C 32-8+20- ∫2xedk=∫edx)=er+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑正o
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 由上面的解题可发现,变量 u只是一个中间变量, 在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要 换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以 采用不直接写出中间变量的做法。 例如： 2cos 2xdx dx x 3+ 2 1 xe dx x 2 2 e C x = + = cos 2x d 2x = sin 2x+C + + = x d x 3 2 (3 2 ) 2 1 = ln( 3+ 2x) +C 2 1 ( ) 2 2 e d x x =