第二章 第三节高阶导数 高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 三、 小结与思考判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 二、高阶导数的运算法则 三、小结与思考判断题 一、高阶导数的概念 第二章
一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 V=. 即v=s dt dv d ds 加速度a= dtdt dt 即 a=(s')' 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 一、高阶导数的概念 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动
定义.若函数y=f(x)的导数y=f'(x)可导，则称 ∫()的导数为fx)的二阶导数，记作y”或dy y=0y或dy-d dx2 dx dx 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 y",y(4) …,y 或 d3y dy dy d:3, dr4,… dxn 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 国▣自☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 定义.若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数, n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数, 或 的导数为 f (x) 的二阶导数, 记作 依次类推, 分别记作 则称
注：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 f(x)称为零阶导数 f'(x)称为一阶导数 例1.设y=a0+a41x+a2.x2++an”,求ym 解：y'=a1+2a2x+3ax2++nanx- y=2.la2+3.2a3x+…+nn-1)anx”-2 依次类推，可得ym=nla 思考：设y=x“(u为任意常数)，问ym=? (x“)m=4(u-10(u-2)…(u-n+1)x4-” 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣a☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 设 求 解: y = a1 +2a2 x + −1 + n n na x y = 21a2 + a x 3 2 3 2 ( 1) − + + − n n n n a x 依次类推 , ( ) ! n n y n a = + 2 3 3 a x 例1. 思考:设 (为任意常数), y = x 问 可得 注：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. ( ) . ( ) ; 称为一阶导数 称为零阶导数 f x f x
例2.设y=e,求ym 解：y'=aer,y”=ae,y"=a3ea ym）=a"ear y'= 1 1-x 特别有：(e)m)=e 例3，设y=ln(1+x),求y例 y”=- 1-x)2 解：y=1 1 。y”= 12 1+x 1+x)2,y”=(←1)2 1+x)3 ym=()-1n-y (1+x)” 规定01=1 思考：y=ln(1-x),ym) (n-1)! 1-x)” 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 n (1+ x) , , y = a 3 e ax 例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y = ae , 2 ax y = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y − = − 1 1 y = − 2 (1 ) 1 − x
例4.设y=sinx,求ym) 解：y'=cosx=sin(x+) y”=cos(x+)=sin(x++) =sin(x+2·) y=cos(x+2.)=sin(x+3.) 一般地， (sinx)m）=sin(x+n·) 类似可证： (cosx)m)=cos(x+n·受) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ▣▣☑☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 例4. 设 求 解: y = cos x sin( ) 2 = x + cos( ) 2 y = x + sin( ) 2 2 = x + + sin( 2 ) 2 = x + cos( 2 ) 2 y = x + sin( 3 ) 2 = x + 一般地, x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 n ) 2 n
例5.设y=eax sin bx(a,b为常数)，求ym 解：y'=aeax sin bx+beax cos bx =eax (asin bx+bcos bx) b =eaxa2+b2 sin(bx+o)(o=arctan) a y"=va2+b2 [ae ax sin(bx+p)+be ax cos(bx+o)] va2+b2 eax va2+b2 sin(bx+20) y(m)(a2+b2)2 eax sin(bx+no) (arctan a 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣a☑正 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 例5.设 y e bx ax = sin 解: y = ae bx + ax sin e (asin bx bcos bx) ax = + ( , ), a b为常数 求 . (n) y be bx ax cos ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 bx a b b bx a b a a b + + + + cos sin ax = e sin( ) 2 2 a + b bx + ( arctan ) a b = 2 2 y = a + b ( ) 2 2 2 ( ) n n y = a + b ax a b e 2 2 = + ( arctan ) a b = sin( 2 ) 2 2 a + b bx + e sin(bx n) ax +
例6.设f(x)=3x3+x2x,求使fm(0)存在的最高 阶数n=2 分析： f(x)= ∫4x3, x≥0 2x3,x<0 .f(0)=lim 2x3-0 0 x→0 12x2,x≥0 f(0)=lim 4x3-0 .f'(x)= =0 6x2,x<0 x0+X 6.x2 又f"(0)=limo=0 24x,x20 x→0X ·∫"(x)= 12x,x<0 f"(0)=lim 12x2 =0 r→01 但是f"(0)=12,f"0)=24,.f"(0)不存在 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 例6. 设 ( ) 3 , 3 2 f x = x + x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析: f (x) = 4 , x 0 3 x 2 , x 0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0 − = → − − = 0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0 − = → + + = 0 x 0 x 0 f (x) = 12 , 2 x 6 , 2 x f− (0) = x x x 2 0 6 lim → − = 0 f+ (0) = x x x 2 0 12 lim → + = 0 f (x) = 但是 (0) =12 , − f (0) = 24 , + f f (0) 不存在 . 2 又 24x, x 0 12x , x 0 阶数
二、高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(u±y)m）=nm）±vm 2.(C0m=Cm(C为常数) 3.())(D 2 +…+n-i)-.n-k+0ua-, k! +..+uv(n 莱布尼兹(Leibniz)公式 2023年7月17日星期 蛛埠学院高等数学 @▣☑☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + + 莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及
例7.y=x2e2x,求y20 解：设u=e2,v=x2,则 k=2e2x(k=1,2,…,20) v'=2x,v"=2, v)=0(k=3,…,20) 代入莱布尼兹公式，得 y20)=220e2x.x2+20.219e2x.2x+ 2019 2l8e2x.2 2! =220e2x(x2+20x+95) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣a☑正m
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 11 例7. 求 解:设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v = 2x , v = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2 x x e 19 2 + 20 2 2x 2 ! 2019 + 2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 , , 20 ) (k = 3 , , 20)