第二章 啃☒球导教方湖 隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 第二章
一、 隐函数的导数 显函数：因变量是由其自变量的某个算式来表示 比如：y=x2+5,y=xsin二+e, 定义：由二元方程(x,y)=0所确定 的函数y=y(x)称为隐函数 F(x,y)=0→y=f(x)隐函数的显化 例如，x-y3-1=0→y=1-x y5+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数 问题1：隐函数是否可导？ 但此隐函数不能显化 问题2：隐函数不易显化或不能显化如何求导？ 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 显函数: 因变量是由其自变量的某个算式来表示. 比如： , 2 5, sin 2 x e x y = x + y = x + 一、隐函数的导数 定义: 的函数 称为隐函数. 由二元方程 所确定 ( ) ( , ) 0 y y x F x y = = F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题2: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题1: 隐函数是否可导? 例如, 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化
隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y'的方程) dx 例1求由方程e'+xy-e=0所确定的隐函数 州学最会 解】 方程两边对x求导，e dy dr d +y=0 y dx x+ex 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣☑☑☑
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程) . 1 0 dx dy y e x y e y 的导数 例 求由方程 + − = 所确定的隐函数 y x e y dx dy + − = 解 方程两边对x求导, + + y = 0 dx dy x dx dy e y
例2.设-3x7+x-2y-y5=0,求y"在点(0,0)处的值 解方程两边对x求导得 -21x6+1-2y'-5y4y'=0 代入x=0,y=0得y==2 将上方程两边再对x求导得 -126x3-2y"-20y3(y2-5y4y"=0 代入x=0, =二得 y=0, 2 x=0 0 y=0 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 例2. 3 2 0, (0,0) . 设 − x 7 + x − y − y 5 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 21 1 2 5 0 6 4 − x + − y − y y = 代入 x = 0, y = 0得 ; 2 1 0 0 = = = y x y 将上方程两边再对x求导得 126 2 20 ( ) 5 0 5 3 2 4 − x − y − y y − y y = 得 2 1 0 0 = = = y x y 0, 0, = = y 代入 x 0. 0 0 = = = y y x
例3.求椭圆二+广1在点(2,3)处的切线方程， 16 9 解： 椭圆方程两边对x求导 x+2yy-0 891 9x 3 x=2 y=3 16y x=2 y=3V3 4 故切线方程为 y-33=- (x-2) 4 即 √3x+4y-83=0 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正；
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即
对数求导法 1方法：先在y=f(x)两边取对数，然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数 2.适用范围：适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数： 例如幂指函数：y=u(x))(u(x)>0) 先两端取对数ny=vlnw 1 两端对x求导：二y=v'lnu+v. 所以广=ax)(x)-lnae+W四 u(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑应 6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 对数求导法 1.方法: 2.适用范围: 先在 两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数. y = f (x) 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数. 例如幂指函数： ( ) ( ( ) 0) ( ) y = u x u x v x u u y v u v y = ln + 1 ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x y u x v x u x v x 所 以 = + 先两端取对数 ln y = v lnu 两端对x求导：
例3.设y=xsinx(x>O),求y 解等式两边取对数得ny=sin x.Inx 两边对x求导得-osxh+sx 1 ..y'=y(cos x.In x+sin x.-) =(cosxnsin 也可这样求：y=(esinxln)=sinxlnx(sin xInx) =esinxIn*(cosxl x+sin x.) =xx (cosx.sin) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 例3. 解 ( 0), . sin y x x y x 设 = 求 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x 两边对x求导得 x y x x x y 1 cos ln sin 1 = + ) 1 (cos ln sin x y = y x x + x ) sin (cos ln sin x x x x x x = + ) 1 (cos ln sin ( ) (sin ln ) sin l n sin l n sin l n x e x x x y e e x x x x x x x x = + = = ) sin (cos ln sin x x x x x x = + 也可这样求:
例4. 设y (x-1)(x-2) 求y V(x-3)(x-4) 解等式两边取对数得 ny=2(x-1)+x-2)-lmx-3)-n(x-4列 上式两边对x求导得 -1-1 1(x-10(x-2)1 -4x--2x-3:4 y= 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣□☑四8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 例4. 解 等式两边取对数得 [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 1 ln y = x − + x − − x − − x − 上式两边对x求导得 ] 4 1 3 1 ( 2) 1 1 1 [ 2 1 − − − − − + − = y x x x x y , . ( 3)( 4) ( 1)( 2) y x x x x y − − − − 设 = 求 ] 4 1 3 1 ( 2) 1 1 1 [ ( 3)( 4) ( 1)( 2) 2 1 − − − − − + − − − − − = x x x x x x x x y
另例-(89 (a>0,b>081 两边取对数 ny-xga[inb-inx]+bjnx-Ing] 两边对x求导 aa b 一一十 xX b 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 O▣☑☑☑9
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 另例 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a]
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程x=p y=v(t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，p(),w()可导，且[p'(t)]2+[t)]2≠0，则 p'(t)≠0时，有 dydy dtdy 1 w'(t) dx dt dx dt dx o(t) W(t)≠0时，有 dt dx dx dt dx 1'(t) dy dt dy dt dy w'(t) (此时看成x是y的函数)d1 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导,且 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (t) 0 时,有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系