第三节分部积分法 第四章 由导数公式(uw)}'=u'v+w 积分得： uv |u'vdx uv'dx uv'dx =uv-u'v dx 分部积分公式 或 udv=uv-vdu 选取u及v'(或)的原则： 1)v容易求得； 2)「vdr比uvdr容易计算. 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣a☒应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 1 由导数公式 (uv) = u v + uv 积分得: uv = u vdx + uv dx 分部积分公式 uv dx uv u v dx = − 或 ud v uv v du = − 1) v 容易求得; 容易计算. 第四章
例1.求xcosx dx 解：令 u=x, dv cosx dx =dsin x, 则du=dr, v=sinx ∴.原式=xsinx- sinxdx =xsinx+cosx+C 思考：如何求 xsinx dx? 提示：令u=x2,v'=sinx,则 原式=-x2cosx+2 xcosxd, =-xcosx+2xsin x+2cosx+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣自☑应2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 2 例1. 求 解:令 u = x, dv = cos x dx = d sin x, 则 du = dx , v = sin x ∴ 原式 = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u = x v = sin x, 则 原式
例2.求xInxdx 解：令u=lnx, w=s=d()） 则 du=二dx,v= r2n- 1x2+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 3 例2. 求 x ln x dx. 解: 令 u = ln x, ) 2 1 ( 2 dv = xdx = d x 则 , 1 dx x du = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2 − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1
例3.求x arctanxdx. 解： ：·原式=了arctan xd() 2 arctan.x- 12 1 x2 J1+x1 12 x-arctanx- 2 f- |z)dx + 1 xarctanx -(x-arctanx)+C 2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣☑☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 4 例3. 求 x arctan x dx. 解: ∴ 原式 ), 2 1 arctan ( 2 x d x = x arctan x 2 1 2 = + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 = + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1
例4.求∫e*sinxdx. 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=ex .原式=e*sinx-∫e'cosx dx 再令u=cosx,v'=e',则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-e*sinx dx 故 原式=e*(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=e,v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致. 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 5 例4. 求 e sin x dx. x 解: 令 u = sin x, x v = e , 则 u = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v = e , 则 u = −sin x, x v = e e x x = sin − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明:也可设 为三角函数,但两次所设类型 必须一致
解题技巧：选取u及的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂指三”的 顺序，前者为u后者为d 反：反三角函数 对：对数函数 例5.求arccosxdx. 幂： 幂函数 解：原式=xarccosx+x darccos 指：指数函数 三：三角函数 =xarccosx+ =x arccos x- 3∫0-x2)d1-x2) =xarccos x-v1-x2+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 6 解题技巧: − + x x x d 1 2 把被积函数视为两个函数之积, 按“反对幂指三”的 顺序,前者为 u 后者为 dv. 例5. 求 解: 原式 = x arccos x + x d arccos x = x arccos x (1 ) d(1 ) 2 2 2 1 2 1 − − − − x x = x arccos x− − x +C 2 1 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 = xarccos x
例6.求 Incosx dx. cos2x 解： 原式=」In cosxdtanx,. =tanx.I cosx+tan2x dx tanx-Incosx+(sec2x-1)dx = =tanx.Incosx +tanx-x+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☒正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 7 例6. 求 解: 原式 ln cos x d tan x, = = tan xln cos x + tan x dx 2 = tan x lncos x + (sec x −1) dx 2 = tan x lncos x + tan x − x +C
例7.求edr 解：令√x=t,则x=t2,dx=2tdt 原式=2∫te'dt=2∫td(e) =2ue'-2∫e'dl =2(te'-e)+C =2e*(Vx-1)+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑应8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 8 例7.求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + 2 ( ) t t d e = ) t − e +C t e e dt t t = 2 − 2
例8.求∫Vr2+a2dr(a>0) 解：令u=+a,1,则，= ∫+adk=xv+a2-jned =7+a-∫山 =xw+a-∫+adr+aj :原式=)x2+a2+号n(x+2+a2)+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 9 例8. 求 解: 令 , 2 2 u = x + a v =1, 则 , 2 2 x a x u + = v = x 2 2 x x + a + − x x a x d 2 2 2 2 2 = x x + a + + − − x x a x a a d 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 = x x + a − x + a dx 2 2 + + 2 2 2 d x a x a ∴ 原式 = 2 2 2 1 x x + a x x a C a + ln( + + ) + 2 2 2 2 + = x a dx 2 2
例9.求1n=J(2+a2 dx x2+a2nrl,则w 1 -2nx 解：令u= 2 (x2+a2)+y=x In= +a+2e+aymd Gra+)-a X (x2+a2ynr-dx X (x2+a2)n +2nln-2na2In 得递推公式In+1= 1 2n-1 21n 2na2(x2+a2)”2na2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @口自☑应0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 10 例9. 求 解:令 , ( ) 1 2 2 n x a u + = v =1, 则 , ( ) 2 2 2 +1 + − = n x a nx u v = x n I x x a x n n d ( ) 2 2 2 1 2 + + + n x a x ( ) 2 2 + = x x a n n d ( ) 2 2 2 +1 + + n x a x ( ) 2 2 + = n + 2n I 1 2 − 2 n+ na I 得递推公式 n n n I na n x a x na I 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 − + + + = 2 2 2 (x + a ) − a n x a x ( ) 2 2 + =