第一章 节 极限存在准则 1、夹逼准则（两边夹定理） 2、单调有界准则 二、两个重要极限 三、小结与思考判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☒应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结与思考判断题 1、夹逼准则(两边夹定理） 2、单调有界准则 第一章
一、极限存在准则 1、夹逼准则（两边夹定理） 准则|如果数列x,yn及乙n满足下列条件： (1)yn≤xm≤zm(n=1,2,3…） (2)lim y=a,lim=a, n-→oo n→o 那末数列xn的极限存在，且imxm=a。 n→c 证明略 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑应2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 一、极限存在准则 1、夹逼准则(两边夹定理） 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 x a n n = → lim . 证明略
数列极限存在的准则推广到函数的极限，有 推论如果当x∈Ug(x,)(或x>M)时，有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A,lim h(x)=A, 那末imf(x)存在，且等于A. x→ro (x-→0) 注： 利用夹逼准则求极限关键是构造出 y与zn,并且yn与zn的极限是相等的 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正3
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 推论 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于 A. 注： 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与zn ,并且 yn 与zn 的极限是相等的 数列极限存在的准则推广到函数的极限，有
例1.证明im/n=1 n→oo 1 .n>1,Vn=n">1令n"=1+an(an>0) 由二项 公式得 n=1+a,广=1+na,+nn-)a2 2 2a2+…+a nn-）a2 2 可见，a< 2n 2 即0<a< 2 n(n-1) n-1 Vn-1 ,∵lim0=lim =0∴.根据夹逼准则得，lim a=0. n→c0 n-→00 n-1 n→00 lim n =1 1→00 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 ©▣☑☑应4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 例1. lim = 1 → n n 证明 n 1, 1 1 = n n n n n 1 ( 0) 1 = + n n n 令n a a 公式得 由二项 n n n n a a n n na + + − = + + 2 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) 2 2 − = − n n n n 可见，an 1 2 0 an − n 即 0 1 1 lim 0 lim = − = n→ n→ n ,lim = 0. → n n 根据夹逼准则得 a lim =1 → n n n 2 2 ( 1) an n n − n n n = (1+ a )
例2.求lim( 1 1 1 n-→oVn2+1√n2+2 n2+n n 1 1 n 解 =< √n2+nn2+1Vn2+nn2+1 1 又lim lim- n→√n2+n ,,i=1, 1+ n n 1 lim- =lim ==1, n→0√n2+1n→∞ 1 由夹逼准则得 ,1+ n 1 lim( nw√m2+1√n2+2 十·十 )=1. n2+n 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ①▣自☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 例2. ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼准则得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
2、单调有界准则 数列{xn}单调增加x1≤x2…≤xn≤x+1≤…， 单调减少x1≥x2…≥Xm≥xm+1之…， 准则川单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 O▣☑☑应6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 2、单调有界准则 { }n 数列 x , 单调增加 x1 x2 xn xn+1 , 单调减少 x1 x2 xn xn+1 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限
例3.证明数列x,=V2+V2+√+V2 极限存在 证 1){xn}是单调递增的；(x+1>xn) 2)x1=V2<2,假定xk<2, xk+1=V2+xk<V2+2=2 ∴{x}是有界的；∴imx存在. 11→09 x+1=2+xn, limx+1=lim2+xa为 1-→c0 n→00 A2=2+A, 解得A=2,A=-1(舍去) 注：xm=V1+V1+V+ 1+5 ≈1.618 2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 例3. 证明数列xn = 2+ 2+ + 2 极限存在. 证 ( ) xn+1 xn 1) 是单调递增的; xn ) = , x 2, 假定 xk xk+1 = 2+ xk + = 是有界的; x n lim 存在. n n x → 2 , 2 xn+1 = + xn lim lim(2 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 2 , 2 A = + A 解得 A= , A= − (舍去) = → n n lim x + = + + + → . 注 ：xn
二、两个重要极限 1.lim sinx =1 x→0x 证：设单位圆O,圆心角∠AOB=x x∈(0，) 作单位圆的切线，得4AOD △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 sinx<x<tanx 1 故有 sinx cosx (0<x<) 显然有 cOSx< sinx<1 (0<x<) ,lim cosx=l,注 .∴.li sinx =1 x→0 x→0X 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、两个重要极限 证: 设单位圆 O,圆心角 = AOB x, 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 作单位圆的切线，得ΔAOD
sin'的图象 利用变量代换可导出述极限的一般形式 lim sina(x) =1; a(x)→0 a(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 2 4 6 8 10 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -8 -6 -4 -2 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 的图象 x sin x 利用变量代换可导出上述极限的一般形式： 1; ( ) sin ( ) lim ( ) 0 = → x x x
例4.（1) lim tanx x→0X 解 原式=im( inx.1 ）= sin x.lim x =1 x→0 x→0c0Sx (2) 求lim 1-cosx x→0 +2 2sin2 sin2 解 原式=lim - 2 x→0 x2 im 2x-→0 sin -lim( 2x-→0 22 1.12= 2 2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 例4. （1） . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 原式 2 2 0 2 2sin lim x x x→ 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x→ = 2 0 ) 2 2 sin lim( 2 1 x x x→ = 2 1 2 1 = . 2 1 = （2） x x x tan lim → ) cos sin lim( x x x x = → = = → x → x x x x cos lim sin lim 解