第四章不定积分 微分法：F(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？)=f(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算
第四章 紫节不定积分髓绣除与性质 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 9▣☑☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 二、基本积分表 三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念 第四章
问题的提出 我们知道 (sinx)'=cosx 反之， ()'cosx 不难知道 cosx=(sinx +C ) 因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算。 即已知fx)(？y=f(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ②▣☑☑☑
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 问题的提出 我们知道 (sin x) = cos x 反之， ( ? ) = cos x 不难知道 cos x = (sinx ) 因此，本章所讲的内容就是导数的逆运算。 + C 即已知 f (x) ( ? ) = f (x)
一、原函数与不定积分的概念 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为fx) 在区间上的一个原函数· 例（tanx)=sec2x,tanx是sec2x的原函数 1是-的原函数 (x2）=2x x2是2x的原函数 (x2+C）=2x x2+C是2x的原函数 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣a☒应 4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 例 (tan ) sec , 2 x = x tan x 是 x 2 sec 的原函数. , 1 1 2 x x = − 一、原函数与不定积分的概念 ( ) 2 , 2 x = x . 1 1 是 2 的原函数 x x − 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 2 x 是 2x 的原函数. ( 1 ) 2 , 2 x = x + 1 2 C x + C是 2x 的原函数
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数·（下章证明） 初等函数在定义区间上连续 0 初等函数在定义区间上有原函数 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑☑
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 问题: 1. 在什么条件下,一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在,它如何表示? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数 都在函数族F()+C(C为任意常数)内 证：1)(PF(x)+C)'=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) .[D(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 D(x)=F(x)+Co(C,为某个常数) 即D(x)=F(x)+C,属于函数族F(x)+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 定理 2. 都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0 为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫一积分号；f田一 被积函数； (P183) X— 积分变量；f(x)dx 一被积表达式. 若F'(x)=f(x),则 ∫f(x)dr=F()+C(C为任意常数) 例如， ∫edr=er+C C称为积分常数 ∫x2dx=x3+C 不可丢！ [sin xdx=-cosx+C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑正 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作
不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 ∫f(x)dr的图形 f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程。 解： .y=2x y=∫2rdr=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 2=12+C .C=1 因此所求曲线为y=x2+1 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣凸☑四
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + y o x (1, 2)
例2.质点在距地面x0处以初速0垂直上抛，不计阻 力，求它的运动规律。 解：取质点运动轨迹为坐标轴，原点在地面，指向朝上， 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为，初速为o 设时刻t质点所在位置为x=x(t),则 dx =v(t) (运动速度) dt x=x(t) 再由此求x(t) d2x dv =-9 (加速度) x0=x(0) dt 先由此求v() 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 9▣☒☑正0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上, (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 垂直上抛 ,不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)