第一章 第五节 极限运算法则 无穷小的性质 极限运算法则 三、求极限举例 四、小结与思考判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 一、无穷小的性质 二、极限运算法则 三、求极限举例 四、小结与思考判断题 第一章
一、 无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和仍是无穷小。 lim a=0,lim B=0 lim(a+B)=0. 证：设a及B是当x→∞时的两个无穷小 VE>0,3X1>0,X2>0,使得 当x>x时恒有aX时恒有AX时，恒有 a+p≤a+<+=8,枚ma+)=0 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。 如： 1,2 京+ ++）)= n 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 一、无穷小的性质 定理１有限个无穷小的和仍是无穷小。 lim = 0,lim = 0 lim( + ) = 0. 证： 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,X1 0, X2 0,使得 ; 2 1 当 x X 时恒有 ; 2 2 当 x X 时恒有 max{ , }, 取 X = X1 X2 当 x X时,恒有 + + 2 2 + = , 故 lim( + ) = 0. 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。 如： 2 1 ... ) 1 2 lim ( 2 2 2 + + + = → n n n n n
定理2有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。 设gx)在某定义域内有界， Iimf(x)存在， 则imf(x)g(x)=0. 证明：gx)有界，故存在M>0,使f(x)≤M Ve>0,limf(x)=0对于6=6，≥0 当0<x-xl<6,有/(x<点 故当0<x-x<δ1，有f(x)g(x)-0 =/x)g(ews/e3ux≤M7=e 推论：(1)常量与无穷小的积仍是无穷小： (2)有限个无穷小量的积仍是无穷小。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣自☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。 证明：g(x)有界，故存在M >０，使 f (x) M 0, lim ( ) 0 0 = → f x x x 对于 , 0 0 1 = M 0 , ( ) . 0 1 M x x f x 当 − 有 故当 0 , ( ) ( ) 0 0 1 x − x 有 f x g x − 设g(x)在某定义域内有界， lim f (x)存在， 则lim f (x)g(x) = 0. = = M f (x)g(x) f (x) g(x) M 推论:（１）常量与无穷小的积仍是无穷小； （２）有限个无穷小量的积仍是无穷小
例1.求1 im sinx x→00X 解：sinx≤1 lim二=0 y= X→0X 利用定理2可知 lim sinx =0. x→00X sinx 说明：y=0是y= 的一条水平渐近线 1 1 如： lim xarctan=0 lim xcos=0 0 x→0 lim sinx =limsinx=0 x→∞C x→∞C 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 例1.求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理2可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 如： 0 1 lim arctan 0 = → x x x 0 1 lim cos 0 = → x x x sin 0 1 lim sin lim = = → → x x x x x x 的一条水平渐近线
二、极限的四则运算法则 定理3.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,8(x)=B+B (其中，B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+a)±(B+B) =(A±B)+(x±B) 由定理1可知α±B也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证:因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理1可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3.若
推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x), 则A≥B.(P45定理5) 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 @▣☑☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 推论:若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示:令
定理4.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)]=Climf(x) (C为常数) 推论2.lim[f(x)]”=[limf(x)]”(n为正整数) 例2.设n次多项式Pn(x)=ao+a1x+…+anx”,试证 lim P (x)=P(xo). x→x0 证：lim P(x)=ao+a1limx+.+an lim x” x→x0 x→x0 x→x0 =P(xo) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 0▣a☑正7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 定理4.若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 . 说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x
定理5.若1imf(x)=A,limg(x)=B,且B0,则有 lim)=limf(x)4 g(x)limg(x)B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a,g(x)=B+B,其中a,B为无穷小 设y=f(四A=A+aA 1 (Ba-AB) g(x)BB+BBB(B+B) 无穷小 因此Y为无穷小，W_A 有界 +Y 8(x)B 由极限与无穷小关系定理得 lim()4 limf(x) g(x)B limg(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 定理5.若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证:因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小
定理6.若limxn=A,lim yn=B,则有 n→o n→oo ()lim(xn±yn)=A±B 1>00 (2)lim xnyn=AB (3)当y,≠0且B≠0时，1imxn=A n>oyn B 提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 可▣☑☑应9
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x y → n n n x y → (2) lim (3) 当y 0且B 0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数, 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论
注1：f(x),g(x)在同一变化趋势下，极限都要 在，否则不能用上述法则。 注2：对法则4，b不为0；法则1、2、3只 适用于有限个函数。 注3：若Iimf(x),limg(x),其中只有一个存在， 则im(f(x)+g(x)一定不存在； 注4：若1imf(x),limg(x)，两个极限都不存在， 则im(f(x)+g(x》不一定不存在； 比如： tim cos与，im(cos+1)月，但 → 1 lim(cos+1-cos二)=13. 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ▣a☑0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 注2：对法则４，b不为０；法则１、２、 ３只 适用于有限个函数。 注１： 在同一变化趋势下，极限都要 在，否则不能用上述法则。 f (x), g(x) 则 一定不存在； 注3：若 lim f (x),lim g(x) , 其中只有一个存在， lim( f (x) + g(x)) 则 不一定不存在； 注4：若 lim f (x),lim g(x) ，两个极限都不存在， lim( f (x) + g(x)) 比如： ) 1 . 1 1 cos 1 lim(cos 1) , 1 ,lim(cos 1 lim cos 0 0 0 + − = + → → → x x x x x x x 但