第三章 第北节曲率 问题的提出 二、 弧微分 三、曲率及其计算公式 四、曲率圆与曲率半径 五、小结与思考判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 五、小结与思考判断题 一、问题的提出 三、曲率及其计算公式 二、弧微分 四、曲率圆与曲率半径 第三章
一、问题的提出 我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度； 怎样描述曲线局部弯曲程度？ 4s 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 怎样描述曲线局部弯曲程度？ M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1 一、问题的提出 我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分 有不同的弯曲程度；
二、弧微分 设函数f(x)在区间 (,b)内具有连续导数 在曲线上取点：A(x,y) M 作为度量弧长的基点 对于曲线上任意一点M(x,y), 0 规定：（①）曲线的正向为增大的方向 (2)M=s,当M的方向与曲线正向 致时，s为正，相反时，s为取负 易看出：弧长S=sx)是x的单调增函数， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 二、弧微分 A 0 x M x ( , ) . ( ) 内具有连续导数 设函数 在区间 a b f x x y o . : ( , ) 0 0 作为度量弧长的基点 在曲线上取点 A x y 对于曲线上任意一点M(x, y), 规定： (1)曲线的正向为x增大的方向; () AM = s, 一致时, 为 正,相反时, 为取负. 当 的方向与曲线正向 s s AM 易看出：弧长 s = s(x) 是x的单调增函数
下面求S=S(x)的导数与微分 设N(x+△x,y+△y)为曲线 上的另一点△= -】 x+△x MN MN (△x As 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 下面求 s = s(x) 的导数与微分 , ( , ) 上的另一点 设N x + x y + y 为曲线 s = MN N M T A 0 x x x + x x y o 2 2 = x MN x s 2 2 = x MN MN MN ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y MN MN + = ( ) + = 2 2 2 ( ) 1 x y MN MN ( ) + = 2 2 2 ( ) 1 x y MN MN x s
当△x→0时，N→M A M lim lim N→M w =1 by=y Ar-→0△x 0 xo x+△r 故k=±√1+y2d s=s(x)为单调增函数， 故ks=√1+y2 或 k=V(dc)2+()2 弧微分公式 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣☑☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 当x →0时, N → M ds y dx 故 = + s = s(x)为单调增函数, ds y dx 故 = + 弧微分公式 N M T A 0 x x x + x x y 1 o lim 2 = → MN MN N M y x y x = →0 lim 或 ds = (dx) + (dy)
s所代表的几何意义如下图所示： y=f(x) 红色的线所勾勒出的 三角形是著名的莱布 M 尼兹微分三角形 dx 0xx+dx 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣自☑应6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 ds 所代表的几何意义如下图所示：
三、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 △S 1)弧段弯曲程度越大转角越大， 2)转角相同弧段越短弯曲程度越大。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑应 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 三、曲率及其计算公式 ——描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 1、曲率的定义 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 1）弧段弯曲程度越大转角越大， 2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。 1
设曲线C是光滑的， M M是基点=△s, 7△ M→M'切线转角为△a. MS M c人a+△a 0 定义 弧段MM的平均曲率为K= △a △s 曲线C在点M处的曲率K=Iim △ As-→0△S 在lim △ada 存在的条件下，K= da △s-→0△S ds ds 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 + S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =
例1直线的曲率处处为零. △a=0,K=lim △C 0 △s→0△S 例2圆上各点处的曲率等于半径的倒数， 且半径越小曲率越大 设圆的半径为R,△s=R·△a △a1 △a1 △sR K=lim As-→0△SR 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 回▣a☑应9
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 例1 直线的曲率处处为零. 例2 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 且半径越小曲率越大. = = = → s K s , lim s R = 设圆的半径为R,s = R s R K s = = → lim
2、曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，：tana=y', 有a=ann火，ia=1k,h=,+yrt .k= 。 (1+y2)2 设 x=(t), 六k=9'(0w"(0-p"u)w(0 [y=w(t), 3 [p2(t)+w2(t02 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正o
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 = = ( ), ( ), y t x t 设 . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = 2、曲率的计算公式 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y k + = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx