第二章 第章导勒微粉习题课 主要内容 典型例题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正 1
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 二、典型例题 一、主要内容 第二章
一、 主要内容 关 =y'台=y'台△y=少+0（△x 系x 基本公式 导 数 微分 △y 高阶导数 lim y=Jy'△x △x→0△C 高阶微分 求导法则 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣☑☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 求 导 法 则 基本公式 导 数 x y x →0 lim 微 分 dy = yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy = = = + 高阶导数 高阶微分 一、主要内容
基本导数公式 (常数和基本初等函数的导数公式) (C)'=0 (sinx)'=cosx (x")=ux-1 (tanx)'=sec2x (cosx)'=-sinx (sec x)'=sec xtgx (cotx)'=-csc2x (ax)'=axIna (cscx)'=-csc xctgx 1 (ex)'=ex (logx)'=- Ina (nxy=I (arcsin x)'=- 1 1-x2 1 (arccosx)'=- (arctanx)=1 V1-x2 1+x2 1 (arccotx)'= 1+x2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 基本导数公式 2 2 2 1 1 (arctan ) 1 1 (arcsin ) ln 1 (log ) ( ) ln (sec ) sec (tan ) sec (sin ) cos ( ) 0 x x x x x a x a a a x xtgx x x x x C a x x + = − = = = = = = = （常数和基本初等函数的导数公式） 2 2 2 1 1 1 ( cot ) 1 1 (arccos ) 1 (ln ) ( ) (csc ) csc (cot ) csc (cos ) sin ( ) x x x x x x e e x xctgx x x x x x x x x + = − − = − = = = − = − = − = − arc
基本初等函数的微分公式 d(C)=0 d(x")=pxu-dx d(sinx)=cos xdx d(cosx)=-sin xdx d(tanx)=sec2 xdx d(cotx)=-csc2 xdx d(secx)=sec xtanxdx d(cscx)=-cscxcotxdx d(ax)=ax Inadx d(ex)=exdx ddog)=I ds ddnx)=1dx xIna 1 1 d(arcsin x)=- -xide d(arccosx)=- 1 1 d(arctanx)=- d(arc cotx)=- +t24 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正 4
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 基本初等函数的微分公式 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = − dx x dx d x x d x dx x dx d x x d x dx x dx d x x a d x d a a adx d e e dx a x x x x 2 2 2 2 1 1 ( cot ) 1 1 (arctan ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) 1 (ln ) ln 1 (log ) ( ) ln ( ) + = − + = − = − − = = = = = arc
二、典型例题 例1.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100), 求f'(0) 解f'(0)=lim f(x)-f(0) X)0 x-0 =lim(x-1(x-2)…(x-100) x→0 =100! 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 O▣a☑正；
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 例1. (0). ( ) ( 1)( 2) ( 100), f f x x x x x = − − − 求 设 解 0 ( ) (0) (0) lim 0 − − = → x f x f f x lim ( 1)( 2) ( 100) 0 = − − − → x x x x =100! 二、典型例题
2.设y=ann+平+h++求y 4 V1+x2-1 X 21+(W1+x2)2V1+x2 + 1 X 4V1+x2+1V1+x2V1+x2-1V1+x 1x（ 11 21+2+x2 -1 (2x+x3)V1+x2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣自☑ 6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 例2. 设 , 求 1 1 1 1 ln 4 1 arctan 1 2 1 2 2 2 + − + + = + + x x y x y . y = 2 2 1 ( 1 ) 1 2 1 + + x 2 1 x x + ln( 1 1) ln( 1 1) 2 2 + x + − + x − ( 1 1 1 4 1 2 + + + x 2 1 x x + 1 1 1 2 + − − x ) 2 1 x x + ( 2 1 2 1 x x + = 2 2 1 + x ) 2 1 x − 3 2 (2 ) 1 1 x + x + x − =
r+r求 「x=2t+t 例3.设 解分析：当t=0时，t导数不存在 当=时会密不布在 不能用公式求导！ Ay=lim 5(△t)2+4△t△t lim △t[5+4sgn(△t)川 ar-→0△x△-→0 2△t+△t △1-→0 2+sgn(△t) =0. 放少 s0. 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 例3. , . 5 4 2 2 =0 = + = + t dx dy y t t t x t t 设 求 解 分析: 当t = 0时, t导数不存在, 当 0时, , 不存在, dt dy dt dx t = 不能用公式求导. t t t t t x y x t + + = → → 2 5( ) 4 lim lim 2 0 0 2 sgn( ) [5 4sgn( )] lim 0 t t t t + + = → = 0. 0. t=0 = dx dy 故
例4.设函数y=f(x)油方程少=x(x>0,y>0) 所确定，求4y 解两边取对数ny=nx,即ylny=xlnx, .(1+Iny)y'=Inx+1, 少'=血x+1 1+Iny I(my+1)-(nx+1 (1+lny)2 =y0ny+1)2-xnx+1)2 (lny+1)3 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 回▣☑☑应8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 , . ( ) ( 0, 0) 2 2 dx d y y f x y x x y y x 所确定 求 例4. 设函数 = 由方程 = 解 两边取对数 ln , 1 ln 1 x y y x = 即y ln y = x ln x, (1+ ln y) y = ln x + 1, , 1 ln ln 1 y x y + + = 2 (1 ln ) 1 (ln 1) (ln 1) 1 y y y y x x y + + − + = 3 2 2 (ln 1) (ln 1) (ln 1) + + − + = xy y y y x x
例5.设f(x)=xx(x-2),求f'(x). 解先去掉绝对值 「x2(x-2),x≤0 f(x)={-x2(x-2),02或x<0时，f'(x)=3x2-4x; 当0<x<2时，f'(x)=-3x2+4x; 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 例5. 设f (x) = x x(x − 2),求 f (x). 解 先去掉绝对值 , ( 2), 2 ( 2),0 2 ( 2), 0 ( ) 2 2 2 − − − − = x x x x x x x x x f x 当x = 0时, (0) = (0) = 0, − + f f f (0) = 0; 当0 x 2时, ( ) 3 4 ; 2 当x 2或x 0时, f x = x − x ( ) 3 4 ; 2 f x = − x + x
当x=2时， f(2)=lim r2- f)-f2)=im-x2--. x-2 X→2 x-2 =im(-f(2)=lim x2(x-2)=4 r2+ x-2 2*x-2 '(2)≠f(2),.f(x)在x=2处不可导 [3x2-4x,x>2,或x<0 f'(x)=0,x=0, -3x2+4x,0<x<2, 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正o
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 当x = 2时, 2 ( ) (2) (2) lim 2 − − = − → − x f x f f x 2 ( 2) lim 2 2 − − − = → − x x x x = −4. 2 ( ) (2) (2) lim 2 − − = + → + x f x f f x 2 ( 2) lim 2 2 − − = → + x x x x = 4. (2) (2), − + f f f (x)在x = 2处不可导. − + = − = 3 4 ,0 2, 0, 0, 3 4 , 2, 0 ( ) 2 2 x x x x x x x x f x 或