第一章 瓢情颈的娃 问题的提出 函数的连续性 三、函数的间断点 四、小结与思考判断题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ©▣a☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 一、问题的提出 二、函数的连续性 三、函数的间断点 四、小结与思考判断题 第一章
一、问题的提出 连续性是函数的 温度C 重要性态之一，在实 际问题中普遍存在连 续性问题，从图形上 看，函数的图象连绵 不断。 14 24T(时间) 一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 一、问题的提出 0 T(时间） 温度C 4 14 24 一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。 连续性是函数的 重要性态之一，在实 际问题中普遍存在连 续性问题，从图形上 看，函数的图象连绵 不断
二、函数的连续性 1.函数的增量 设函数fx在Un,d内有定义，VxEU(,), x=x-x,称为自变量在点x,的增量. 少=fy-f,,称为函数f相应于x的增量 y=f(x) y=f(x) △y △ △x 0 +△xx 01 xo+Ax 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 O▣a☑正 3
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 二、函数的连续性 1.函数的增量 = − 设函数 在 内有定义, , 称为自变量在点 的增量. 0 0 0 0 f(x) U(x ,δ) x U(x ,δ) Δx x x , x Δy f(x) f(x ),称为函数f(x)相应于Δx的增量. = − 0 x y 0 x y 0 0 x x + x 0 y = f (x) x x Δx 0 + 0 x x y y y = f (x)
2、函数在一点连续的定义 定义1设函数f(x)在U(xo,)内有定义，如 果当自变量的增量△趋向于零时，对应的函 数的增量△y也趋向于零，即im△y=0或 △x→0 Iim[f(x,+△x)-f(o】=0,那末就称函数 f(x)在点x连续，x称为f(x)的连续点 设x=x,+△x, △y=f(x)-f(x), △x→0就是x→x,△y→0就是f(x)→f() 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 可▣☑☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 2、函数在一点连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 U(x0,δ)内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 x0连续, x0称为 f (x)的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 → → y f x f x 0 ( ) ( ). 就是
定义2设函数f(x)在U(xo,)有定义，如果函 数f(x)当x→x,时的极限存在，且等于它在点 x,处的函数值f(x,),即limf(x)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x,连续. 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件： (I)f(x)在点x处有定义； (2)imf(x)存在； →X0 (3)lim f(x)=f(xo). x→x0 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 O▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 定义 2 设函数 f (x)在 U(x0,δ)有定义,如果函 数 f (x)当 x → x0 时的极限存在,且等于它在点 x0 处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0连续. ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = →
“ε-6”定义 ε>0,36>0，当x-x<时，恒有 f(x)-f(xo)<. 例1 试证函数f(x)= xsim,x≠0，在x=0 0, x=0, 处连续 .limx2sin=0,f(0)=0,limf(x)=f(O), 证 x→0 0 由定义知， 函数f(x)在x=0处连续。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 2 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 2 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义知， 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = → “ −”定义 ( ) ( ) . 0, 0, 0 0 − − f x f x 当 x x 时，恒有
3、单侧连续性 左连续若f(x)在(a,x]内有定义，且f(x。-O)=f(x) 则称f(x)在点x处左连续； 右连续若f(x)在[x,b)内有定义，且f(x+0)=f(x), 则称f(x)在点x处右连续 结论 函数f(x)在x处连续一→是函数f(x)在xo 处既左连续又右连续， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☑☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 3、单侧连续性 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 左连续 右连续 结论
例2.讨论函数f(x)={ x2+2,x<0, x2-2,x≥0， 在x=0处的 连续性 解 limf(x)=lim(x2-2)=-2=f(0), x0 2s0 1imf(x)=lim(x2-2)=2≠f(0), x→0 x→01 右连续但不左连续， 故函数f(x)在点x=0处不连续， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 例2. . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 2 2 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim ( 2) 2 0 0 = − → + → + f x x x x = −2 = f (0), lim ( ) lim ( 2) 2 0 0 = − → − → − f x x x x = 2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4、区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间 上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。 如果f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点 x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，则称函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，记f(x)∈C[a,b] 注：(1)连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 (2)有理整函数在区间(-∞，+∞)内是连续的。 (3)有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 4、区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间 上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。 ( , ) ( ) [ , ] ( ) [ , ]. a b x a x b f x a b f x C a b = = 如果 ( )在开区间 内连续,且在左端点 处右连续,在右端点 处左连续,则称函数 在闭区间 上连续,记 f x 注: ⑴ 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 ⑵ 有理整函数在区间(-∞,+∞)内是连续的。 ⑶ 有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的
例3.证明函数y=sinx在区间(-oo,+oo)内连续. 证任取x∈(-o,+0), y=sinc+△y-smre2sim号·cosr+ 2 +L则s2in 对任意的a,当o≠0时，有sino<o, (夹逼准则) 故0≤A≤2sin贷<|a,…当Ar→0时40 即函数y=sinx对任意x∈(-oo,十o)都是连续的， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ⊙▣□☒四0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 例3. 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取x(−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的,当 0时, 有sin , , 2 0 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的. (夹逼准则）