第三章 第童中值导数应 主要内容 、 典型例题 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 二、典型例题 一、主要内容 第三章
一、主要内容 洛必达法则 0°，1°，0°型 Cauchy 0 令y=f 中值定理 型 00一o0型 取对数 1g-1/f 0.00型 00 F(x)=x f-8= 1g.l/f 型 1/g Lagrange f(a)=f(b Rolle 中值定理 定理 导数的应用 n=0 单调性，极值与最值 Tay lor 常用的 凹凸性，拐点，函数 中值定理 图形的描绘；曲率. 泰勒公式 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ②▣a☑正 2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘;曲率. 导数的应用
例1验证罗尔定理对)y=hsn在爱爱上的正确性 解D:2kπ<x<2kπ+π， (k=0,±1，…) 且在后爱]上连续又y=cax在（管爱）内处处在 6 但f爱=f ）=-h2 =hsx在？爱上满足罗尔定理的条件 由y'=cotx=0, 在后爱)内腿然有辑 π 0. 1. 2,9 2 -0.1 -0.2 取-是 -0.4 则f(5)=0. -0.5 -0,6 0. 这就验证了命题的正确性， 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ②▣凸☒四 3
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 例1 ] . 6 5 , 6 验证罗尔定理对 ln sin 在[ 上的正确性 y = x 解 D : 2k x 2k +, (k = 0,1, ) ] . 6 5 , 6 且在[ 上连续 又 在 )内处处存在 6 5 , 6 cot ( y = x ) 6 5 ) ( 6 ( 并且 f = f = −ln 2 ] . 6 5 , 6 ln sin 在[ 上满足罗尔定理的条件 y = x 由 y = cot x = 0, 在 )内显然有解 6 5 , 6 ( . 2 x = , 2 取 = 则 f () = 0. 这就验证了命题的正确性
例2.设f(x)=3x2+2x+5,求f(x)在[a,b]上满足 拉格朗日中值定理的5值， 解：f(x)为多项式，在[a,b]上满足拉格朗日中值 定理条件，故 (3b2+2b+5)-(3a2+2a+5)=(65+2)b-a) 由此解得， 2 (即此时5为区间[a,b]的中点) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣☒应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 例2. 设 f (x) = 3x 2 + 2x + 5，求 f (x) 在[a, b]上满足 拉格朗日中值定理的 值. 解：f (x)为多项式，在[a, b]上满足拉格朗日中值 定理条件, 故 (3 2 5) (3 2 5) (6 2)( ) 2 2 b + b + − a + a + = + b − a 由此解得, 2 b + a = (即此时 为区间[a, b]的中点)
1 1 1 例3.设a0,a,,a,满足4+2a++n4-1 n+7a,=0, 证明方程a十a1x+..+am-1x-1+anx"=0 在(0,1)内至少有一实根 证：令)=a++4会r+4州 n n+1 则，fx)∈C([0,1]),在(0,1)内可导。 叉f00,0=a+号+…+%+2，-0 n n+1 即f(O)=f(1)故fx)满足Rolle定理条件 由Rolle定理，命题获证 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 ②▣☒☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 例3. 设a0 , a1 , …, an满足 0, 1 1 1 2 1 0 1 1 = + + + + n− + an n a n a a 证明 方程 a0 + a1x +…+ an−1 x n−1 + an x n = 0 在(0, 1)内至少有一实根 证: 令 1 2 1 1 0 2 1 ( ) − + + = + + + + n n n n x n a x n a x a f x a x 则，f (x)C([0, 1])，在(0, 1)内可导。 又 f (0)=0, 0 2 1 (1) 1 1 0 = + = + + + + − n a n a a f a n n 即 f (0)=f (1) 故 f (x)满足Rolle定理条件. 由Rolle定理，命题获证
例4.证明：若f(x)在(-0，+0)内满足关系式 f'(x)=f(x),f0)=1,则fx)=e 证：要证/0=e5e(wm→9-lxe(m+o以 令o()=f八四，x∈（←o,+o(转化证明p')=0) ex (x)=((xy=I(x)e"-I(X)e ex e2x fx)-f)=0,x∈(-0，+o0) ex .p(x)=Cx∈(-0，+0) 又f0)=1,故0)=f0) e0 =1→C=1 从而f(x)=e,x∈(-o,+o0) 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 @▣☑☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 例4. 证明：若f (x)在(−, +)内满足关系式 f (x) = f (x)，f (0) = 1，则 f (x) = e x . 证：要证 f (x) = e x , x(−, +)， ( ) 1, ( , ), x f x x e − + 令 , ( , ). ( ) ( ) = x − + e f x x x (转化证明 (x) = 0) (x) = C x (−,+) 又 f (0)=1, 故 1 1 (0) (0) 0 = = C = e f 从而 f (x) = e , x (−,+) x x x x x e f x e f x e e f x x 2 '( ) ( ) )' ( ) '( ) ( − = = 0, ( , ) '( ) ( ) = − + − = x e f x f x x
例5.证明若f(x)在[a,b]上可微，则至少存在一点 5a,b,使bfb)-时(@=f传)+5f5) b-a 分析：要证明 bf(b)-af(a)=(f(5)+f'(5)b-a) 与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作 辅助函数 F(x)=xf(x),x∈[a,b] 余下的由学生自己完成： 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 例5. 证明若f (x)在[a, b]上可微，则至少存在一点 ( ) '( ) ( ) ( ) f f b a bf b af a = + − − (a, b), 使 分析: 要证明 bf (b) − af (a) = ( f ( ) +f '( ))(b − a) 与拉格朗日中值定理的式子比较可知，可作 辅助函数 F(x) = x f (x), x [a,b]. 余下的由学生自己完成
例6证明：当0<a<b时，b,a<nb<b-4 b a 证即要证 5b-a)<nb-na<。b-a) 令f(x)=hx,x∈[a,b], 则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件， 故 hh-ha=E6-a以.g∈ab 111 bga b-azm .b b-a b b a 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 例6 证明：当 0 < a <b 时， a b a a b b b a − − ln 证 即要证 ( ) 1 ( ) ln ln 1 b a a b a b a b − − − 令 f (x) = ln x, x[a,b], 则 f (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理条件， 故 b − a = (b − a), ξ (a,b) 1 ln ln b a 1 1 1 a b a b b b b a − − ln
另例.求imx-x.(1°) → 解 原式=lime limnx =px→11-xnx→1-1=e, x→1 1 例7求lim(cotx)nx.(oo°) x→01 1 1 解取对数得(cotx)hr=(t, 1, 1 1 .∵lim In(cotx)=lim cotx sin2x x→0*lnx x→0+ 1 lim- -x -=-1, x x-→0*c0sx·Sinx 原式=e 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 @▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 另例. 解 lim . 1 1 1 x x x − → 求 ( 1 ) x x x e ln 1 1 1 lim − → 原式 = x x x e → − = 1 ln lim 1 1 1 lim →1− = x x e . −1 = e 例7 解 lim (cot ) . ln 1 0 x x x 求 → + ( ) 0 (cot ) , ln(cot ) ln 1 ln 1 x x x x e 取对数得 = ln(cot ) ln 1 lim 0 x x x → + x x x x 1 sin 1 cot 1 lim 2 0 − = → + x x x x cos sin lim 0 − = → + = −1, . −1 原式 = e
x2 例8.求极限 im/1+5x-(1+x) 解分子关于x的次数为2. .1+5x=(1+5x)5 -1+g5+小-6+ 1 =1+x-2x2+0(x2) 原式=im x2 1 x01+x-2x2+0(x2)1-(1+x)-2 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 @▣a☑正0
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 例8. . 1 5 (1 ) lim 5 2 0 x x x x→ + − + 求极限 解 分子关于 x 的次数为 2. 5 1 5 1+ 5x = (1+ 5x) 1) (5 ) ( ) 5 1 ( 5 1 2! 1 (5 ) 5 1 1 2 2 = + x + − x + o x 1 2 ( ) 2 2 = + x − x + o x [1 2 ( )] (1 ) lim 2 2 2 0 x x o x x x x + − + − + = → 原式 . 2 1 = −