第三章 Ξ泰鹅e 理论分析 用多项式近似表示函数一应用 近似计算 泰勒公式的建立 二、常用函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣a☑正
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 1 二、常用函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 —应用 理论分析 近似计算 第三章
问题的提出 一、 泰勒公式的建立 在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单 的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。 我们已经介绍了用线性函数（一次多项式）来近似 表示函数的方法，即当x-x很小时，有 f(x)f(xo)+f(xo)(x-xo) [f(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+o(x-x)】 例如：当x很小时，e≈1+x,ln(1+x)≈x y=x y=1+x y=In(1+x) X 2023年7月17日星期 蚌埠学院高 因▣a☑应 2
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 2 问题的提出 在理论分析和近似计算中，常希望能用一个简单 我们已经介绍了用线性函数（一次多项式）来近似 ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f − 即当 0 x − x 很小时，有 0 0 0 0 [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] f x f x f x x x o x x = + − + − 的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。 表示函数的方法， 例如：当 x 很小时,e x x 1 + , ln(1 + x) x y = ln(1+ x) y = x o x y x y = e y = 1+ x o x y 一、泰勒公式的建立
以直代曲近似存在不足： 1、精确度不高 2、误差不能估计. (I)思路：寻找高次多项式函数P(x),使得(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计。 (2)提出问题：设f(x)在含有x的开区间内具有直到 (n+l)阶导数，试找出一个关于(x-xo)的n次多项式： P(x)=+a1(x-x)+2(x-x)）'+…+an(c-x)” 来近似表达孔x),误差R(x)=x)Pn(x)是比(xxo)” 高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式。 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣自☑应
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 3 ⑴思路: n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − ⑵提出问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 以直代曲近似存在不足： 寻找高次多项式函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计。 设 f (x)在含有x0的开区间内具有直到 (n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0 )的n次多项式: 来近似表达 f(x),误差 Rn (x) = f(x)-Pn (x)是比 (x-x0 ) n 高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式
(3)分析：假设P.(x)=fx,P()=f'(x), P(x)=f"(x2…,P0”(x)=f(x) (④)假设的理由 1.若在x。点相交 近似程 P(xo)=f(xo) =f(x) 2.若有相同的切线 越来越好 P(x)=f'(x) 3.若弯曲方向相同 P(x)=f"(x) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣a☑正
2023 年 7 月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 4 0 x y = f ( x ) o x y ⑷ 假设的理由 ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 x 0 点相交 ⑶ 分析 :假设 ( ) ( ), , ( ) ( ). 0 ( ) 0 ( ) P x 0 f x 0 P x f x n n n = n = ( ) ( ), 0 x 0 P x f n ( ) ( ), = 0 x 0 P x f n =
(⑤)多项式系数的确定 由假设P(x)=f(xo)k=0,l,2,…,n a=f(x,1a1=f'(x),22=f"(x) …,-an=f(x) 得a了，) (k=0,1,2,…,n) 代入P(x)中得 Pw)=f)+fx,x-)+"x-x}+ 2: f((x-x)” n! 下面定理表明，上式多项式即为要找的次多项式。 2023年7月17日星期 蚌掉学院高等数学 因▣☑☑应 5
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 5 ( ), 0 x0 a = f n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n = ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0,1,2, , k k 由假设 P x f x k n n = = ( ) 0 1 ( ) ( 0,1,2, , ). ! k k a f x k n k 得 = = ( ) 代入 P x n 中得 ⑸ 多项式系数的确定 下面定理表明，上式多项式即为要找的n次多项式
Taylor中值定理若f(x)在含有x,的某个开区间(a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则对任一xE(a,b),f(x)可 表为(x-x)的一个n次多项式与一个余项R,(x)之和： =fx,)+f'x,x-)+x-} 2! ++f(x-x”+R.(树 其中R=mx-5在x与x之间。 (n+1)g 证明：由R(x)=f(x)-Pn(x),只需证明 .()(() 1(5在x与x之间). (n+1) 2023年7月17日星期一 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑正6
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 6 Taylor 中值定理 若 f (x)在含有x0的某个开区间(a,b) 内具有直到(n + 1)阶的导数，则对任一x∈(a,b)，f (x)可 表为( ) x − x0 的一个n次多项式与一个余项R (x) n 之和： 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x之间). ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 证明: R (x) f (x) P (x), 由 n = − n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x之间). 只需证明
由假设，R(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且 Rn(x)=R(x)=R”(x)=…=Rm(x)=0 对两函数R(x)及(x-x)+1在以x及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件，得 R(x)-R(x)-R(x)」 R,(5) (x-x)H(x-x)-0(n+10(5-x (5在x与x之间) 再对两函数R(x)及(n+1)(x-x)"在以x及51为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣a☑回 7
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 7 由假设，R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶导数，且 对两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 x0及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件，得 n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n 再对两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在 以 x0及 1为 端 点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 ( ) 1 在x0 与x之间
R,(5) P,(5)-R,(x) R(52) (n+10(5-x)”(n+10(5,-xo)”-0 (n+10(52-x)”- (52在x与5之间) 如此下去，经过(n+1)次后，得 Rn(x)_R+(5) (5在x与5m之间， (x-n=a+i员 也在x与x之间) p(+D(x)=0,..R(D(x)=f(mD(x) 则由上式得 R,(x)= fa(2(x-x,)1(在x,与x之间) (n+1)！ 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣自☑正8
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 8 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R 1 2 0 2 ( 1)( ) ( ) − + − = n n n n x R 如此下去，经过(n + 1)次后，得 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n ( ) 2 在x0 与1 之间) ( , 0 0 也在 与 之间 在 与 之间 x x x n ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = ( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 则由上式得
注：①称下式为x)按(-xo)幂展开n次近似多项式 -2g- ②称下式为x)按(x-xo)幂展开n阶泰勒公式 -2-广+R国 其中R(x)= ∫2(x-x,）1为拉格朗日余项 (n+1川 ③当n=0时，泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=f(xo)+f'(5)(x-x)(5在x与x之间) 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣☑☑☑：
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 9 注：① 称下式为 f(x) 按 (x-x0 ) 幂展开n次近似多项式 = = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) ② 称下式为 f(x) 按 (x-x0 ) 幂展开 n 阶泰勒公式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 ! ( ) ( ) 1 0 ( 1) 其中 + 为拉格朗日余项 + − + = n n n x x n f R x ③ 当n = 0时，泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x = f x0 + f x − x0 在x0与x之 间
④带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式 fa”()（-x,)1 n+): a-r" 及1imR2（)=0R,(9)=ol(x-x）1 x→(x-x)” 四-g爱-r-5 ⑤取x=0,=0x(0<0<1),则余项 R(x)=i +()x* (n+1)g 可得如下麦克劳林展开式： 2023年7月17日星期 蚌埠学院高等数学 因▣a☑正o
2023年7月17日星期一 蚌埠学院 高等数学 10 ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x o x x k f x f x = − + − = ④ 带佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式 0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x 及 ( ) [( ) ]. 0 n n R x = o x − x ⑤ 取x0 = 0，ξ = θ x ( 0 < θ < 1 )，则余项 1 ( 1) ( 1) ! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x 可得如下麦克劳林展开式： ( ) ( ) n 1 0 n 1 0 (n 1 ) n x x n 1 M x x n f ξ R x + + + − + − + = ( ) ! ( ) 1 ! ( ) ( )