免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 2.7正方形(二) 数学目标 1、知道正方形的判定方法,会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关 的论证和计算 2、经历探宄正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力,主动探宄的学习习惯, 逐步掌握说理的基本方法 3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系,培养学生辩证看间题的观点 教学重点:掌握正方形的判定条件 教学难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有 关的论证和计算 教学过程: 、创设问题情景,引入新课 菱 矩 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那 么思考一下,它们之间有怎样的包含关系?请填入下图中 形 形 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形 也是特殊的菱形,还是特殊的平行四边形;而正方形、矩 平行四边形 形、菱形都是平行四边形:矩形、菱形都是特殊的平行四 边形 1、怎样判断一个四边形是矩形? 2、怎样判断一个四边形是菱形? 三个角是直角 3、怎样判断一个四边形是平行四边形? 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱 定义 形? 二公平行四为9P正方形 形定义 对角线 定义更相垂直 议一议:你有什么方法判定一个四边形是 四边相等 正方形? 对角线互相垂直,平分 二、讲授新课 1、探索正方形的判定条件: 学生活动:四人一组进行讨论研究,老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分 析与讨论,师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。 (1)直接用正方形的定义判,即先判定一个四边形是平行四边形,若这个平行四边 形有一个角是直角,并且有一组邻边相等,那么临就可以判定这个平行四边形是正方形; (2)先判定一个四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形 (3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的 基础。这三个方法还可写成:有一个角是直角,且有一组邻边相等的四边形是正方形;有 组邻边想的相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形。 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法,可当作判定定理用,但由于判 定平行四边形、矩形、菱形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判定一个四边形是不 是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 2.7 正方形(二) 教学重点:掌握正方形的判定条件。 教学难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有 关的论证和计算。 教学过程: 一、 创设问题情景,引入新课 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那 么思考一下,它们之间有怎样的包含关系?请填入下图中。 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形, 也是特殊的菱形,还是特殊的平行四边形;而正方形、矩 形、菱形都是平行四边形;矩形、菱形都是特殊的平行四 边形。 1、怎样判断一个四边形是矩形? 2、怎样判断一个四边形是菱形? 3、怎样判断一个四边形是平行四边形? 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱 形? 议一议:你有什么方法判定一个四边形是 正方形? 二、讲授新课 1、探索正方形的判定条件: 学生活动:四人一组进行讨论研究,老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分 析与讨论,师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。 (1)直接用正方形的定义判,即先判定一个四边形是平行四边形,若这个平行四边 形有一个角是直角,并且有一组邻边相等,那么临就可以判定这个平行四边形是正方形; (2)先判定一个四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形; (3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形。 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的 基础。这三个方法还可写成:有一个角是直角,且有一组邻边相等的四边形是正方形;有一 组邻边想的相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形。 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法,可当作判定定理用,但由于判 定平行四边形、矩形、菱形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判定一个四边形是不 是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 2、正方形判定条件的应用 【例1】判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由。 1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形 (2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形 (3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形 (4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 (5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 师生共析: (1)是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形,又四个角相等,根据四边形内 角和定理知每个角为90°,所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定 此命题是真命题。 (2)真命题。四个角相等可知每个角都是直角,是矩形,由对角线互相垂直可判 定这个矩形是菱形,所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形,可判定其 为真。 (3)假命题。对角线平分的四边形是平行四边形,对角线垂直的四边形是菱形, 所以它不一定是正方形。如下图,满足AO=C0,BO=D0且AC⊥BD但四边形ABCD 不是正方形。 B(3) (4)假命题。它可能是任意四边形。如上图,AC⊥BD且AC=BD,但四边形ABCD 不是正方形。 (5)真命题 方法一,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形 是矩形,对角线垂直的平行四边形是菱形,所以是矩形又是菱形的四边形是正方形 可判定其为真 方法二,对角线平分—平行四边形 对角线垂直 菱形 平行四边形 正方形 对角线相等 矩形 方法三,由对角线互相垂直平分可知是菱形,由对角线平分且相等可知是矩 形,而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。 总结:通过辨析,掌握判定正方形的各种方法和思路,从题中所给各种不同条件出发 寻找命题成立的判定依据,以便灵活应用 【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,试说明 师生共析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上 然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决 像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法 解:将△ADF旋转到△ABC, 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 2、正方形判定条件的应用 【例 1】判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由。 (1) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形; (2) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形; (3) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形; (4) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 师生共析: (1) 是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形,又四个角相等,根据四边形内 角和定理知每个角为 90°,所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定 此命题是真命题。 (2) 真命题。四个角相等可知每个角都是直角,是矩形,由对角线互相垂直可判 定这个矩形是菱形,所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形,可判定其 为真。 (3) 假命题。对角线平分的四边形是平行四边形,对角线垂直的四边形是菱形, 所以它不一定是正方形。如下图,满足 AO=CO,BO=DO 且 AC⊥BD 但四边形 ABCD 不是正方形。 (4) 假命题。它可能是任意四边形。如上图,AC⊥BD 且 AC=BD,但 四边形 ABCD 不是正方形。 (5) 真命题。 方法一,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形 是矩形,对角线垂直的平行四边形是菱形,所以是矩 形又是菱形的四边形是正方形。 可判定其为真。 方法二,对角线平分 平行四边形 对角线垂直 平行四边形 对角线相等 方法三,由对角线互相垂直平分可知是菱形,由对角线平分且相等可知是矩 形,而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。 总结:通过辨析,掌握判定正方形的各种方法和思路,从题中所给各种不同条件出发 寻找命题成立的判定依据,以便灵活应用。 【例 2】如下图 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,且∠EAF=45°,试说明 EF=BE+DF。 师生共析:要证 EF=BE+DF,如果能将 DF 移到 EB 延长线或将 BE 移到 FD 延长线上, 然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。 像这种在 EB 上补上 DF 或在 FD 补上 BE 的方法叫做补短法。 解:将△ADF 旋转到△ABC, 菱 形 矩 形 正方形
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 则△ADF≌△ABG ∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形 ∵.∠ADF+∠BAE=4 ∴∠GAB+∠BAE=45° 即∠GAE=4 ∴△AEF≌△AEG(SAS G-B ∴EF=EG=EB+BG=EB+DF 【例3】画一个正方形,使它的对角线长为30,并说明画法的依据。 画法:1、画线段=30cm,取AC的中点0 过点0画AC的垂线,并分别在AC的两侧取OB=0D=15cm 3、连结AB、BC、CD、DA. 则四边形ABCD就是所要画的正方形 证明:∵AO=CO,BO=DO 四边形ABCD是平行四边形。 又∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形。 ∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形。 ∴.四边形ABCD是正方形(四边形既是矩形又是菱形,则四边形是正方形)。 说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的 判定方法的认识 三、随堂练习 课本P77练习1、2、3。 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用 四、课时小结 师生共同总结,归纳得出正方形的判定方法,同时展示下图,通过直观感受进一步加 深理解正方形判定方法的应用 晋影√一射< 有一组邻边相等并且有一个角是直角 有一组邻边相等 五、课后作业P77习题 补例、如图,在正方形ABC的BC、CD边上取E、F两点,使∠EAF=45°,AG⊥EF于 G.求证:AG=AB B 解析:欲证AG=AB,就图形直观来看,应证Rt△ABE与Rt△AGE 全等,但条件不够 ∠EA怎么用呢?显然∠1+∠245°,若把它们拼G 在一起,问题就解决了 解压密码联系q919386加徽信公众号 laoxuewuyou无折优群淘D 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠!淘 宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 则△ADF≌△ABG ∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG ∵∠E AF=45°且四边形是正方形, ∴∠ADF﹢∠BAE=45° ∴∠GAB﹢∠B AE=45° 即∠GAE=45° ∴△AEF≌△AEG(SAS) ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF 【例 3】画一个正方形,使它的对角线长为 30,并说明画法的依据。 画法:1、画线段=30cm,取 AC 的中点 O。 2、过点 O 画 AC 的垂线,并分别在 AC 的两侧取 OB=OD=15cm。 3、连结 AB﹑BC﹑CD﹑DA. 则四边形 ABCD 就是所要画的正方形. 证明:∵AO=CO,BO=DO 四边形 ABCD 是平行四边形。 又∵AC=BD, ∴平行四边形 ABCD 是矩形。 ∵AC⊥BD ∴平行四边形 ABCD 是菱形。 ∴四边形 ABCD 是正方形(四边形既是矩形又是菱形,则四边形是正方形)。 说明:由学生分析画 法,在证明过程中让学生逐一说 出判断理由,以加深对正方形的 判定方法的认识. 三、随堂练习 课本 P77 练习 1、2、3。 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。 四、课时小结 师生共同总结,归纳得出正方形的判定方法,同时展示下图,通过直观感受进一步加 深理解正方形判定方法的应用。 五、课后作业 P77 习题 11、15 补例、如图,在正方形 ABCD 的 BC、CD 边上取 E、F 两点,使∠EAF=45°,AG⊥EF 于 G. 求证:AG=AB 解析:欲证 AG=AB,就图形直观来看,应证 Rt△ABE 与 Rt△AGE 全等,但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢?显然∠1+∠2=45°,若把它们拼 在一起,问题就解决了