免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 2.7正方形(三 数学目标 知识与技能: 了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质、判定方法 过程与方法 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能 力,逐步掌握说理的基本方法 情感态度与价值观 培养合情推理能力和探究习惯,体会平面几何的内在价值 重难点、关键 重点:探索正方形的性质与判定. 难点:掌握正方形的性质、判定的应用方法 关键:把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容 教学准备 教师准备:投影仪,制作投影片,补充本节课内容,矩形纸片,活动的菱形框架 学生准备:复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定,预习本节课内容. 学法解析 1.认知起点:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识,在取得一定的经验的 基础上,认知正方形 矩形 2.知识线索:平行四边形 正方形 菱形 3.学习方式:采用自导自主学习的方法解决重点,突破难点 教学过程 合作探究,导入新课 【显示投影片】 显示内容:展示生活中有关正方形的图片,幻灯片(多幅) 【活动方略】 教师活动:操作投影仪,边展示图片,边提出下面的问题 1.同学们观察显示的图片后,有什么联想?正方形四条边有什么关系?四个角呢? 2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么? 3.正方形具有哪些性质呢? 学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知:1.正方形四 条边都相等(小学已学过):正方形四个角都是直角(小学学过) 实验活动:教师拿出矩形按下图左图折叠.然后展开,让学生发现:只要矩形一组邻边 相等,这样的特殊矩形是正方形:同样,教师拿出活动菱形框架,运动中让学生发现:只要 菱形有一个内角为90°,这样的特殊矩形是正方形 矩!形 邻边正方形 菱形\二个角 是高正方形 教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形,如下图 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2.7 正方形(三) 情感态度与价值观： 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 重难点、关键 重点：探索正方形的性质与判定． 难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法． 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备 教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容． 学法解析 1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识， 在取得一定的经验的 基础上，认知正方形． 3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程 一、合作探究，导入新课 【显示投影片】 显示内容：展 示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）． 【活动方略】 教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题： 1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？ 学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1． 正方形四 条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）． 实验活动：教师拿出矩形按下图左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边 相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要 菱形有一个内角为 90°，这样的特殊矩形是正方形． 教师活 动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ B C 学生活动:观察、联想到它是矩形,所以具有矩形的所有性质,它又是菱形,所以它又 具有菱形的一切性质,归纳如下 正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形 正方形性质 (1)边的性质:对边平行,四条边都相等 (2)角的性质:四个角都是直角 (3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 (4)对称性:是轴对称图形,有四条对称轴 【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题,突破难点. 二、实践应用,探究新知 【课堂演练】(投影显示) 演练题1:如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与B相交于0,MN∥AB,且 分别与OA、OB相交于M、N 求证:(1)BM=CN,(2)BM⊥CN 思路点拨:本题是证明BM=CN,根据正方形性质,可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否 全等.(2)在(1)的基础上完成,欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°,就可以了 【活动方略】 教师活动:操作投影仪.组织学生演练,巡视,关注“学困生”:等待大部分学生练习 做完之后,再请两位学生上台演示,交流 学生活动:课堂演练,相互讨论,解决演练题的问题 证:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠COB=∠BOM=90°,OC=0B, MN∥AB,∴∠1=∠2,∠ABO=∠3, 又∵∠1=∠ABO=45°,∴∠2=∠3,∴OM=ON ∵.△CON≌△BOM,∴BM=CN (2)由(1)知△BOM≌△CON, ∴∠4=∠5,∵∴∠4+∠BMO=90 ∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN 演练题2:已知:如图,正方形ABCD中,点E在AD边上,且AE=AD,F为AB的中点 求证:△CEF是直角三角形 D 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又 具有菱形的一切性质，归纳如下： 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形． 正方形性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等． （2）角的性质：四个角都是直角． （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角． （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴． 【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点． 二、实践应用，探究新知 【课堂演练】（投影显示） 演练题 1：如图，已知四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于 O，MN∥AB， 且 分别与 OA、OB 相交于 M、N． 求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN． 思路点拨：本题是证明 BM=CN，根据正方形性质，可以证明 BM、CN 所在△BOM 与△CON 是否 全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证 BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°， 就可以了． 【活动方略】 教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习 做完之后，再请两位学生上台演示，交流． 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题． 证：（1） ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB， ∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3， 又∵∠1=•∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON， ∴△CON≌△BOM，∴BM=CN． （2）由（1）知△BOM•≌△CON， ∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°， ∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN． 演练题 2：已知：如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，且 AE= 1 4 AD，F 为 AB 的中点， 求证：△CEF 是直角三角形．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 思路点拨:本题要证∠EFC=90°,从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理,就可 以解决问题.这里应用到正方形性质. 【活动方略】 教师活动:用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析.并 请同学上讲台分析思路,板演 学生活动:先独立分析,找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题 证明:设AB=4a,在正方形ABCD中,DC=BC=4a,AF=FB=2a,AE=a,DE=3a ∠B=∠A=∠D=90°,由勾股定理得: EF2+CF2=(AE2+AF2)+(CB2+BF2)=(a2+4a2)+(16a2+4a2)=25a2, E2=CD2+DE2=(4a)2+(3a)2=25a2, ∴EF+CF=CE 由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形 【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题,提高学生的应用能力 三、继续探究,学习新知 【问题牵引】 教师提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来,并和同学们 进行交流、证明 学生活动:分四人小组进行合作讨论,归纳总结出判定正方形的方法如下: 判定方法: 1.是矩形,并且有一组邻边相等 2.是菱形,并且有一个角是直角 【投影显示】 例4求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 思路点拨:这是一道文字题,首先应该根据题意画出几何图形,然后依据图形写出已 知求证,最后证明,本题可利用正方形性质:对角线互相垂直平分且相等,证出问题 【活动方略】 教师活动:操作投影仪,画出图形,讲请怎样写出已知、求证 已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点0 求证:△ABO、△BCO、△CD0、△DAO是全等的等腰直角三角形 【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证.然后再纠正写法上的不足 学生活动:分析文字题后,举手上讲台“板演”.上述证明思路:因为四边形ABCD是 正方形,所以AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CD0、△DAO都是等腰直 角三角形.且△ABO≌△BC≌△CD≌△DAO 四、随堂练习,巩固深化 1.基训习题 2.【探研时空】如图,把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形 请拼成尽可能多的四边形.要求:每次拼四边形全部用上这四个直角三角形,但这些三 角形互不重叠且不留空隙 思路点拨:思路1:特殊四边形,包括(1)菱形,除正方形之外只有一个,其边长为√5, 对角线为2和4.图形略.(2)矩形,除正方形之外只有一个,其长为4,宽为1.图形略.(3) 梯形,两个,一个是上底为1,下底为3,高为2的等腰梯形:另一个是上底为2,下底为 6,高为1的等腰梯形,图形略.(4)一般的平行四边形,共4个,其一,两组对边分别为 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可 以解决问题．这里应用到正方形性质． 【活动方略】 教师活动：用投影仪显示演练题 2， 组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并 请同学上讲台分析思路，板演． 学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题． 证明：设 AB=4a，在正方形 ABCD 中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a． ∵∠B =∠A=∠D=90°，由勾股定理得： EF2 +CF2 =（AE2 +AF2）+（CB2 +BF2）=（a 2 +4a2）+（16a2 +4a2）=25a2， CE2 =CD2 +DE2 =（4a）2 +（3a）2 =25a2， ∴EF2 +CF2 =CE2． 由勾股定理的逆定理可知△CEF 是直角三角形． 【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力． 三、继续探究，学习新知 【问题牵引】 教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们 进行交流、证明． 学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下： 判定方法： 1．是矩形，并且有一组邻边相等． 2．是菱形，并且有一个角是直角． 【投影显示】 例 4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图 形写出已 知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题． 【活动方略】 教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证． 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形． 【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足． 学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形 ABCD 是 正方形，所以 AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO 都是等腰直 角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 四、随堂练习，巩固深化 1．基训习题 2．【探研 时空】 如图，把边长为 2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形． 请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三 角形互不重叠且不留空隙． 思路点拨：思路 1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为 5 ， 对角线为 2 和 4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为 4，宽为 1．图形略．（3） 梯形，两个，一个是上底为 1，下底为 3，高为 2 的等腰梯形； 另一个是上底为 2，下底为 6，高为 1 的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共 4 个，其一，两组对边分别为
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 2和√5,高为2和4√5;其二,两组对边分别为1和25,高为4和2√5;其三,两 组对边分别为2和2√5,高为2和2√5:其四,两组对边分别为4和√5,高为1和4√5 图形略.思路2:一般凸四边形共两个,一个的四条边长分别为√5、2、2√5:另一个 的四条边长分别为1、3、√5、√5,图形略 【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题,是很好的分类讨论题 五、课堂总结,发展潜能 【问题提出】 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系?与同学们讨论、交流,并用列 表和框图表示出来 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质(投影显示) 平行四边形 「矩形 菱形 D正方形 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 菱形 E方形 六、布置作业,专题突破 1.基训 2.选用课时作业优化设计 作业优化设计 【驻足“双基”】 1.正方形ABCD的对角线相交于0,若AB=2,那么△ABO的周长是 面积是 2.如图,已知E点在正方形ABC的BC边的延长线上,且CE=AC,AE与①相交于点F, 则∠AFC= 3.顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的() 2 3 4.四条边都相等的四边形一定是() A.正方形 矩形D.以上结论都不对 5.如图所示的运动:正方形ABCD和正方形AKCM中,将正方形AKLM沿点A向左旋转 某个角度.连线段MD、KB,它们能相等吗?请证明你的结论 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 和 5 ，高为 2 和 4 5 5 ；其二，两组对边分别为 1 和 2 5 ，高为 4•和 2 5 5 ；其三，两 组对边分别为 2 和 2 5 ，高为 2 和 2 5 5 ；其四，两组对边分别为 4 和 5 ，高为 1 和 4 5 5 ， 图形略．思路 2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为 5 、2、2 5 ； 另一个 的四条边长分别为 1、3、 5 、 5 ，图形略． 【评析】这是一道江苏省徐州市 2001 年中考题，是很好的分类讨论题． 五、课堂总结，发展潜能 【问题提出】 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列 表和框图表示出来． 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示） 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 六、布置作业，专题突破 1．基训 2．选用课 时作业优化设计 作业优化设计 【驻足“双基”】 1．正方形 ABCD 的对角线相交于 O，若 AB=2，那么△ABO 的周长是_______， 面积是 ________． 2．如图，已知 E 点在正方形 ABCD 的 BC 边的延长线上，且 CE=AC，AE 与 CD 相交于点 F， 则∠AFC=________． 3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）． A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 4．四条边都相等的四边形一定是（ ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对 5．如图所示的运动：正方形 ABCD 和正方形 AKCM 中，将正方形 AKLM 沿点 A•向左旋转 某个角度．连线段 MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ C 旋转 【提升“学力”】 6.如图,E是正方形ABCD中CD边延长线上一点,CF⊥AE,F是垂足,CF交AD或AD 延长线于G,试判断当点E在CD的延长线上移动时,∠DEG的大小是否变化,若变化,请 求出变化范围;若不变化,请求出其度数 【聚焦“中考”】 7.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F. (1)求证:DE=DF (2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形,请你至少写出两种不同的添加方 法.(不另外添加辅助线,无需证明) 7题图 8题图 8.如图,边长为3的正方形ABC绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG EF交AD于点H,那么DH的长为多少? 9.今有一片正方形土地,要在其上修筑两条笔直的道路,使道路把这片土地分成形状 相同且面积相等的4部分.若道路的宽度可忽略不计,请设计三种不同的修筑方案.(在给 出的三张正方形图纸上分别画图,并简述画图步骤,这里图纸略) 答案:1.2+2√5-12.11.5°3.A4.B 5.提示:证△AD≌△AF6.不变,值为45°,可利用△cDG≌△ADE,证明DE=DG,得出 结果 7.(1)提示:证△DE≌△DFC,(2)∠A=900167,四边形AFDE是平行四边形等(方法很多) 8.√9.叙述有道理即可 教学反思: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【提升“学力”】 6．如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边延长线上一点，CF⊥AE，F 是垂足，CF 交 AD 或 AD 延长线于 G，试判断当点 E 在 CD 的延长线上移动时，∠DEG 的大小是否变化，若变化， 请 求出变化范围；若不变化，请求出其度数． 【聚焦“中考”】 7．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F． （1）求证：DE=DF． （2）只添加一个条件，使四边形 EDFA 是正方形， 请你至少写出两种不同的添加方 法．（不另外添加辅助线，无需证明） 7 题图 8 题图 8．如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C•按顺时针方向旋转 30°后得到正方形 EFCG， EF 交 AD 于点 H，那么 DH 的长为多少？ 9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状 相同且面积相等的 4 部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给 出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）