§5.6向心加速度 ★教学目标 1.知识与技能 知道匀速圆周运动是变速运动,存在加速度 b.理解匀速圆周运动的加速度指向圆心,所以又叫做向心加速度。 知道向心加速度和线速度、角速度的关系式 能够运用向心加速度公式求解有关问题 ★教学重点 1.理解匀速圆周运动是变速运动,存在加速度。 2.从运动学角度理论推导加速度的公式,体会极限思想 3.加速度公式的基本应用。 ★教学过程 引入 师:上节课我们学习了圆周运动中比较有代表性的匀速圆周运动,同学们回忆一下,匀 速圆周运动有什么特点? 生:匀速圆周运动是线速度大小不变(或角速度不变)的圆周运动 师:匀速圆周运动是匀速运动吗? 生:不是,匀速圆周运动虽然线速度大小不变,但线速度方向一直在变化,所以匀速圆 周运动是变速运动 师:匀速圆周运动有加速度吗? 生:有!根据加速度公式a=一知只要速度变化了,就存在加速度 师:好,那请大家回答下面的问题。 例1、如下图,物体沿顺时针方向做匀速圆周运动,角速度u=rad/s,半径R=1m。0时刻 物体处于A点,了 s后物体第一次到达B点,求 (2)这s内的速度变化量 (3)这s内的平均加速度
1 §5.6 向心加速度 ★教学目标 1. 知识与技能 a． 知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。 b． 理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。 c． 知道向心加速度和线速度、角速度的关系式 d． 能够运用向心加速度公式求解有关问题 ★教学重点 1. 理解匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。 2. 从运动学角度理论推导加速度的公式，体会极限思想。 3. 加速度公式的基本应用。 ★教学过程 一、引入 师：上节课我们学习了圆周运动中比较有代表性的匀速圆周运动，同学们回忆一下，匀 速圆周运动有什么特点？ 生：匀速圆周运动是线速度大小不变（或角速度不变）的圆周运动。 师：匀速圆周运动是匀速运动吗？ 生：不是，匀速圆周运动虽然线速度大小不变，但线速度方向一直在变化，所以匀速圆 周运动是变速运动。 师：匀速圆周运动有加速度吗？ 生：有！根据加速度公式 t v a = 知只要速度变化了，就存在加速度。 师：好，那请大家回答下面的问题。 例 1、如下图，物体沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度ω=πrad/s，半径 R=1m。0 时刻 物体处于 A 点， s 3 1 后物体第一次到达 B 点，求 ⑵ 这 s 3 1 内的速度变化量； ⑶ 这 s 3 1 内的平均加速度。 A B
【解析】 (1)速度变化量等于末速度减去初速度 速度变化量:如图 0=ot 由图知△v的大小与A或B的速度大小相等,为v=O=x(m/s),方向是左下方 与竖直方向夹角30° (2)根据加速度公式a=,知平均加速度大小为1=3r(m/s2) 【牢记】 ①要注意的是:速度是矢量,矢量加减法则跟标量加减法则是不一样的,矢量加减法则 是三角形定则 ②前面在学习直线运动时,我们是直接对速度进行加减的,没有用什么三角形定则,这 是怎么回事? 答:这是因为对于同一直线上的矢量加减,我们可以通过选定正方向,同向为正,反向 为负的方法将复杂的矢量计算变成简单的标量计算。这个方法的本质还是矢量加减法 例2、一物体做平抛运动的初速度为10m/s,则1秒末物体速度多大?2秒末速度多大?1 秒末至2秒末这段时间内速度变化量是多大?加速度是多大? 10m/s 10m/s: 20m/s 10m/s 2 20m/s
2 【解析】： （1）速度变化量等于末速度减去初速度。 速度变化量：如图 3 = t = 由图知 v 的大小与 A 或 B 的速度大小相等，为 v =r = (m/s) ,方向是左下方 与竖直方向夹角 30° （2）根据加速度公式 m F a = ，知平均加速度大小为 3 ( / ) 3 1 2 m s = 【牢记】： ①要注意的是：速度是矢量，矢量加减法则跟标量加减法则是不一样的，矢量加减法则 是三角形定则； ②前面在学习直线运动时，我们是直接对速度进行加减的，没有用什么三角形定则，这 是怎么回事？ 答：这是因为对于同一直线上的矢量加减，我们可以通过选定正方向，同向为正，反向 为负的方法将复杂的矢量计算变成简单的标量计算。这个方法的本质还是矢量加减法 则。 例 2、一物体做平抛运动的初速度为 10m/s，则 1 秒末物体速度多大？2 秒末速度多大？1 秒末至 2 秒末这段时间内速度变化量是多大？加速度是多大？ A B A B B v A v v θ θ 10m/s 10m/s 10m/s 20m/s 10m/s 10m/s 10m/s 20m/s △v
师:通过上面的解题过程,我相信大家对矢量的理解又加深了。既然匀速圆周运动是变 速运动,存在加速度,那它的加速度有什么特点呢?匀速圆周运动会是我们以前接触过 的匀变速运动吗?这就是今天我们的学习目标:研究匀速圆周运动的加速度的特点 师:我们都知道,对于加速度的研究,我们可以从两个方面进行:1、单纯从运动学角 度用公式V1-N来研究加速度;2、从结合受力从动力学角度用公式aF 来研究 加速度。今天我们从第1个方面来研究加速度 探究向心加速度大小及方向 △ 方 师:从理论上讲,瞬时加速度是△t→0时平均加速度的极限值。由图可知,当时间间隔 t取值越来越小时,θ越来越小,越接近于0;α越来越大,越接近于90°,当△t→0 时,a=90°,△v与v4垂直。公式a=一在△t→0时的极限值就是A点的瞬时加速度, 因为加速度的方向与△v方向相同,于是可知A点的瞬时加速度与A点瞬时速度垂直, 指向圆心。 大小 师:请同学们根据上面的分析,尝试推导出向心加速度大小的表达式。 【解析】 l、p.AB Ay v AB 当t→0时,AB=SB2有 AB R AB S AB △yyAB tR t R 又因为y=0R有a=或a=2R或a= 观看动画视频:向心加速度
3 师：通过上面的解题过程，我相信大家对矢量的理解又加深了。既然匀速圆周运动是变 速运动，存在加速度，那它的加速度有什么特点呢？匀速圆周运动会是我们以前接触过 的匀变速运动吗？这就是今天我们的学习目标：研究匀速圆周运动的加速度的特点。 师：我们都知道，对于加速度的研究，我们可以从两个方面进行：1、单纯从运动学角 度用公式 t v v a t − 0 = 来研究加速度；2、从结合受力从动力学角度用公式 m F a = 来研究 加速度。今天我们从第 1 个方面来研究加速度。 二、探究向心加速度大小及方向 方向 师：从理论上讲，瞬时加速度是△t→0 时平均加速度的极限值。由图可知，当时间间隔 t 取值越来越小时，θ越来越小，越接近于 0；α越来越大，越接近于 90°，当△t→0 时，α=90°，△v 与 A v 垂直。公式 t v a = 在△t→0 时的极限值就是 A 点的瞬时加速度， 因为加速度的方向与△v 方向相同，于是可知 A 点的瞬时加速度与 A 点瞬时速度垂直， 指向圆心。 大小 师：请同学们根据上面的分析，尝试推导出向心加速度大小的表达式。 【解析】： R v AB v R v AB v = = t AB R v t v a = = 当 t→0 时， AB = S AB 有 t→0 时 v t s t AB AB = = ， R v t AB R v t v a 2 = = = 又因为 v =R 有 a R a v R v a = 或 = 或 = 2 2 观看动画视频：向心加速度 A B α A B B v A v v θ θ
三、向心加速度 师:通过刚才的分析,我们得到结论:物体做匀速圆周运动时某点的向心加速度大小为 a="或a=2R或a=Om;方向与该点速度方向垂直,指向圆心。这个结论是通过 理论推导出来的,不涉及某个具体的运动,如“地球绕太阳做近似的匀速圆周运动”“电 子绕原子核做匀速圆周运动”等,所以这个结论具有一般性、普遍性 师:因为匀速圆周运动的加速度指向圆心,所以我们把匀速圆周运动的加速度又叫做向 心加速度。 【定义】:做匀速圆周运动物体的加速度由于指向圆心,又叫做向心加速度。 【公式】:a=或a=2R或a= 【单位】:m/s2【方向】:指向圆心 师:向心加速度的物理意义是什么呢?有同学能说一说吗? 生:加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。 师:做匀速圆周运动物体的线速度大小变了吗? 生:没有。 师:所以更详细地讲向心加速度的物理意义是描述线速度方向变化快慢的物理量。 【物理意义】:是用来描述物体做圆周运动的线速度方向变化快慢的物理量 【问题】:匀速圆周运动是匀变速运动吗? 生:不是,做匀速圆周运动物体的向心加速度大小不变,方向指向圆心,虽然都是指向 圆心,但不同位置指向圆心的位置是不同的,所以不是匀变速 【牢记】:匀变速圆周运动是非匀变速曲线运动 例3、从公式a=一看,向心加速度与圆周运动的半径成反比?从公式a=2R看,向心 R 加速度与半径成正比,这两个结论是否矛盾?请从以下两个角度来讨论这个问题 ①在y=kx这个关系式中,说y与x成正比,前提是什么? ②自行车的大车轮,小车轮,后轮三个轮子的半径不一样,它们的边缘上有三个点A、B C,其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”,哪两点适用于“向 心加速度与半径成反比”?
4 A B C 三、向心加速度 师：通过刚才的分析，我们得到结论：物体做匀速圆周运动时某点的向心加速度大小为 a R a v R v a = 或 = 或 = 2 2 ；方向与该点速度方向垂直，指向圆心。这个结论是通过 理论推导出来的，不涉及某个具体的运动，如“地球绕太阳做近似的匀速圆周运动”“电 子绕原子核做匀速圆周运动”等，所以这个结论具有一般性、普遍性。 师：因为匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以我们把匀速圆周运动的加速度又叫做向 心加速度。 【定义】：做匀速圆周运动物体的加速度由于指向圆心，又叫做向心加速度。 【公式】： a R a v R v a = 或 = 或 = 2 2 【单位】：m/s2 【方向】：指向圆心 师：向心加速度的物理意义是什么呢？有同学能说一说吗？ 生：加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。 师：做匀速圆周运动物体的线速度大小变了吗？ 生：没有。 师：所以更详细地讲向心加速度的物理意义是描述线速度方向变化快慢的物理量。 【物理意义】：是用来描述物体做圆周运动的线速度方向变化快慢的物理量。 【问题】：匀速圆周运动是匀变速运动吗？ 生：不是，做匀速圆周运动物体的向心加速度大小不变，方向指向圆心，虽然都是指向 圆心，但不同位置指向圆心的位置是不同的，所以不是匀变速。 【牢记】：匀变速圆周运动是非匀变速曲线运动。 例 3、从公式 R v a 2 = 看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式 a R 2 = 看，向心 加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。 ①在 y=kx 这个关系式中，说 y 与 x 成正比，前提是什么？ ②自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点 A、B、 C，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向 心加速度与半径成反比”？
例4、说法正确的是(C) (一)向心加速度越大,物体速率变化越快 (二)向心加速度大小与轨道半径成反比 (三)向心加速度方向始终与速度方向垂直 (四)在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的 例5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度,下列说法中正确的是(BD) A、它们的方向都沿半径指向地心 B、它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小 【解析】地球表面各点的向心加速度方向应该指向各点做匀速圆周运动的圆心,所以首先必 须找到地球表面各点做圆周运动的轨道,找出其圆心,即可以 知道向心加速度的方向。如图所示,各点加速度都在平行赤道 的平面内指向地轴。选项B正确,选项A错误.在地面上纬度为 φ的P点,做圆周运动的轨道半径r=Rcosφ,其向心加速度 an=ra2= Ro w cosφ 由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大,北京随地球自转的 半径比广州随地球自转的半径小,两地随地球自转的角速度相同,因此北京随地球自转 的向心加速度比广州的小,选项D正确,选项C错误.本题的【答案】为B、D. 【点评】因为地球自转时,地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周 运动,它们的转动中心(圆心)都在地轴上,而不是地球球心
5 例 4、说法正确的是（C） (一) 向心加速度越大，物体速率变化越快 (二) 向心加速度大小与轨道半径成反比。 (三) 向心加速度方向始终与速度方向垂直 (四)在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的。 例 5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ BD ） A、它们的方向都沿半径指向地心 B、它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小 【解析】地球表面各点的向心加速度方向应该指向各点做匀速圆周运动的圆心，所以首先必 须找到地球表面各点做圆周运动的轨道，找出其圆心，即可以 知道向心加速度的方向。如图所示，各点加速度都在平行赤道 的平面内指向地轴。选项 B 正确，选项 A 错误.在地面上纬度为 φ的 P 点，做圆周运动的轨道半径 r＝R0cosφ，其向心加速度 为：an＝rω 2＝R0ω 2 cosφ. 由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的 半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转 的向心加速度比广州的小，选项 D 正确，选项 C 错误.本题的【答案】为 B、D. 【点评】因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周 运动，它们的转动中心（圆心）都在地轴上，而不是地球球心