第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法 ☑☑☒
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法 第五章 不定积分
第一节 不定积分的概念及性质 一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 K KC
一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 第一节 不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念 1.原函数的概念 定义1设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存 在函数F(x),使得 F'(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)的一个原函数. 例因为(lnx)'=二，故lnx是二的一个原函数； 因为(x2y=2x,所以x2是2x的一个原函数，但 (x2+1)y=(x2+2)y=(x2-√3)y=…=2x,所以2x的原函 数不是惟一的。 原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果f(x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明） 国DW☑
1．原函数的概念 例 因 为 1 (ln ) x x = ， 故ln x是 1 x 的一个原函数； 因为 2 ( ) 2 x x = ，所以 2 x 是2x的一个原函数，但 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) x x x + = + = − = = 2x，所以 2x的原函 数不是惟一的． 原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f x( )在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)． 定义 1 设 f x( )是定义在某区间的已知函数，若存 在函数F x( )，使得 F x f x ( ) ( ) = 或d ( ) ( )d F x f x x = , 则称F x( )为 f x( )的一个原函数． 一、不定积分的概念
第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若f(x) 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论： 定理若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C是 f(x)的全部原函数，其中C为任意常数. 证由于F'(x)=f(x),又[F(x)+C]=F'(x)=f(x), 所以函数族F(x)+C中的每一个都是f(x)的原函数. 另一方面，设G(x)是f(x)的任一个原函数， 即G'(x)=f(x),则可证F(x)与G(x)之间只相差一个常数， ☑D☑☒
第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若 f x( ) 存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有 什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结 论 ： 定 理 若F x( )是 f x( )的一个原函数，则F x C ( ) + 是 f x( )的全部原函数，其中 C为任意常数． 证 由于F x f x ( ) ( ) = ，又[ ( ) ] ( ) ( ) F x C F x f x + = = ， 所以函数族F x C ( ) + 中的每一个都是 f x( )的原函数． 另一方面,设G x( )是 f x( )的任一个原函数， 即G x f x ( ) ( ) = ，则可证F x( )与G x( )之间只相差一个常数
事实上，因为 [F(x)-G(x)=F'(x)-G(x)=f(x)-f(x)=0, 所以F(x)-G(x)=C,或者G(x)=F(x)+C,这就是说 f(x)的任一个原函数G(x)均可表示成F(x)+C的形式. 这样就证明了f(x)的全体原函数刚好组成函数族 F(x)+C. JDW☑
这样就证明了 f x( )的全体原函数刚好组成函数族 F x C ( ) + ． 所 以F x G x C ( ) ( ) − = ，或者G x F x C ( ) ( ) = + ，这就是说 f x( )的任一个原函数G x( )均可表示成F x C ( ) + 的形式． 事实上,因 为 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 F x G x F x G x f x f x − = − = − =
2.不定积分的概念 定义2函数f(x)的全体原函数F(x)+C叫做f(x)的不 定积分，记为 ∫fx)dx=Fx)+C,其中F'(x)=fx, 上式中的x叫做积分变量，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫 做被积表达式，C叫做积分常数，“∫”叫做积分号. 例1求下列不定积分： (1)「x2d； (2)∫sinxdx;(3）f. x （④国为传=，所以=+C 解 (2)因为(-cosx)兰sinx,所以sin xdx=-cosx+C. (3)因为x>0时，nxy=1,又x<0时， -xr=,所以=n+C. Y -xx 国D☑☒
2. 不定积分的概念 定义 2 函数 f x( )的全体原函数F x C ( ) + 叫做 f x( )的 不 定积分，定积分，记为 f x x F x C ( )d ( ) = + ，其中F x f x ( ) ( ) = , 上式中的x叫做积分变量， f x( )叫做被积函数， f x x ( )d 叫 做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号． 例 1 求下列不定积分： （1） 2 x xd ； （2） sin dx x ；（3） 1 dx x ． 解 （1）因为 3 2 3 1 x = x ，所以 x x = x +C 2 3 3 1 d . （2）因为(−cos x) = sin x，所以 x x = − x +C sin d cos . （3）因为x 0时 ， x x 1 (ln ) = ， 又x 0时 ， x x x 1 1 [ln( )] = − − − = ，所以 x x C x = + d ln | | 1
例2设曲线过点(1,2)且斜率为2x,求曲线方程， 解设所求曲线方程为y=y(x). 按=2x,故y=2d=x2+C. d 又因为曲线过点(1,2)，故代入上式2=1+C,得C=1, 于是所求方程为y=x2+1. 例3设某物体运动速度为0=312，且当1=0时，s=2, 求运动规律s=s(t). 解按题意有s'(t)=3,即s(t)=3rdt=t+C,再将 条件1=0时s=2代入得C=2,故所求运动规律为s=1+2. 积分运算与微分运算之间的互逆关系： (1)fx=fx)或dfxd: (2) F(x)dx=F(x)+CdF(x)=F(x)+C. ☑☑☑
例 2 设曲线过点（1，2）且斜率为2x，求曲线方程． 解 设所求曲线方程为 y = y(x)． 按 x x y 2 d d = ，故y = x x = x +C 2 2 d ． 又因为曲线过点（1，2），故代入上式2 =1+C ，得 C =1， 于是所求方程为 1 2 y = x + . 例 3 设某物体运动速度为 2 v = 3t ，且当 t = 0 时，s = 2， 求运动规律s = s(t)． 解 按题意有 2 s (t) = 3t ，即 s t = t t = t +C 2 3 ( ) 3 d ，再将 条件t = 0时s = 2代入得 C = 2，故所求运动规律为s = t 3 + 2． 积分运算与微分运算之间的互逆关系： （1） f (x)dx = f (x) 或d f (x)dx= f (x)dx； (2) F (x)dx = F(x) +C ' 或 dF(x) = F(x) +C．
二、 基本积分公式 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式： (1)[kdr=x+C(k为常数)， ②)xd=1xn+C（u≠-1D, 4+1 (3) dx =Inx+C, (4)[e'd=e+C, (5)∫adr=a +C, Ina (6)cosxdx sin x+C, (7)sin xdx =-cosx+C, 可DI☒
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式： (1) kdx = kx +C(k为常数)， (2) x x x +C + = +1 1 1 d （ −1）， (3) x x C x = + d ln 1 ， (4) e d e x x x C = + ， (5) = +C a a a x x x ln d ， (6) cos xdx = sin x +C， (7) sin xdx = −cos x +C， 二、 基本积分公式
(8) dx =|sec-xdx tanx+C, cos x 1 (9) dx=csc2 xdx =-cotx+C, sin-x (10)secxtanxdx =secx+C, (11)cscxcot xdx=-cscx+C, (12) dx arctanx+C, 1+x (13) dx arcsinx+C. DW☒
(8) x = x x = x +C x d sec d tan cos 1 2 2 ， (9) x = x x = − x +C x d csc d cot sin 1 2 2 ， (10) sec x tan xdx = sec x +C， (11) csc x cot xdx = −csc x +C， (12) x x C x = + + d arctan 1 1 2 ， （1 3） x x C x = + − d arcsin 1 1 2
三、不定积分的性质 性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分 号外，即 [f(x)d=k「f(x)dx (k≠0)， 性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即 [fx)±g(xx=∫fx)dx±∫g(x)dx. 例4求下列不定积分： 1)∫：2xd, 2gx 解（1)∫=小r= +C= 二+C -2+1 3 ● (2)∫xWdr=∫x2dr=x2+C. ☑☑☒
性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分 号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx （k 0）. 性质2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即 f (x) g(x) dx = f (x)dx g(x)dx. 例 4 求下列不定积分： （1） x； x d 1 2 (2) x xdx； (3) gx x 2 d ． 解 （１） + = − + − + = = − + − C x C x x x x x 1 2 1 d d 1 2 1 2 2 . （２） x x x = x x = x 2 +C 5 2 3 5 2 d d . 三、 不定积分的性质