第一章 函 数 第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述 IG☒☑
第一章 函 数 第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述
第一节 函数及其性质 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数 ☒G☒☑
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数 第一节 函数及其性质
第一节函数及其性质 一、函数的概念 1.函数的定义 定义1设有两个变量x和y,若当变量x在实数 的某一范围D内，任意取定一个数值时，变量y按照一 定的规律f，有惟一确定的值与之对应，则称y是x的 函数，记作y=f(x),x∈D,其中变量x称为自变量，变 量y称为函数（或因变量）.自变量的取值范围D称为 函数的定义域. ✉☑☒
第一节 函数及其性质 1．函数的定义 定义 1 设有两个变量 x和 y，若当变量 x在实数 的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变量 y按照一 定的规律 f ，有惟一确定的值与之对应，则称 y是 x 的 函数,记作y= f (x)， xD，其中变量 x称为自变量，变 量 y称为函数（或因变量）．自变量的取值范围 D 称 为 函数的定义域． 一、 函数的概念
若对于确定的x。∈D,通过对应规律f,函数有惟一 确定的值y。相对应，则称y为y=f(x)在x,处的函数 值，记作，=川=(x).函数值的集合，称为函数的值 域，记作M, 2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. (1)对应规律 例1f(x)=2x2+3x-1就是一个特定的函数， f确定的对应规律为： f(）=2()2+3(）-1. ☒D☒☑
若对于确定的x0 D ，通过对应规律f ，函数y 有惟一 确定的值 0 y 相对应，则称 0 y 为 y = f (x)在 0 x 处的函数 值，记作 ( ) 0 0 0 y y f x x x = = = . 函数值的集合，称为函数的值 域，记作 M . 2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应规律 例 1 f (x)=2 x 2 +3 x −1 就是一个特定的函数， f 确定的对应规律为： f （ ）=2( )2 +3( )－1
例2设y=fx)sin,求f(2). 解 例3设f(x+1)=x2-3x,求fx). 解令x+1=t,则x=t-1, 所以f(t=(1-1)2-3t-1)=t-5t+4, 所以f(x)=x2-5x+4. ☑G☒☑
例 2 设y = f (x)= x 1 sin x 1 ，求 f ( π 2 )． 解 . 2 π ) 2 π sin( 2 π ) π 2 ( π 2 = = = = y f x 例 3 设f (x+1)= x 2 -3 x，求 f (x). 解 令x +1 = t，则x = t −1, 所以 ( ) ( 1) 3( 1) 5 4, 2 2 f t = t − − t − = t − t + 所以 f (x)= 5 4. 2 x − x +
(2)定义域 例4求函数y=Vx2-x-6 tarcsin =定义域. 7 解这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域，然后求其公共部分即可. 使√x2-x-6有定义，必须满足x2一x一6≥0，即 (x-3)(x+2)≥0， 解得x≥3或x≤一2，即Vx2-x-6的定义域为 (-0,-2]U[3,+∞)； 而使arcsin2-'有定义，必须满足12x-11≤1，即 7 ✉E冈I
（２）定义域 例 4 求函数y = 6 2 x −x− +arcsin 7 2x −1定义域． 解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域, 然后求其公共部分即可． 使 6 2 x − x − 有定义,必须满足 2 x － x－6≥0，即 (x −3)(x + 2) 0 ， 解 得 x ≥3 或 x ≤ －2 ， 即 6 2 x − x − 的定义域为 ( , 2] [3, ) − − + ; 而使arcsin 7 2x −1有定义,必须满足∣ 7 2x −1∣≤1，即
-7≤2x-1≤7， 解得 一3≤x≤4， 即arcsin n2x-1的定义域为-3,41. 7 于是，所求函数的定义域是 [-3,-2]U[3,4]. ☒D☒☑
于是，所求函数的定义域是 ［－3，－2］ [3，4］ . －7≤2x－1≤7 ， 解得 －3≤x ≤4 ， 即 2 1 arcsin 7 x − 的定义域为[ 3,4] −
例5下列函数是否相同，为什么？ (1)y=lnx2与=2lr; (2)o=Vu与三Jx. 解(1)y=lnx2与=2lrm不是相同的函数，因为定 义域不同。 (2)o=u与y二x是相同的函数，因为对应规 律与定义域均相同. 3.函数的表示法：表格法、图像法及公式法， 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图 像法和公式法. 国冈☒
例5 下列函数是否相同,为什么? (1) y = 2 ln x 与y = 2lnx ; (2) = u 与y = x ． 3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法． 函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图 像法和公式法． 解 (1) y = 2 ln x 与y = 2lnx 不是相同的函数,因为定 义域不同. (2) = u 与y = x 是相同的函数,因为对应规 律与定义域均相同
例6中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某 地1999年9月19日一29日每天的最高气温如下表所示. 日期9月) 19 20 21 22 23 25 9 最高气温/℃ 28 2827 2524 26 27 25 23 22 21 这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存 在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但 是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期 1,都有惟一个与t相应的惟一最高气温N· ☑☑☒
例 6 中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某 地 1999 年 9 月 19 日—29 日每天的最高气温如下表所示． 这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存 在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但 是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期 t，都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温 N ． 日期(9月) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 最高气温/℃ 28 28 27 25 24 26 27 25 23 22 21
例7王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了，请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来， 解王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图， ☒ 图 区 9 时间 12345 时间 ✉冈☑
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来． 解 王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图． 离家距离 O 时间 O 时间 离家 距 离 3 1 2 3 4 5 6 9