第六章定积分 第一节 定积分的概念 第二节 了 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分 ☒☑☒
第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分 第六章 定积分
第一节 定积分的概念 一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 可DI)
一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 第一节 定积分的概念
第一节定积分的概念 一、定积分的实际背景 1,曲边梯形的面积 曲边梯形：若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示 推广为 B x ☒D☒☒
第一节 定积分的概念 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. y O M P Q N C B x A 推广为 A 一、定积分的实际背景
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了，如下图所示： Xo XI X2 Xo=a Xn =b ☑☑☒
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： x0 x1 x2 xn O x y y = f (x) x0 = a xn =b
曲边梯形面积的确定步骤： (1)分割任取分点a=x。<x1<x2<…<xm<xn=b 把底边[a,b]分成n个小区间[x1,x2]6=1,2,…,n. 小区间长度记为△x,=x-x(1=1,2,…,n)方 (2)取近似在每个小区间[x1,x,]上任取一点苦 竖起高线f(5),则得小长条面积A4,的近似值为 △4，≈f(5)△x,(=1,2,…,n); (3)求和把n个小矩形面积相加（即阶梯形面积） 就得到曲边梯形面积A的近似值 5i)Ax,+f(5)A,+…+f(5,)Ax,=∑f(5)Ax,: 1 (4)取极限令小区间长度的最大值2=max△x,} 趋于零，则和式 /G)Ax的极限就是曲边梯形面积A 1e1 的精确值，即 A=lim f(5)△x ☑D冈
曲边梯形面积的确定步骤： (1)分 割 任取分点a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b , 把底边[a,b]分成 n 个小区间[ 1 x , 2 x ] (i =1,2,,n) . 小区间长度记为 ( 1,2, , ); 1 x x x i n i = i − i− = (2) 取近似 在每个小区间[ i i x , x −1 ] 上任取一点 i 竖起高线 ( ) i f ,则得小长条面积Ai 的近似值为 i i i A f ( )x (i =1,2,,n ); (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积 A 的近似值 i n i n n i f x + f x + + f x = f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值 i i n = x 1 max 趋于零,则和式 i n i i f x = ( ) 1 的极限就是曲边梯形面积 A 的精确值，即 0 1 lim ( ) . n i i i A f x → = =
2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是时间间 隔T,T,上的连续函数，且(t)≥0，要计算这段时间内 所走的路程.解决这个问题的思路和步骤与上例类似： ()分割任取分点I=6<<42<<1<=,把 [T,T,]分成n个小段，每小段长为 △4=4-t-(i=12,…,n); (2)取近似把每小段[1-，4,1上的运动视为匀速， 任取时刻5，∈[-1，t,],作乘积v(5,)△1，显然这小段时间 所走路程△s,可近似表示为v(5)△1，(i=1,2,…,n); (3)求和把n个小段时间上的路程相加，就得到总 路程s的近似值，即 5)M 国D冈☒
2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间间 隔[ 1 2 T ,T ]上的连续函数，且v(t) ≥0，要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = ，把 [ 1 2 T ,T ]分成 n个小段，每小段长为 i = i − i−1 t t t （i =1,2,,n ）; (2)取近似 把每小段[ i i t ,t −1 ]上的运动视为匀速， 任取时刻 i i i t , t −1 ，作乘积 i i v( )t ，显然这小段时间 所走路程 i s 可近似表示为 i i v( )t （i =1,2,,n ）; (3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即 i n i i s v t = ( ) 1 ;
(4)取极限当2=max{△t}→0时，上述总和的极限 就是s的精确值，即s=lim∑（传）M,. 104 二、定积分的概念 定义设函数y=f(x)在[a,b]上有定义，任取分点 a=x1<x2<x3<…<xm1<xn=b,分[a,b]为n个小区间 [x-1,x,](i=1,2,…,n).记 △x,=x,-x-1(i=1,2,…,n),=max{x,}, 1≤1Sn 再在每个小区间[x1,x,]上任取一点5，，作乘积f(5)△x 的和式： 1 ☑☑☑
(4)取极限 当 max 0 1 = → i i n t 时，上述总和的极限 就是s的精确值，即 i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 . a = x1 x2 x3 n n x x −1 = b ,分[ a , b ] 为 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1,2,,n).记 i i n i i i x = x − x i = n = x − 1 1 ( 1,2,, ), max , 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上任取一点 i ，作乘积 i i f ( )x 的和式： 定 义 设函数 y = f (x) 在[ a,b ]上有定义，任取分点 ( ) , 1 i n i i f x = 二、定积分的概念
如果入→0时，上述极限存在（即，这个极限值与[4，b们 的分割及点的取法均无关)，则称此极限值为函数f(x)在 区间a,b]上的定积分，记为 ∫fx=1m∑f(5△， 其中称fx)为被积函数f(x)dr为被积式，x为积分变量， 【a,b]为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限. JDW☑
如果 → 0时,上述极限存在（即，这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数f (x)在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为 ( )d lim ( ) , 1 0 i n i i b a f x x = f x = → 其中称 f (x)为被积函数,f (x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a,b 分别称为积分下限和上限
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： xd=rd.一般地，/t=/0a. b (2)定义中要求积分限a6时，fd=fxd. (③3)定积分的存在性：当f(x)在【a,b]上连续或只有有 限个第一类间断点时，f(x)在a,b]上的定积分存在（也称可 积). 国D☑☒
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如： = 1 0 2 1 0 2 x dx t dt .一般地， = b a b a f (x)dx f (t)dt . (2)定义中要求积分限 a b ，我们补充如下规定： 当 a = b 时， = b a f (x)dx 0, 当 a b 时， = − b a a b f (x)dx f (x)dx . (3)定积分的存在性：当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 限个第一类间断点时, f (x)在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可 积）
三、定积分的几何意义 如果fx)>0,则fx)d≥0，此时fx)dx 表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积A,即fx)d=A. y=f(x) ☑☑☒
如果 f (x) 0 ，则 ( )d 0 b a f x x , 此时 ( )d b a f x x 表示由曲线y f x = ( )，x a x b = = , 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 = b a f (x)dx A . O x y a b A y=f(x) 三、定积分的几何意义