第二章 极限与连续 第一节 极限的定义 第二节 极限的运算 第三节 函数的连续性 ☒D☒☑
第一节 极限的定义 第二节 极限的运算 第三节 函数的连续性 第二章 极限与连续
第一节 极限的定义 函数的极限 二、数列的极限 三、极限的性质 四、极限分析定义 五、无穷小量 六、无穷大量 I)☒☑
一、函数的极限 二、数列的极限 三、极限的性质 四、极限分析定义 五、无穷小量 六、无穷大量 第一节 极限的定义
第一节 极限的定义 一、函数的极限 1,x→x时函数f(x)的极限 引例从函数图形特征观察函数的极限 如图1：当x→1时，f(x)=x+1无限接近2； 如图2：当x→1时，gw)=-无限接近于2. X-1 y =x+1 8()=2 (1.2 /10 -10 图1 图2a回国四
第一节 极限的定义 １ ． 0 x x → 时函数 f x( )的极限 引 例 从函数图形特征观察函数的极限 如图１：当x →1时 ， f x x ( ) 1 = + 无限接近２； 如图２：当x →1时 ， 2 1 ( ) 1 x g x x − = − 无限接近于２． -1 O 1 x 1 1 ( ) 2 − − = x x g x y 图１ 图２ -1 O 1 (1,2) x y f(x)=x+1 一、函数的极限
函数田)=x+1与g=是两个不同的函数，前者 x-1 在x=1处有定义，后者在x=1处无定义.这就是说，当 x→1时，f(x),g(x)的极限是否存在与其在x=1处是否 有定义无关。 邻域的概念：开区间(x-6,x+δ)称为以x为中 心，以6（δ>0）为半径的邻域，简称为点x的邻域， 记为N(x,6).用N(o,δ)表示x的空心邻域，即 (3-6,x)Ux,x+8(6>0). 定义1设函数f(x)在x,的某一空心邻域N(o,6) 内有定义，如果当自变量x在N(?,6)内无限接近于x。 时，相应的函数值无限接近于常数A,则A为r→x,时 函数f(x)的极限，记作limf(x)=A或f(x)→A(x→x). ☒D☒I
邻域的概念：开区间（x − ，x + ）称为以 x为 中 心，以 （ ＞０）为半径的邻域，简称为点 x的邻域， 记 为N （x， ）．用N x( , ) ˆ0 表 示 0 x 的空心邻域， 即 0 0 0 0 ( , ) ( , )( 0) x x x x − + ． 函数 f x x ( ) 1 = + 与 2 1 ( ) 1 x g x x − = − 是两个不同的函数，前者 在x =1处有定义，后者在x =1处无定义．这就是说，当 x →1时， f x( )，g x( )的极限是否存在与其在x =1处是否 有定义无关． 定义１ 设函数 f x( )在 0 x 的某一空心邻域N x( , ) ˆ0 内有定义，如果当自变量 x 在 0 N x( , ) ˆ 内无限接近于 0 x 时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则 A 为 0 x x → 时 函数 f x( )的极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → ．
2,x→x时函数f(x)的极限 定义2设函数fx)在x的右半邻域(x,x+δ)内 有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于x时，相应 的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为函数f(x)在 x处的右极限，记为 limf(x)=A,f(x)=A或f(x)→Ax→x) 由该定义可知，讨论函数f(x)在x。处的右极限 limf(x)=A时，在自变量x无限接近于x。的过程中，恒 →6 有x>x。,于是有limf(x)=limf(x)=A. ☒D☒☑
２． 0 x x → +时函数 f x( )的极限 定义２ 设函数 f x( )在 0 x 的右半邻域 0 0 ( , ) x x + 内 有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于 0 x 时，相应 的函数值 f x( )无限接近于常数 A，则称 A为函数 f x( )在 0 x 处的右极限，记为 由该定义可知, 讨论函数 f x( ) 在 0 x 处的右极限 0 lim ( ) x x f x A → + = 时，在自变量 x 无限接近于 0 x 的过程中，恒 有 0 x x .于是有 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → + − = = . 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ). x x f x A f x A f x A x x + + + → = = → → ， 或
3.x→x。时函数f(x)的极限 定义3设函数f(x)在x,的左半邻域(x。-6,x)内 有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于x,时， 相应的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为函数 f(x)在x,处的左极限，记为limf(x)=A,或f(x)=A或 Y-Y f(x)→A(x→xO). 由该定义知，讨论函数f(x)在x。处的左极限 limf(x)=A时，在自变量x无限接近于x,的过程中，恒 X-→ 有x<x。,于是有limf(x)=1imf(x)=A. →0 X→xn ☒D☒☑
定 义 3 设函数 f (x)在 0 x 的左半邻域( , ) 0 0 x − x 内 有定义，当自变量 x在此半邻域内无限接近于 0 x 时， 相应的函数值 f (x) 无限接近于常数 A，则称 A为函数 f (x)在 0 x 处的左极限，记为 f x A， x x = → − lim ( ) 0 或 f x = A − ( ) 0 或 ( ) ( ). 0 → → − f x A x x 3． − → 0 x x 时函数 f (x)的极限 由 该 定 义 知 , 讨 论 函 数 f (x) 在 0 x 处 的 左 极 限 f x A x x = → − lim ( ) 0 时，在自变量 x 无限接近于 0 x 的过程中，恒 有 0 x x ,于是有 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0
定理1limf(x)=A的充要条件是 lim f(x)=lim f(x)=4. x→xn 一X ，x0, 并讨论limf(x),limf(x),limf(x)是否存在， ￥s01 Y-0 X=0 解f(x)的图形如图3（见下页）所示，由该图不难 看出： limf(x)=0;lim f(x)=0;lim f(x)=0. Y0】 ☒D☒I
定理 1 f x A x x = → lim ( ) 0 的充要条件是 lim ( ) lim ( ) . 0 0 f x f x A x x x x = = → + → − 例 1 设 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 x x f x x x x − = = ， ， ， 画出该函数的图形， 并讨论lim ( ) 0 f x x→ − ，lim ( ) 0 f x x→ ，lim ( ) 0 f x x→ + 是否存在． 解 f (x)的图形如图 3(见下页)所示，由该图不难 看出： lim ( ) 0 0 = → − f x x ；lim ( ) 0 0 = → f x x ；lim ( ) 0 0 = → + f x x
19 图3 图4 x0, 函数)，画图讨论lim sgnx,.1 imsgnx,1 im sgnx是否存在 0 x->0 x->0 解函数sgnx的图形如图4（见右上图）所示，不难看 出；limsgnx=-l;lim sgn x=1;lim sgn x不存在. x-0 r-0 >0 ☒D☒☑
例 2 设 1 , 0 sgn 0 , 0 1 , 0 x x x x − = = ， ， ， (通常称 sgn x为符号 函 数)，画图讨论lim sgn , 0 x x→ − limsgn , 0 x x→ x x lim sgn 0 → + 是否存在． 解 函数sgn x的图形如图 4(见右上图)所示，不难看 出；limsgn 1 0 = − → − x x ；lim sgn 1 0 = → + x x ； x x limsgn →0 不存在. y -1 O 1 x 1 图 3 O -1 x 1 y 图 4
4. x→∞时函数f(x)的极限 定义4设函数f(x)在x>:a时有定义(a为某个正实 数)，如果当自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值 f(x)无限接近于常数A,则称A为x→∞时函数f(x)的 极限，记为limf(x)=A或f(x)→A(x→∞). r-o 5.x→+o时函数f(x)的极限 定义5设函数fx)在(a,+∞)内有定义(a为某个正实 数)，当自变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限接近 于常数A,则称A为x→+∞时函数f(x)的极限，记为 1imf(x)=A或f(x)→A(x→+oo). ☒D☒☑
4． x → 时函数 f (x)的极限 定义 4 设函数 f (x)在| x | a 时有定义( a 为某个正实 数)，如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值 f (x)无限接近于常数 A ，则称 A 为 x → 时函数 f (x) 的 极限，记为 f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A(x → ). 5． x → +时函数 f (x)的极限 定义 5 设函数f(x)在(a,+)内有定义( a 为某个正实 数)，当自变量x无限增大时，相应的函数值 f (x)无限接近 于常数 A，则称A 为x → + 时函数 f (x) 的极限，记为 f x A x = →+ lim ( ) 或 f (x) → A(x → +)．
6.x→-∞时函数f(x)的极限 定义6设函数f(x)在(-o,a)内有定义(a为某个 实数)，当自变量无限变小（或-x无限变大）时，相应的 函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为x→-∞时函 数f(x)的极限，记1imf(x)=A或f(x)→A(x→-oo). 定理2limf(x)=A的充要条件是 X一0以 limf(x)=lim f(x)=4. ☒D☒☒
定义 6 设函数 f (x)在(−,a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或− x无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为x → −时函 数 f (x)的极限，记 f x A x = →− lim ( ) 或 f (x) → A(x → −)． 定理 2 lim ( ) x f x A → = 的充要条件是 limf(x) x→+ = f x A x = →− lim ( ) ． 6．x → −时函数 f (x)的极限