第八章' 常微分方程 第一节常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节二阶常系数线性微分方程 ☑)☒☑I
第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 ☑2☒☑I
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法 第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
第一节常微分方程的基本概念与分离变量法 一、微分方程的基本概念 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程，特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为常微分方程， 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数. 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程，在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程， ✉P冈☑
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数． 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微 分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这 时的微分方程就称为 常微分方程． 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程． 一、微分方程的基本概念
微分方程的解：如果将函数=y(x)代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解。 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数，如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解， 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件 一阶常微方程的初始条件为y(x。)=y。,其中x。, y。是两个已知数. 二阶微分方程的初始条件为y(x。)=y, y'(x。)=y6 ☑冈☑
如果将函数y = y ( x ) 代入微分方 程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的 解． 初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件． 一阶常微方程的初始条件为 0 0 y( x ) = y ,其 中 0 x ， 0 y 是两个已知数. 二阶微分方程的初始条件为 0 0 0 0 ( ) , ( ) . y x y y x y = = 微分方程的解： 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
例1验证函数y=Ce+Ce2(C,C2为任意常数) 为二阶微分方程y”-3y+2y=0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的特解， y=Cje*+Cze2,y=Ce*+2Ce2, y"=Ce*+4Ce2*, 将y,y,y°代入方程y”-3y+2y=0左端，得 Ce*+4C2e2*-3(C e*+2C2e2*)+2(Ce*+Ce2x) =(C1-3C1+2C)e+(4C2-6C2+2C2)e2x=0, 所以，函数y=C,e+C,e2是所给微分方程的解.又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解. ✉W☒
例 1 验证函数 x x y C C 2 1 2 = e + e ( 1 2 C C, 为任意常数) 为二阶微分方程 y − 3y + 2 y = 0的通解，并求该方程满 足初始条件y(0) = 0, y(0) =1的特解． 所以，函数y = C e1 x +C2 2x e 是所给微分方程的解．又因 为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解． x x y C C 2 1 2 = e + e , 2 1 2 e 2 e , x x y C C = + 2 1 2 e 4 e , x x y C C = + 将y, y , y 代入方程 y − 3y + 2 y = 0左端，得 解 e 4 e 3( e 2 e ) 2( e e ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x x x x x x C + C − C + C + C +C ( 3 2 )e (4 6 2 )e 0 2 = 1 − 1 + 1 + 2 − 2 + 2 = x x C C C C C C
由初始条件y(0)=0,我们得C,+C,=0,由初始条件 y(0)=1,得C+2C2=1.所以C2=1,C1=-1.于是，满 足所给初始条件的特解为y=-e+e2x. 定义1（线性相关，线性无关）设函数y,(x),y(x) 是定义在区间（α，b)内的函数，若存在两个不全为零的数 k,k2,使得对于(a,b)内的任一x恒有 k1y1+k2y2=0 成立，则称函数y,y2在（α，b)内线性相关，否则称为线性 无关。 ✉E冈☑
由初始条件y(0) = 0，我们得C1 + C2 = 0，由初始条件 y(0) =1，得 2 1. C1 + C2 = 所以C2 = 1，C1 = −1．于是，满 足所给初始条件的特解为 x x y 2 = −e + e ． 设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是定义在区间( , ) a b 内的函数，若存在两个不全为零的数 1 2 k , k ，使得对于( , ) a b 内的任一 x 恒有 成立，则称函数 1 2 y , y 在( , ) a b 内线性相关，否则称为线性 无关． 0 k1 y1 + k 2 y2 = 定义1 （线性相关，线性无关）
y,2线性相关的充分必要条件是上在(a,b)区间内 y2 恒为常数.若少不恒为常数，则y,为线性无关.当 与y2线性无关，函数y=Cy+Cy2中含有两个独立 的任意常数C和C2, 二、分离变量法 定义2形如=/x)()的方程，称为可分离 变量的方程， 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数. ✉冈☑
1 2 y , y 线性相关的充分必要条件是 2 1 y y 在( , ) a b 区间内 恒为常数．若 2 1 y y 不恒为常数，则 1 2 y , y 线性无关．当 1 y 与 2 y 线性无关，函数 1 1 2 2 y = C y +C y 中含有两个独立 的任意常数 C1和C2 ． 定义 2 形如 ( ) ( ) d d f x g y x y = 的方程，称为可分离 变量的方程. 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数． 二、分离变量法
可分离变量方程的解法： (1)分离变量：将该方程化为等式一边只含变量y, 而另一边只含变量x的形式，即 dy=fx)dx其中g(y)≠0 g(y） (2)两边积分：了∫1x g(y） (3)计算上述不定积分，得通解 ✉D✉
可分离变量方程的解法： （1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即 f x x g y y ( )d ( ) d = 其中g( y) 0 （2）两边积分： f x x g y y ( )d ( ) d = （3）计算上述不定积分，得通解
例2求y+xy=0的通解 解方程变形为 dy =-Xy, dx 分离变量得 dy =-xdxy≠0)， 两边积分得 rdy y=-「xdx, 求积分得 Inly-x+G x2 所以 y=e2 x+C =e9e2, 12 12 即 y=tee 2"=Ce 2"(C=teG), 方程通解为y=Ce宁《C为任意常数) ✉P冈☑
例2 求y'+xy = 0的通解． 解 方程变形为 xy x y = − d d , 分离变量得 x x y y d d = − (y 0 ), 两边积分得 = − x x y y d d , 求积分得 1 2 2 1 ln | y |= − x +C , 所以 2 1 1 2 2 1 2 1 | | e e e x C x C y − + − = = , 即 2 2 1 1 1 1 2 2 e e e ( e ) x x C C y C C − − = = = , 方程通解为 2 2 1 e x y C − = （ C 为任意常数）
例3设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t=O)时的速度为零.求降落 伞下落速度与时间t的函数关系. 解设降落伞下落速度为()时伞所受空气阻力为 -y(负号表示阻力与运动方向相反，k为常数).另外， 伞在下降过程中还受重力P=g作用，故由牛顿第二定律 dv 得m兰 =mg-km且有初始条件：vl,o=0于是，所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m =mg-, dt vo=0, ☑D☒☑
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶(t = 0)时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系. 解 设降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为 − kv（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）．另外， 伞在下降过程中还受重力P = mg作用，故由牛顿第二定律 得 mg kv t v m = − d d 且有初始条件：v | t=0= 0于是，所给问题归 结为求解初值问题 0 d , d | 0, t v m mg kv t v = = − =