山东理工大学：《电路》课程教学资源（课件讲稿）第14章 线性动态电路的复频域分析

第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。 2010年3月3日星期三 1

2010年3月3日星期三 1 结束 第十四章 线性动态电路的复频域分析 主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系

基本要求 ①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。 ② 掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。 ③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤 ④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系； 2010年3月3日星期三 2

2010年3月3日星期三 2 结束 基本要求 ①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。 ②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。 ③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。 ④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；

重点 ①拉普拉斯反变换部分分式展开： ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、 运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 2010年3月3日星期三 3

2010年3月3日星期三 3 结束 重点 ①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、 运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系

难点 ①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系 与其它章节的联系 8拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。 网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第7章、频率响应参见第11章。 2010年3月3日星期三 4

2010年3月3日星期三 4 结束 难点 ①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系 与其它章节的联系 拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。 网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章

§14-1拉普拉斯变换的定义 1.引言 ◆拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数)与复变函数F(s)联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。 ●两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程：二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程 中，初始条件成为变换的一部分。 ◆由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。 2010年3月3日星期三 5

2010年3月3日星期三 5 结束 §14-1 拉普拉斯变换的定义 1. 引言 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。 两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程 中，初始条件成为变换的一部分。 由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用

1.定义 ©一个定义在[0，+∞]区间的函数t),它的拉普拉斯 变换式F(s)定义为： Fs光=∫0ed 0 式中s=o+jo为复数，被称为复频率： F(s)称为t)的象函数，)称为F(s)的原函数。 由F(s)到)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： 作Fs=2元∫对ed nc+j∞ 2元j c-j∞ 式中c为正的有限常数。 2010年3月3日星期三 6

2010年3月3日星期三 6 结束 1. 定义 一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 变换式 F(s) 定义为： F(s)ℒ[f(t)]∫0 ∞ f(t)estdt 式中sj为复数，被称为复频率； F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为： f(t)ℒ1 [F(s)] 2j 1∫ cj∞ cj∞ F(s) e st dt 式中c为正的有限常数

8注意 (1)定义中拉氏变换的积分从=0开始，即： Fs==ed=∫7red+i0e业 它计及=0至0，，)包含的冲激和电路动态变量 的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数F(s)一般用大写字母表示，如(s)、U(s), 原函数)用小写字母表示，如(t0),(t)。 G象函数F(s)存在的条件：Re[s]=s>c。 在电气领域中所用到的都是有实际意义的（电压或电 流)信号，它们的函数表达式)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 2010年3月3日星期三 7

2010年3月3日星期三 7 结束 象函数F(s) 存在的条件： Re[s]s > c。 (1)定义中拉氏变换的积分从 t0开始，即： 注意 在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电 流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。 F(s)ℒ[f(t)]∫0 ∞ f(t)estdt ∫0 0 f(t)estdt ∫0 ∞ f(t)estdt 它计及 t0至 0，f(t) 包含的冲激和电路动态变量 的初始值，从而为电路的计算带来方便。 (2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)

2.典型函数的拉氏变换 P345例14-1 (1)单位阶跃函数)=(t) o-a0ed-emd=-寸el￥ e(0日 0 (2)单位冲激函数δ(t) 0 Fs-ò0edi= δ(0)es dt-=eso) 光[δ(t)]=1 (3)指数函数t)=eu(o为实数) F-eodv-etad=-ikoeer6 e啡a 2010年3月3日星期三 8

2010年3月3日星期三 8 结束 2. 典型函数的拉氏变换 P345例14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) (t) F(s) ∫0 ∞ (t) est dt ℒ[(t)] s 1 ∫0 ∞ est dt s 1 est 0 ∞ (2)单位冲激函数(t) F(s) ∫ ∞ (t) est dt ∫  (t) est dt es(0) ℒ[(t)]1 (3)指数函数 f(t) et (为实数) F(s) ∫ ∞ et est dt ∫ ∞ est dts 1 est  ∞ ℒ[et ] s 1

§14-2拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 设：光[(t)]=F(S),光[5(t)]=F2(s) A1、A2是两个任意实常数。 则：光[A1f()+A2(]=A1F(S)+A2F2(S) 证：左=∫41f(④)+A,f(ed =Af@ed+4,i0ed=右 A F (s) A2F2(s) 2010年3月3日星期三 9

2010年3月3日星期三 9 结束 §14-2 拉普拉斯变换的基本性质 1. 线性性质 设：ℒ[ f1 (t)]F1 (s)，ℒ[ f2 (t)]F2 (s) A1、A2是两个任意实常数。 则：ℒ[A1 f1 (t)A2 f2 (t)] A1F1 (s)A2F2 (s) 证： 左 ∫ ∞ [A1 f1 (t) A2 f2 (t)] est dt A∫1  ∞ f1 (t) est dt A2∫ ∞ f2 (t) est dt 右 A1F1 (s) A2F2 (s)

P346例14-2若f(t)=sin(ot),f5(t)=K(1-eo)的定 义域为[0，∞]，求其象函数。解： 光[f()]=光[sin(ot)] 欧拉公式 [分oa-ei)】 线性性质 网-e 引用e]=a ja stija ￥[sim(o0】=s2+o 线性性质 光[f(t)]=光[K(1-eo0] [K☒-光[Ke-oI 引用阶跃函数和指数函数的结论 KK Ka Ka SS+O以 S(S+0) [K(1-er)]= s(s+0) 2010年3月3日星期三 10

2010年3月3日星期三 10 结束 P346 例14-2 若 f1 (t)sin(t)， f2 (t)K(1et )的定 义域为[0，∞]，求其象函数。 ℒ[ f1 (t)] ℒ[sin(t)] 2j 1 (e jtejt ) 欧拉公式 ℒ 线性性质 2j 1 ℒ[e jt ] -ℒ[ejt ] 引用 ℒ[et ]  s 1  2j 1 sj 1 sj 1  s 22  ℒ[ f2 (t)] ℒ[K(1et )] 引用阶跃函数和指数函数的结论  s K s K  s(s K ℒ[K(1et )] 线性性质ℒ[K]ℒ[Ket ] 解： s(s K ℒ[sin(t)]  s 22 