第十一章机械的平衡 内容提要 本章主要介绍机械平衡的基本概念，刚性转子的静平衡设计与静平衡实验，刚性转子的动平 衡设计与动平衡实验。并简要介绍挠性转子的动平衡设计。 11.1概述 11.1.1机械平衡的目的 机械运动时，各运动构件由于制造、装配误差，材质不均等原因造成质量分布不均，使得质 心不在回转轴线上，导致构件所产生的不平衡惯性力将在运动副中引起附加的动载荷。这不仅会 加剧运动副的磨损，降低机械的效率，而且会降低构件的有效承载能力，缩短构件的使用寿命。 此外，由于这些不平衡惯性力的大小和方向都是周期性变化的，所以将会引起机械及其基础产生 强迫振动。如果振动频率接近系统的固有频率，将会引起共振，导致零件材料内部疲劳损伤加剧， 从而有可能使机械设备遭到破坏，影向机械工作质量，甚至危及人员及房安全。尤其在高速 重型机械和精密机械中，更应注意平衡这一问题。例如某航空电机的转子，自重为1ON,重心与 回转轴线的偏距为0.2mm,当工作转速为9000rmin时，该转子产生的离心惯性力为180N,为 转子自重的18倍。转子在转动时，惯性力的大小和方向始终在变化，将对运动副产生动压力。 可见，惯性力对机械的工作性能有极大的影响，必须予以高度的重视。 机械平衡的目的就是研究惯性力分布及其变化规律，采取相应的措施消除或尽量减小惯性力 的不良影响，以改善机械的工作性能、延长机械的使用寿命、降低噪音污染，并改善现场的工作 环境。 应当指出，不平衡惯性力并非都是有害的，如振实机、按摩机、蛙式打夯机、振动打桩机、 振动运输机等却是利用构件产生的不平衡惯性力所引起的振动来工作的。对于此类机械，则是如 何合理利用不平衡惯性力的问题。 11.1.2机械平衡研究的内容 1.转子的平衡 绕固定轴回转的构件称为转子(roto),如汽轮机、发电机、电动机、离心机等机器都以转 子为工作的主体。转子可分为刚性转子和挠性转子两种。 231
231 第十一章 机械的平衡 内容提要 本章主要介绍机械平衡的基本概念，刚性转子的静平衡设计与静平衡实验，刚性转子的动平 衡设计与动平衡实验。并简要介绍挠性转子的动平衡设计。 11.1 概述 11.1.1 机械平衡的目的 机械运动时，各运动构件由于制造、装配误差，材质不均等原因造成质量分布不均，使得质 心不在回转轴线上，导致构件所产生的不平衡惯性力将在运动副中引起附加的动载荷。这不仅会 加剧运动副的磨损，降低机械的效率，而且会降低构件的有效承载能力，缩短构件的使用寿命。 此外，由于这些不平衡惯性力的大小和方向都是周期性变化的，所以将会引起机械及其基础产生 强迫振动。如果振动频率接近系统的固有频率，将会引起共振，导致零件材料内部疲劳损伤加剧， 从而有可能使机械设备遭到破坏，影响机械工作质量，甚至危及人员及厂房安全。尤其在高速、 重型机械和精密机械中，更应注意平衡这一问题。例如某航空电机的转子，自重为 10N，重心与 回转轴线的偏距为 0.2 mm，当工作转速为 9000r/min 时，该转子产生的离心惯性力为 180N，为 转子自重的 18 倍。转子在转动时，惯性力的大小和方向始终在变化，将对运动副产生动压力。 可见，惯性力对机械的工作性能有极大的影响，必须予以高度的重视。 机械平衡的目的就是研究惯性力分布及其变化规律，采取相应的措施消除或尽量减小惯性力 的不良影响，以改善机械的工作性能、延长机械的使用寿命、降低噪音污染，并改善现场的工作 环境。 应当指出，不平衡惯性力并非都是有害的，如振实机、按摩机、蛙式打夯机、振动打桩机、 振动运输机等却是利用构件产生的不平衡惯性力所引起的振动来工作的。对于此类机械，则是如 何合理利用不平衡惯性力的问题。 11.1.2 机械平衡研究的内容 1．转子的平衡 绕固定轴回转的构件称为转子（rotor），如汽轮机、发电机、电动机、离心机等机器都以转 子为工作的主体。转子可分为刚性转子和挠性转子两种
1)刚性转子的平衡 当转子的工作转速低于其一阶临界转速时（一般为0.6~0.75m,m1为转子的一阶临界转 速)，其旋转轴线挠曲变形可以忽略，完全可以看作是刚性物体，此时称为刚性转子(rigid rotor)。 刚性转子平衡时可基于理论力学中力系平衡的原理，通过重新调整转子上质量的分布，使其质心 位于回转轴线的方法来实现。刚性转子的平衡是本章要介绍的主要内容。 2)挠性转子的平衡 当转子的工作转速高于其一阶临界转速时，且转子的径向尺寸较小，长径比较大，重量大， 此时转子在工作过程中会产生较大的弯曲变形，此变形不可忽略，并且离心惯性力会显著增加， 此时称为挠性转子(flexible rotor)。挠性转子平衡时可基于弹性梁的横向振动理论，其平衡难度 很大，本章只作简单介绍。 2。机构的平衡 对于存在有往复移动或平面复合运动构件的机构，因其质心位置随机构的运动而发生变化， 其惯性力无法就该构件本身加以平衡，因而必须就整个机构加以研究，设法使机构的惯性力的合 力和合力偶得到完全或部分的平衡。此类平衡问题必须就整个机构加以研究，称为机构的平衡。 机械平衡的方法有平衡设计和平衡试验。在设计阶段，除应满足机械的工作要求及制造工艺 要求外，还应在结构上采取措施消除或减少产生有害振动的不平衡惯性力与惯性力矩，该过程称 为机械的平衡设计。经平衡设计的机被，尽管理论上已经达到平衡，旧由于制造误差、装配误差 及材质不均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的 不平衡现象。这种不平衡在设计阶段是无法确定和消除的，必须采用试验的方法对其做进一步平 衡 11.2刚性转子的平衡衡 11.2.1刚性转子的静平衡 对于轴向尺寸较小的盘状转子（即转子的轴向宽度b与其直径D之比b/D<02),例如砂 轮、凸轮、飞轮以及大部分的齿轮和带轮，它们的质量可近似的认为分布在同一回转面内。如果 质心不在回转轴线上，当转子回转时偏心质量就会生离心，惯性力，从而在运动副中引起附加的 动压力。这种不平衡现象在转子静态时即可表现出来，故称为静不平衡(static unbalance)。为了 消除离心惯性力的影响，设计时应首先根据转子的结构确定各偏心质量的大小和方位，然后计算 为平衡偏心质量所需增加或减小的平衡质量的大小和方位，以使所设计的转子理论上达到静平 衡。该过程称为刚性转子的静平衡设计。 如图11-1a所示盘状转子，已知分布于同一回转平面内的偏心质量为m1、m2和m,回转 中心至各偏心质量的矢径分别为、乃和厅。当转子以等角速度@转动时，各偏心质量所产生 的离心惯性力分别为 232
232 1）刚性转子的平衡 当转子的工作转速低于其一阶临界转速时（一般为 75 c1 0.6 ~ 0. n ， nc1 为转子的一阶临界转 速），其旋转轴线挠曲变形可以忽略，完全可以看作是刚性物体，此时称为刚性转子（rigid rotor）。 刚性转子平衡时可基于理论力学中力系平衡的原理，通过重新调整转子上质量的分布，使其质心 位于回转轴线的方法来实现。刚性转子的平衡是本章要介绍的主要内容。 2）挠性转子的平衡 当转子的工作转速高于其一阶临界转速时，且转子的径向尺寸较小，长径比较大，重量大， 此时转子在工作过程中会产生较大的弯曲变形，此变形不可忽略，并且离心惯性力会显著增加， 此时称为挠性转子（flexible rotor）。挠性转子平衡时可基于弹性梁的横向振动理论，其平衡难度 很大，本章只作简单介绍。 2．机构的平衡 对于存在有往复移动或平面复合运动构件的机构，因其质心位置随机构的运动而发生变化， 其惯性力无法就该构件本身加以平衡，因而必须就整个机构加以研究，设法使机构的惯性力的合 力和合力偶得到完全或部分的平衡。此类平衡问题必须就整个机构加以研究，称为机构的平衡。 机械平衡的方法有平衡设计和平衡试验。在设计阶段，除应满足机械的工作要求及制造工艺 要求外，还应在结构上采取措施消除或减少产生有害振动的不平衡惯性力与惯性力矩，该过程称 为机械的平衡设计。经平衡设计的机械，尽管理论上已经达到平衡，但由于制造误差、装配误差 及材质不均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的 不平衡现象。这种不平衡在设计阶段是无法确定和消除的，必须采用试验的方法对其做进一步平 衡。 11.2 刚性转子的平衡 11.2.1 刚性转子的静平衡 对于轴向尺寸较小的盘状转子（即转子的轴向宽度 b 与其直径 D 之比 b / D 0.2 ），例如砂 轮、凸轮、飞轮以及大部分的齿轮和带轮，它们的质量可近似的认为分布在同一回转面内。如果 质心不在回转轴线上，当转子回转时偏心质量就会产生离心惯性力，从而在运动副中引起附加的 动压力。这种不平衡现象在转子静态时即可表现出来，故称为静不平衡（static unbalance）。为了 消除离心惯性力的影响，设计时应首先根据转子的结构确定各偏心质量的大小和方位，然后计算 为平衡偏心质量所需增加或减小的平衡质量的大小和方位，以使所设计的转子理论上达到静平 衡。该过程称为刚性转子的静平衡设计。 如图 11-1a 所示盘状转子，已知分布于同一回转平面内的偏心质量为 m1 、m2 和 m3 ，回转 中心至各偏心质量的矢径分别为 1 r 、 2 r 和 3 r 。当转子以等角速度 转动时，各偏心质量所产生 的离心惯性力分别为
F=m,02元(i=1,2,3) (11-1) 为平衡上述离心惯性力，可在该平面内矢径为万处增加一个平衡质量m,使其产生的离心 惯性力为F与各偏心质量的离心惯性力F相平衡，即 ∑F=F+E+E+E=0 (11-2) 式中 Fo mpor 所以 m,02元+ma2行+m2a22+m02万=0 消去02后可得 m,6+m5+m25+m35=0 (11-3) 式(113)中质量与矢径的乘积m,:称为质径积，它表示在同一转速下转子上各离心惯性力的 相对大小和方位。 由上述分析可知，刚性转子静平衡的条件为分布于转子上的各偏心质量的离心惯性力的合力 为零或其质径积的矢量和为零。 F3 3 (a) (b) 图111刚性转子的静平衡设计 平衡块的质径积m,万。的大小和方位，可用图解法或者解析法来求得。图解法是根据各偏心 质量的质径积m的大小和方位，选择合适的比例实际质径积大小g:m作出首尾相接的矢 图上的尺十mm 量图，最后用平衡质量的质径积m,去封闭矢量图，即可得到平衡质量质径积的大小和方位， 图11-1b所示为用图解法求解的过程。 解析法是以回转中心为原点O,在回转平面内创建直角坐标系xO,根据力平衡条件，由 ΣF=0及ΣF=0可得 233
233 i 2 i i F = m r （ i = 1，2，3） （11-1） 为平衡上述离心惯性力，可在该平面内矢径为 b r 处增加一个平衡质量 mb ，使其产生的离心 惯性力为 Fb 与各偏心质量的离心惯性力 Fi 相平衡，即 F = Fb + F1 + F2 + F3 = 0 （11-2） 式中 b 2 b b F = m r 所以 3 0 2 2 3 2 1 2 2 b 1 2 mb r + m r + m r + m r = 消去 2 后可得 mb rb + m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 = 0 （11-3） 式（11-3）中质量与矢径的乘积 i i m r 称为质径积，它表示在同一转速下转子上各离心惯性力的 相对大小和方位。 由上述分析可知，刚性转子静平衡的条件为分布于转子上的各偏心质量的离心惯性力的合力 为零或其质径积的矢量和为零。 （a） （b） 图 11-1 刚性转子的静平衡设计 平衡块的质径积 b b m r 的大小和方位，可用图解法或者解析法来求得。图解法是根据各偏心 质量的质径积 i i m r 的大小和方位，选择合适的比例 mm kg m 图上的尺寸 实际质径积大小 作出首尾相接的矢 量图，最后用平衡质量的质径积 b b m r 去封闭矢量图，即可得到平衡质量质径积的大小和方位， 图 11-1b 所示为用图解法求解的过程。 解析法是以回转中心为原点 O，在回转平面内创建直角坐标系 xOy ，根据力平衡条件，由 0 Fx = 及 Fy = 0 可得
mcos队+2m5cos8=0 (11-4) m6sm8+∑msn8=0 式中，Q,为第1个偏心质量m的矢径方与x方向的夹角（从x轴正向到，沿逆时针方向为正）， a为平衡质量的方位角。解方程(114)，可求出应在转子上增加的平衡质量的质径积m,的 大小。 (11-5) 根据转子结构选定，后，即可求出平衡质量m,其所在的方位角A为： A=arctan-包 msn8 (11-6) .co 根据式(11-6)中分子分母的正负号可确定,所在的象限。 静平衡设计的几点说明： (1)为使转子总质量不致过大，应尽可能将，选大些。 (2)若转子实际结构不允许在矢径，方向(A,方向)上安装平衡质量，即采用增重法，亦可 在矢径，的反方向(-只，方向)上去除相应的质量来使转子得到平衡，即为去重法。 (3)若偏心质量所在的回转平面内，实际结构不允许安装或去除平衡质量，则应根据平行 力的合成与分解原理，在另外两个回转平面内分别安装或去除合适的平衡质量。如图12所示。 在原平衡平面两侧选定任意两个回转平面T和，它们与原平衡平面的距离分别为'和严，设 在T和T面内分别装上平衡质量m,和m,则必须满足平行力分解的关系式，即 +=→ 234
234 + = + = = = sin sin 0 cos cos 0 1 b b b i i i 1 b b b i i i n i n i m r m r m r m r （11-4） 式中， i 为第 i 个偏心质量 mi 的矢径 i r 与 x 方向的夹角（从 x 轴正向到 i r ，沿逆时针方向为正）， b 为平衡质量的方位角。解方程（11-4），可求出应在转子上增加的平衡质量的质径积 b b m r 的 大小。 2 1 i i i 2 1 b b i i i cos sin + − = − = = n i n i m r m r m r （11-5） 根据转子结构选定 b r 后，即可求出平衡质量 mb ，其所在的方位角 b 为： = = = n i n i m r m r 1 i i i 1 i i i b cos sin arctan （11-6） 根据式（11-6）中分子分母的正负号可确定 b 所在的象限。 静平衡设计的几点说明： （1）为使转子总质量不致过大，应尽可能将 b r 选大些。 （2）若转子实际结构不允许在矢径 b r 方向( b 方向)上安装平衡质量，即采用增重法，亦可 在矢径 b r 的反方向（ −b 方向）上去除相应的质量来使转子得到平衡，即为去重法。 （3）若偏心质量所在的回转平面内，实际结构不允许安装或去除平衡质量，则应根据平行 力的合成与分解原理，在另外两个回转平面内分别安装或去除合适的平衡质量。如图 11-2 所示， 在原平衡平面两侧选定任意两个回转平面 T' 和 T" ，它们与原平衡平面的距离分别为 l' 和 l" ，设 在 T' 和 T" 面内分别装上平衡质量 ' mb 和 " mb ，则必须满足平行力分解的关系式，即 = = = = = + = b b " b " b b b ' b ' b b " b b b " b ' b b " b b ' " ' " ' " m r l l m r m r l l m r F l l F F l l F F l F l F F F ‘ ‘
平衡平面 图112质径积分解到两个平面 (4)对于静不平衡的转子，无论有多少个偏心质量，都只需要在同一平衡面内适当地增加 或去除一个平衡质量即可获得平衡，故静平衡又称单面平衡。 【例11-1】如图11-3所示的盘形回转件上存在三个偏心质量，己知m=10kg,m2=10kg, m,=15kg,万=50mm,5=100mm,5=100mm,设所有不平衡质量分布在同一回转平面内， 现用去重法来平衡，求所需挖去的平衡质量的大小和方位（设挖去质量处的半径，=100mm)。 解：由方程(114)和式(11-5)可得 m35-mh=15×100-10×50=1000kgmm,m22=15×100=1500kg·mm m5=10002+15002=1802.77kgmm 应增加的平衡质量为 m=m,h/=1802.77/100=18.0277kg 由式(11-6)可得 a=tan-1500/-1000)=-5631 挖去的质量应在m,矢量的反方向，即第二象限中，方位角8，为123.69°且5=100mm处 挖去18.0277kg质量。 【例11-2】如图11-4所示为一钢制圆盘，盘厚b=50mm,位置1处有一直径Φ=50mm的 通孔，位置2处是一质量m2=0.5kg的重块，片=100mm,2=200mm,为了使圆盘达到静平衡， 需在圆盘上r=200mm处制一通孔。试求此孔的直径与位置。（钢的密度p=7.8gcm2) 210 235
235 图 11-2 质径积分解到两个平面 （4）对于静不平衡的转子，无论有多少个偏心质量，都只需要在同一平衡面内适当地增加 或去除一个平衡质量即可获得平衡，故静平衡又称单面平衡。 【例 11-1】如图 11-3 所示的盘形回转件上存在三个偏心质量，已知 m1 =10kg ，m2 =10kg ， m3 =15kg ， r1 = 50mm ， r2 =100mm， r3 =100mm，设所有不平衡质量分布在同一回转平面内， 现用去重法来平衡，求所需挖去的平衡质量的大小和方位（设挖去质量处的半径 rb =100mm ）。 解：由方程（11-4）和式（11-5）可得 m3 r3 − m1 r1 =15100 −10 50 =1000kg mm ， m2 r2 = 15100 = 1500kg mm 1000 1500 1802.77kg mm 2 2 b b m r = + = 应增加的平衡质量为 mb = mb rb /rb =1802.77 /100 =18.0277kg 由式（11-6）可得 − = tan (1500/−1000) = −56.31 1 b 挖去的质量应在 b b m r 矢量的反方向，即第二象限中，方位角 b 为 123.69 且 rb =100mm 处 挖去 18.0277 kg 质量。 【例 11-2】如图 11-4 所示为一钢制圆盘，盘厚 b = 50mm ，位置 1 处有一直径 = 50mm 的 通孔，位置 2 处是一质量 m2 = 0.5kg 的重块， r1 =100mm ，r2 = 200mm ，为了使圆盘达到静平衡， 需在圆盘上 r = 200mm 处制一通孔。试求此孔的直径与位置。（钢的密度 3 = 7.8g/cm )
图113盘形回转件 图11-4钢制圆盘 解：根据题意，为了达到平衡需在圆盘上再制一孔，为计算方便，可将位置2处的不平衡重 块产生的离心惯性力的方向置为反方向（即30°方向），即相当于在圆盘上距离回转中心0点 200mm且方位角为30°处有一质量为0.5kg的孔，此孔所产生的离心惯性力与2处的不平衡重 块产生的离心惯性力相当。 根据静平衡条件可知 ++=0 F=ma25=p'a25=7.8×106×π×50×o2x100×10-3=0.0766a2N F3=mo22=0.5×a2×200x103=0.1o2N 以回转中心为原点0，创建直角坐标系x0,由∑F=0及∑F,=0可得F=0.10892 0=253°。 由F。=0.1089m2=pWa2=7.8×106×π××50×2×200×10-3可得5=21mm,即在a为 253°处且，为21mm处加工一直径为42mm的通孔即可达到平衡。 经过上述静平衡计算后转子在理论上已经达到静平衡，但由于制造和装配的不精确及材质不 均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的不平衡现 象，此时只能通过静平衡试验来确定平衡质量的大小和方位。静平衡所用的设备称为静平衡架， 如图11-5所示为导轨式静平衡架，两导轨水平且互相平行，导轨的端口形状常做成刀口状或 弧状。试验时，将转子用支承置于导轨上并让其轻轻地自由滚动，由于任何物体在重力的作用下， 其质心总是处于最低位置，故当转子质心不在回转轴上时，转子不能在任意位置保持静止不动 到质心位于最低位置时才静止不动，这时在质心相反的方向任意向径处加一平衡质量（一般用橡 皮泥)，反复试验，并加减平衡质量，直至转子可在任意位置保持静止为止，即说明转子的质心 己在回转轴上，转子已达到静平衡。根据橡皮泥的质量和位置，得到平衡质量的质径积。最后， 根据转子的结构，在合适的位置增加或减少相应的平衡质量。 236
236 图 11-3 盘形回转件 图 11-4 钢制圆盘 解：根据题意，为了达到平衡需在圆盘上再制一孔，为计算方便，可将位置 2 处的不平衡重 块产生的离心惯性力的方向置为反方向（即 30°方向），即相当于在圆盘上距离回转中心 O 点 200mm 且方位角为 30°处有一质量为 0.5kg 的孔，此孔所产生的离心惯性力与 2 处的不平衡重 块产生的离心惯性力相当。 根据静平衡条件可知 Fb + F1 + F2 = 0 7.8 10 50 100 10 0.0766 N 6 2 3 2 1 2 1 2 1 = = = = − − F m r V r 0.5 200 10 0.1 N 2 3 2 2 2 2 = = = − F m r 以回转中心为原点 O，创建直角坐标系 xOy ，由 Fx = 0 及 Fy = 0 可得 2 Fb = 0.1089 ， b = 253 。 由 2 2 3 b 6 b 2 2 b 0.1089 7.8 10 50 200 10 − − F = = V r = r 可得 rb = 21mm ，即在 b 为 253°处且 b r 为 21mm 处加工一直径为 42mm 的通孔即可达到平衡。 经过上述静平衡计算后转子在理论上已经达到静平衡，但由于制造和装配的不精确及材质不 均匀等非设计因素的影响，实际制造出来后往往达不到原始的设计要求，仍会产生新的不平衡现 象，此时只能通过静平衡试验来确定平衡质量的大小和方位。静平衡所用的设备称为静平衡架， 如图 11-5a 所示为导轨式静平衡架，两导轨水平且互相平行，导轨的端口形状常做成刀口状或圆 弧状。试验时，将转子用支承置于导轨上并让其轻轻地自由滚动，由于任何物体在重力的作用下， 其质心总是处于最低位置，故当转子质心不在回转轴上时，转子不能在任意位置保持静止不动， 到质心位于最低位置时才静止不动，这时在质心相反的方向任意向径处加一平衡质量（一般用橡 皮泥），反复试验，并加减平衡质量，直至转子可在任意位置保持静止为止，即说明转子的质心 已在回转轴上，转子已达到静平衡。根据橡皮泥的质量和位置，得到平衡质量的质径积。最后， 根据转子的结构，在合适的位置增加或减少相应的平衡质量。 （a） （b）
图115静平衡架 导轨式静平衡架结构简单、可靠，平衡精度较高，但必须保证支承转子的导轨的端口在同一 水平面内。当转子两端支承轴颈不相等时，就无法在其上进行静平衡试验。此时，可用图115b 所示的圆盘式静平衡架。平衡时将转子的轴颈支承在两对圆盘上，每个圆盘均可绕自身轴线转动， 而且一端的支承高度可以调整，以适应两端轴颈不相等的转子。圆盘式静平衡架的平衡试验方法 与上述导轨式静平衡架相同，其使用较为方便，但因轴颈与圆盘间的摩擦阻力较大，故平衡精度 不如导轨式的静平衡架高。因需要反复试验，上述两种静平衡架工作效率较低，故当需要平衡试 验的转子批量较大时可用单面平衡机，通过测量转子旋转时转子不平衡惯性力所引起的支承的振 动或支承所受的动载荷来迅速地测出转子偏心质量的大小和方位。 11.2.2刚性转子的动平衡 当盘状转子的轴向尺寸较大时（即转子的轴向宽度b与其直径D之比b/D≥0.2时），例如 多缸发动机曲轴、电机转子和机床主轴等，就不能认为其质量分布在同一回转面内，而是分布在 若干个不同的回转平面内，此时，即便转子的质心在回转轴线上，由于各偏心质量所产生的离心 惯性力不在同一回转平面，因此将形成惯性力偶使转子仍处于不平衡状态。这种不平衡状态只有 当转子运转时才能显示出来，故称其为动不平衡。因此，对此类动不平衡转子进行平衡设计时， 设计时应首先根据转子的结构，确定各回转平面内偏心质量的大小和方位，然后计算所需增加的 平衡质量的数目、大小及方位，以使所设计的转子理论上达到动平衡。 如图11-6所示，不平衡质量m,、m2、m,分布在1、2、3三个不同回转平面内，向径分别 为、2、⅓，方位如图所示。当转子以角速度0回转时，由于三个不平衡质最产生离心惯性力 F=m不在同一回转面内，故为一空间力系。由理论力学可知，若要此三个离心惯性力达到 平衡，可将各力分别分解为两个与其相平行的分力然后再求平衡。因此，首先选定两个垂直于转 子轴线的平面T、T",下和T"之间的距离为1，平面1至平面T、T"的距离分别为1、，则 由理论力学可知，平面1中的不平衡质量m,所产生的离心惯性力F可用分解到平面T和下中的 力F和F来代替。 6-6:F-46 因此， 5-2R,5=25 F=25,5=25 237
237 图 11-5 静平衡架 导轨式静平衡架结构简单、可靠，平衡精度较高，但必须保证支承转子的导轨的端口在同一 水平面内。当转子两端支承轴颈不相等时，就无法在其上进行静平衡试验。此时，可用图 11-5b 所示的圆盘式静平衡架。平衡时将转子的轴颈支承在两对圆盘上，每个圆盘均可绕自身轴线转动， 而且一端的支承高度可以调整，以适应两端轴颈不相等的转子。圆盘式静平衡架的平衡试验方法 与上述导轨式静平衡架相同，其使用较为方便，但因轴颈与圆盘间的摩擦阻力较大，故平衡精度 不如导轨式的静平衡架高。因需要反复试验，上述两种静平衡架工作效率较低，故当需要平衡试 验的转子批量较大时可用单面平衡机，通过测量转子旋转时转子不平衡惯性力所引起的支承的振 动或支承所受的动载荷来迅速地测出转子偏心质量的大小和方位。 11.2.2 刚性转子的动平衡 当盘状转子的轴向尺寸较大时（即转子的轴向宽度 b 与其直径 D 之比 b / D 0.2 时），例如 多缸发动机曲轴、电机转子和机床主轴等，就不能认为其质量分布在同一回转面内，而是分布在 若干个不同的回转平面内，此时，即便转子的质心在回转轴线上，由于各偏心质量所产生的离心 惯性力不在同一回转平面，因此将形成惯性力偶使转子仍处于不平衡状态。这种不平衡状态只有 当转子运转时才能显示出来，故称其为动不平衡。因此，对此类动不平衡转子进行平衡设计时， 设计时应首先根据转子的结构，确定各回转平面内偏心质量的大小和方位，然后计算所需增加的 平衡质量的数目、大小及方位，以使所设计的转子理论上达到动平衡。 如图 11-6 所示，不平衡质量 m1 、 m2 、 m3 分布在 1、2、3 三个不同回转平面内，向径分别 为 1 r 、 2 r 、 3 r ，方位如图所示。当转子以角速度 回转时，由于三个不平衡质量产生离心惯性力 i 2 i i F = m r 不在同一回转面内，故为一空间力系。由理论力学可知，若要此三个离心惯性力达到 平衡，可将各力分别分解为两个与其相平行的分力然后再求平衡。因此，首先选定两个垂直于转 子轴线的平面 T'、T"，T' 和 T" 之间的距离为 l，平面 1 至平面 T' 、T" 的距离分别为 ' 1 l 、 " 1 l ，则 由理论力学可知，平面 1 中的不平衡质量 m1 所产生的离心惯性力 F1 可用分解到平面 T' 和 T" 中的 力 ' F1 和 " F1 来代替。 1 " ' 1 1 F l l F = ， 1 ' " 1 1 F l l F = 因此， 2 " ' 2 2 F l l F = ， 2 ' " 2 2 F l l F = 3 " ' 3 3 F l l F = ， 3 ' " 3 3 F l l F =
图11-6刚性转子的动平衡设计 以上分析表明：原来的空间力系中的三个不平衡离心惯性力完全可用平面T中的F、F、 F及平面T"中的F、F、F来代替，这样就可将空间力系的平衡问题转化为两个平面汇交力 系的平衡问题，即刚性转子的动平衡设计问题可用静平衡设计的方法来解决了。 对于平面T，可在该平面内增加一个平衡质量m。,该平衡质量的向径为，其产生的离心 惯性力为F与E、F、F相平衡。由式(11-2)可知 =+++=0 将各力的大小代入可得 m6+m方+m5+m5=0 (11-7) 238
238 图 11-6 刚性转子的动平衡设计 以上分析表明：原来的空间力系中的三个不平衡离心惯性力完全可用平面 T' 中的 ' F1 、 ' F2 、 ' F3 及平面 T" 中的 " F1 、 " F2 、 " F3 来代替，这样就可将空间力系的平衡问题转化为两个平面汇交力 系的平衡问题，即刚性转子的动平衡设计问题可用静平衡设计的方法来解决了。 对于平面 T' ，可在该平面内增加一个平衡质量 ' mb ，该平衡质量的向径为 ' b r ，其产生的离心 惯性力为 ' Fb 与 ' F1 、 ' F2 、 ' F3 相平衡。由式（11-2）可知 0 ' 3 ' 2 ' 1 ' F = Fb + F + F + F = 将各力的大小代入可得 3 0 ' 2 3 ' 1 2 ' 1 ' b ' mb r + m r + m r + m r = （11-7） 式中， 1 " ' 1 1 m l l m = ， 2 " ' 2 2 m l l m = ， 3 " ' 3 3 m l l m =
用静平衡设计的方法求解式(117)可得m,的大小和方位，沿m,方向适当选定的大 小，即可求得平面T内应加的平衡质量m。 同理，对于平面T"有 m6+m万+m25+m5=0 (11-8) 式中，m=m,m=兰m,m=专m。 同样采用静平衡设计的方法求解式(11-8)可得m,的大小和方位，沿m,万方向适当选定 的大小，即可求得平面T"内应加的平衡质量m,。 由以上分析可知，不平衡质量m1、m,、m可通过平面T、T中的平衡质量m和m进行 平衡。故平面T和T"称为平衡平面或校正平面，其垂直于转子的轴线。 动平衡设计的几点说明： (1)动平衡的条件：当转子转动时，转子上分布在不同平面内的各个质量所产生的空间离 心惯性力系的合力及合力矩均为零，即ΣF=0及ΣM=0。 (2)对于动不平衡的转子，无论它有多少个偏心质量以及分布在多少个回转平面内，都只 需要在选定的两个平衡平面？、T"内各增加或减少一个合适的平衡质量，即可使转子获得动平 衡，故动平衡又称为双面平衡。在选择平衡平面T和T"时，需考虑转子的实际结构和安装空间， 以便于安装或去除平衡质量。此外，考虑力矩平衡的效果，两平衡平面间的距离应适当大一些， 通常在实际中常选结构上允许加重或去重的端面，同时在条件允许的情况下，为了减小平衡质量 可将平衡质量的向径取得大一些。 (3)由于动平衡同时满足静平衡的条件，所以经过动平衡的转子一定静平衡：反之，经过 静平衡的转子不一定动平衡。 【例11-3】如图11-7所示为一滚简轴，已知其上的偏心质量，m1、m2、m均为0.4kg,各 偏心质量的轴向位置如图所示，且各偏心质量的向径均为100mm,若选择滚筒轴两端面作为平 衡平面，试对该滚筒轴进行动平衡设计。 239
239 用静平衡设计的方法求解式（11-7）可得 ' b ' b m r 的大小和方位，沿 ' b ' b m r 方向适当选定 ' b r 的大 小，即可求得平面 T' 内应加的平衡质量 ' mb 。 同理，对于平面 T" 有 3 0 " 2 3 " 1 2 " 1 " b " mb r + m r + m r + m r = （11-8） 式中， 1 ' " 1 1 m l l m = ， 2 ' " 2 2 m l l m = ， 3 ' " 3 3 m l l m = 。 同样采用静平衡设计的方法求解式（11-8）可得 " b " b m r 的大小和方位，沿 " b " b m r 方向适当选定 " b r 的大小，即可求得平面 T" 内应加的平衡质量 " mb 。 由以上分析可知，不平衡质量 m1 、 m2 、 m3 可通过平面 T' 、T" 中的平衡质量 ' mb 和 " mb 进行 平衡。故平面 T' 和 T" 称为平衡平面或校正平面，其垂直于转子的轴线。 动平衡设计的几点说明： （1）动平衡的条件：当转子转动时，转子上分布在不同平面内的各个质量所产生的空间离 心惯性力系的合力及合力矩均为零，即 F = 0 及 M = 0 。 （2）对于动不平衡的转子，无论它有多少个偏心质量以及分布在多少个回转平面内，都只 需要在选定的两个平衡平面 T'、T" 内各增加或减少一个合适的平衡质量，即可使转子获得动平 衡，故动平衡又称为双面平衡。在选择平衡平面 T' 和 T" 时，需考虑转子的实际结构和安装空间， 以便于安装或去除平衡质量。此外，考虑力矩平衡的效果，两平衡平面间的距离应适当大一些， 通常在实际中常选结构上允许加重或去重的端面，同时在条件允许的情况下，为了减小平衡质量， 可将平衡质量的向径取得大一些。 （3）由于动平衡同时满足静平衡的条件，所以经过动平衡的转子一定静平衡；反之，经过 静平衡的转子不一定动平衡。 【例 11-3】如图 11-7 所示为一滚筒轴，已知其上的偏心质量，m1 、m2 、m3 均为 0.4kg，各 偏心质量的轴向位置如图所示，且各偏心质量的向径均为 100mm，若选择滚筒轴两端面作为平 衡平面，试对该滚筒轴进行动平衡设计
7 ②州 2% 220 100 图11.7滚简轴的动平 解：根据动平衡的方法，将各偏心质量产生的惯性力向平面T?和T中分解，则由前文分析 可知，平面中： 网=网=004g=0365e 财-9%=0-0-20x04e-0174e 460 %-三%=460-40-20-100x0.4kg=0087kg 460 根据平衡条件心不+m万+m5+m万=0及式(1-5》、(1-6)可得： -∑m4cosg+-∑msn8 =V19.422+02.19y2kgmm=22.93kgmm 之mrs血8 -1219 =arctan arctan 19.42 =327.88 ∑mr cos0 平面T中： 所-号网=804g=035g m=片m=40+20x04g=026g 460 240
240 图 11-7 滚筒轴的动平衡 解：根据动平衡的方法，将各偏心质量产生的惯性力向平面 T' 和 T" 中分解，则由前文分析 可知，平面 T' 中： 0.4 kg 0.365 kg 460 460 40 1 " ' 1 1 = − = m = l l m 0.4 kg 0.174 kg 460 460 40 220 2 " ' 2 2 = − − = m = l l m 0.4 kg 0.087 kg 460 460 40 220 100 3 " ' 3 3 = − − − = m = l l m 根据平衡条件 3 0 ' 2 3 ' 1 2 ' 1 ' b ' mb r + m r + m r + m r = 及式（11-5）、（11-6）可得： 19.42 (12.19) kg mm 22.93kg mm cos sin 2 2 2 3 1 ' i i ' i 2 3 1 ' i i ' i ' b ' b = + = + − = − i= i= m r m r m r 327.88 19.42 12.19 arctan cos sin arctan 3 1 ' i i ' i 3 1 ' i i ' i ' b = − = = = = i i m r m r 平面 T' 中： 0.4 kg 0.035 kg 460 40 1 ' " 1 1 = m = = l l m 0.4 kg 0.226 kg 460 40 220 2 ' " 2 2 = + = m = l l m
