第十二章磁场对电流的作用 §12-1磁场对载流导线的作用力安培定律 当电流1d元处于磁场B中时受力 d矿=kB1 dl sin(Idl,B)df称为安培力，在国际单位制中，k=1。 df=kBldl sin Idi,B)写成矢量d矿=Id×B称为安培公式。 对L长度的载流导线在磁场B中受力了=「Idl×B 例：长为1的一载流直导线在匀强磁场B中，因各电流元所受的力的方向是一致的， 所以这载流直导线所受的作用力为 f=df=[ldlB sin0=IBsin dl=IBI sin 合力的作用点在长直导线中点，方向垂直各面向内 当0=0时 f=0 当0=乃时fm=Bm 例：测定磁感应强度常用的实验装置一磁秤。 安培力 f=NB跏=mgB=器 (对于一般情形，必须将各个力分解成分量，然后对整个导线求积分) 又例：分析均匀磁场中半圆形载流导线的受力情况， 大小 d=Bdl于=∑di df=df sin =Bldl sin df,=-df cos0=-Bldl cos0 f=(df i+df j)=jdf,dl=Rde fBldl sin 0=BI sin ORdo=BIR [sin (e=2BIR (显然，作用点在半圆弧中点，方向向上) 例：在长直导线AB内通由电流I=20A,在矩形线圈CDEF中通有电流I=I0A,AB与线 圈共面，且CD、EF都与AB平行，己知a=9.0cm,b=20.0cm,d1.0cm,求：(1)导线AB
第十二章 磁场对电流的作用 §12-1 磁场对载流导线的作用力 安培定律 当电流 I dl 元处于磁场 B 中时受力 sin( , ) df k3BIdl Idl B = df 称为安培力,在国际单位制中, k3 = 1。 sin( , ) df k3BIdl Idl B = 写成矢量 df Idl B = 称为安培公式。 对 L 长度的载流导线在磁场 B 中受力 = L f Idl B 例：长为 l 的一载流直导线在匀强磁场 B 中，因各电流元所受的力的方向是一致的， 所以这载流直导线所受的作用力为 sin sin sin 0 0 f df IdlB IB dl IBl l l L = = = = 合力的作用点在长直导线中点，方向垂直各面向内 当 = 0 时 f = 0 当 2 = 时 f = BIl max 例：测定磁感应强度常用的实验装置—磁秤。 安培力 f = NBIa = mg NIa mg B = （对于一般情形，必须将各个力分解成分量，然后对整个导线求积分） 又例：分析均匀磁场中半圆形载流导线的受力情况， 大小 df = BIdl f = df df y = df sin = BIdl sin df x = −df cos = −BIdl cos = + = L y L f df x i df y j j df ( ) dl = Rd f BIdl sin BI sin Rd BIR sin d 2BIR 0 0 0 = = = = （显然，作用点在半圆弧中点，方向向上） 例：在长直导线 AB 内通由电流 I1=20A,在矩形线圈 CDEF 中通有电流 I2＝10A，AB 与线 圈共面，且 CD、EF 都与 AB 平行，已知 a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0cm,求：（1）导线 AB
的磁场对矩形线圈每边所作用的力：(2)矩形线圈所受合力和合力矩：(3)如果电流I2 的方向反向，则又如何？ 已知：B= 2m 解：① f=B× 对CD、FE,B为常量 fen=13b t=Mol 3b 向左 2πd 2nd fm=13b2m(d+a)2n(d+a) 向右 (p.与B方向相同〉 石-兴品h告 向上 -n尝智 向下 ② 、4ablL2 向左 2元 M=0 uoabl 1. fa=2md(d+a) 向右 (p.与B方向相反) 例：载有电流L,的长直导线，旁边有一平面圆形电流，其半径为R,中心到直导线的距 离为L,载有电流2，回路与直导线在同一平面内。求1，作用在回路上的力。 解：电流元L,d受力为 df=L,di×B dF=dl
的磁场对矩形线圈每边所作用的力；（2）矩形线圈所受合力和合力矩；（3）如果电流 I2 的方向反向，则又如何？ 已知： r I B 2 0 = 解：① df = IBdl 对 CD、FE，B 为常量 d I I b d I fCD I b 2 2 0 1 0 1 2 = 2 = 向左 2 ( ) 2 ( ) 0 1 0 1 2 2 d a I I b d a I fFE I b + = + = 向右 （ m p 与 B 方向相同） d I I d a d l I I dl d l I f I dl a o F C CF + = + = + = ln 2 ( ) 2 2 0 1 0 1 2 0 1 2 2 向上 d I I d a d l I f I dl E D DE + = + = ln 2 ( ) 2 0 1 0 1 2 2 向下 ② 2 ( ) ] 1 1 [ 2 0 1 2 0 1 2 d d a abI I d d a bI I f + = + = − 合 向左 M = 0 ③ 2 ( ) 0 1 2 d d a abI I f + = 合 向右 （ m p 与 B 方向相反） 例：载有电流 1 I 的长直导线，旁边有一平面圆形电流，其半径为 R，中心到直导线的距 离为 L，载有电流 2 I ，回路与直导线在同一平面内。求 1 I 作用在回路上的力。 解：电流元 I dl 2 受力为 dF I dl B = 2 r I B 2 0 1 = dl r I I dF 2 0 1 2 =
其中 r=L-Rcos0,dll=Rd0 代入 dr.Rcosado 2π(L-Rcos0) dF,=Rsin ado 2π(L-Rcos0) - -驶产a00-d0+L-kog0 2 Jo L-Rcos0 =44(E-R-D Fsi o,RT L-Rcos)0 2rbL-Rcos 所以 F-5-R-D 例：在长直载流导线（电流L,)附近放置一个边长为，电流为1，的正三角形闭合回路， 其中一条边与长直载流导线平行，距离为，回路与导线共面。试求闭合正三角形回路 所受的磁场力F。 解： 已知8=岩 r=Icos30+a,dr =dl cos30 F=1,a==1山 向左 270 2π2π d那=1，dB=4hd=h_中 2m 2cos30°d 2 2 Fbca Fhe +Fae Fa=2Fcos60°=F 向右
其中 r = L − Rcos,dl = Rd 代入 2 ( cos ) cos 0 1 2 L R I I R d dFx − = 2 ( cos ) 0 1 2 sin L R I I R d dFy − = − = 2 0 0 1 2 2 ( cos ) cos L R I I R d Fx ] cos [ ( 1) cos 2 cos 2 2 0 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 d L R L d I I d L R I I R L L − = − + − − + = ( 1) 2 2 0 1 2 − − = L R L I I [ln( cos )] 0 cos 2 sin 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 = − = − = L R I I R L R I I R d Fy 所以 ( 1) 2 2 0 1 2 − − = = L R L F F I I x 例：在长直载流导线（电流 1 I ）附近放置一个边长为 a，电流为 2 I 的正三角形闭合回路， 其中一条边与长直载流导线平行，距离为 a，回路与导线共面。试求闭合正三角形回路 所受的磁场力 F 。 解： 已知 r I B 2 0 1 = 0 0 r = l cos30 + a,dr = dl cos30 1 2 0 1 0 2 0 1 2 2 2 2 I I I I a I Fab I a = = = 向左 d I I dr dl r I I dFbc I dl B 0 0 1 2 0 1 2 2 2 2 cos30 = = = 2 2 3 ln 2 cos30 ln(1 cos30 ) 2 cos30 2 cos30 0 0 1 2 0 0 0 1 2 cos30 0 0 1 2 0 + = = = = + + I I I I r I I dr F dF a a a b c b c Fbca Fbc Fac = + Fbca = Fbc = Fbc 0 2 cos 60 向右
h2+5 2 向左 §12-2磁场对载流线圈的作用 一、匀强磁场中的载流线圈 =BIl sin 0 f=BIl sin(-0)=BlI sin 0 两者相抵消 ==B2方向相反但不在同一直线上。 ∑了-方++方+万=0 M=fl cos0=BIl h cos0=BIS cos0 M=BIS sin中 令万=S衍（磁矩）一M=币×B(与电偶极子比较，M=币。×E) 讨论： ①中=π/2时，材最大 ②·=0时，稳定平衡 ③·=π时，非稳定平衡 电偶极子 磁矩 ∫p=gl pn=S·元 二、非均匀磁场中的载流线圈 df=IdixB 合力不为0，指向左方，即指向磁较强处，可以证明： 例：一边长为1的正方形线圈载有电流1，处在均匀外磁场B中，B垂直纸面向外，线
0 1 2 2 0 0 1 2 4.5 10 2 cos30 2 2 3 ln 2 1 F F F I I I I ab bca − = + 合 = − =（ − ） 向左 §12-2 磁场对载流线圈的作用 一、 匀强磁场中的载流线圈 f 1 = BIl1 sin 1 sin( ) 1 sin ' f 1 = BIl − = BIl 两者相抵消 2 ' f 2 = f 2 = BIl 方向相反但不在同一直线上。 0 ' 2 2 ' f = f 1 + f 1 + f + f = M = f 2 l 1 cos = BIl1 l 2 cos = BIS cos M = BIS sin 令 P ISn m = （磁矩） M Pm B = （与电偶极子比较， M pe E = ） 讨论： ① = 2 时， M 最大 ② = 0 时，稳定平衡 ③ = 时，非稳定平衡 电偶极子 磁矩 = = p IS n p ql n m 二、 非均匀磁场中的载流线圈 df Idl B = 合力不为 0，指向左方，即指向磁较强处，可以证明： dr dB f Pm 例：一边长为 l 的正方形线圈载有电流 I，处在均匀外磁场 B 中，B 垂直纸面向外，线
圈可以绕通过中心的竖直轴00'转动，其转动惯量为J,求线圈在平衡位置附近作小摆 动的周期T。 解： M=下×B(微扰动，sn0≈0) M=-Na2Bsin0≈-Na2B0(使Pn转向B) 根据转动定律 M=Jd0 Nh Bo 所以 dr 即简诺振动方程（杂+=0) Nla'B →0= 0 例：一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷，假定圆盘绕其轴线 AA以角速度orad.s转动，磁场B的方向垂直与转轴AA。试证磁场作用于圆盘的力矩 的大小为M=oRB 4 解：取半径为r→r+的圆环，则此圆环所带电荷为d=。2md山， 相应的电流 相应的磁矩为 电.=ml=m2品o2m=0ah 总磁矩 p-Ldp-=f xoa'dr=i xoak' M=pn×B →M=zooR'B 4
圈可以绕通过中心的竖直轴 OO’转动，其转动惯量为 J，求线圈在平衡位置附近作小摆 动的周期 T。 解： M Pm B = （微扰动， sin ） M INa B INa B 2 2 = − sin − （使 Pm 转向 B ） 根据转动定律 2 2 dt d M J = 得 NIa B dt d J 2 2 2 = − 所以 0 2 2 2 + = J NIa B dt d 即简谐振动方程（ 0 2 2 2 + x = dt d x ） J NIa B 2 = NIa B J T 2 2 2 = = 例：一平面塑料圆盘，半径为 R，表面带有面密度为σ的剩余电荷，假定圆盘绕其轴线 AA,以角速度ωrad.s -1转动，磁场 B 的方向垂直与转轴 AA,。试证磁场作用于圆盘的力矩 的大小为 4 4 R B M = 。 解：取半径为 r →r + dr 的圆环，则此圆环所带电荷为 dq = 2rdr ， 相应的电流 dI dq 2 = 相应的磁矩为 dp r dI r rdr r dr m 2 2 3 2 2 = = = 总磁矩 4 0 3 0 4 1 p dp r dr R R R m = m = = M Pm B = 4 4 R B M =
§12-3磁力的功 一、对载流导线作的功 I=ab f=BIl A=fad Bllaa ④中。=Bld 中，=Blda A④=中，-中。=Blaa →A=1△Φ 二、对载流线圈作的功 让线圈abcd通电流I后在磁场B中转动 M=P×B M=BIS sin o 磁力矩功 dA=-Mdo =-BIS sin ddo Id(BS cos)=Idd 总功 A=a@=1@,-Φ，) A=I△D (对任意闭合回路成立) 当I是变化的 A=心 例：长方形线圈oabc可绕Y轴转动，B=0.02T,4=6cm,4=8cm,I=10A 求：①当0=30°时，求每边所受的安培力及线圈所受的磁力矩： ②当线圈由该位置转至平衡位置时，磁力的功 解：① f=BIl sind Idl,B) 0a:(沿-z)f=0.02×10×0.08×sim90°=1.6×10-(N) bc:(沿+z)f=1.6×102(N) ab:(沿+y)f=0.02×10×0.06×sin30°=0.6×102(N) co:(沿-y)f=0.6×10-2(N) M=BIS sin=0.02×10×0.06×0.08×sm60°=8.3×10'(N,m) 或：是oa,ob两导线所受的磁力矩。 M=1.6×102×0.06×cos30°=8.3×10(N,m) 方向是Y负方向
§12-3 磁力的功 一、 对载流导线作的功 l = ab f = BIl ' ' A = f aa = BIlaa 0 = Blda ' 1 = Blda ' = 1 − 0 = Blaa A = I 二、 对载流线圈作的功 让线圈 abcd 通电流 I 后在磁场 B 中转动 M = BIS sin 磁力矩功 dA = −Md = −BIS sin d = Id (BS cos) = Id 总功 ( ) 2 1 2 1 = = − A Id I A = I （对任意闭合回路成立） 当 I 是变化的时 = 2 1 A Id 例：长方形线圈 oabc 可绕 Y 轴转动， B = 0.02T,l 1 = 6cm,l 2 = 8cm,I = 10A 求：①当 0 = 30 时，求每边所受的安培力及线圈所受的磁力矩； ②当线圈由该位置转至平衡位置时，磁力的功 解：① f BIl sin( Idl,B) = oa：（沿-z） 0.02 10 0.08 sin 90 1.6 10 ( ) 0 2 f N − = = bc：（沿+z） 1.6 10 ( ) 2 f N − = ab：（沿+y） 0.02 10 0.06 sin 30 0.6 10 ( ) 0 2 f N − = = co：（沿-y） 0.6 10 ( ) 2 f N − = sin 0.02 10 0.06 0.08 sin 60 8.3 10 ( ) 0 4 M = BIS = = N m − 或：是 oa，ob 两导线所受的磁力矩。 1.6 10 0.06 cos30 8.3 10 ( ) 2 0 4 M = = N m − − 方向是 Y 负方向。 M Pm B =
②0=30°时： Φ，=BS cos=0.02×0.06×0.08×c0s60°=4.8×10(wb) 平衡位置时： p=0 ④2=0.02×0.06×0.08×c0s0°=9.6×10-5(wb) A=1(④2-D,)=4.8×10(J) 磁力做正功 补充例题： 一半圆形闭合线圈半径R=0.1米，通过电流=10安培，放在均匀磁场中，磁场方向与 线圈面平行，B=0.5特斯拉，求： ①线圈所受力矩的大小和方向： ②若此线圈受力矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功多少？ §12-4 平行电流间的相互作用力 电流单位“安培”的定义 、 真空中两条无限长的平行载流长直导线，距离为，电流分别1，山，为方向相同。 在CD上任取一电流元L,d山，由安培公式 dfa=B2I dl sin(1 dl,B2) 个 8-经名 s12dl2,B2)=1 =B山，d山，= 2πa CD单位长度受的力 dfa uo I1 dl,2元a 同理可证： =凸 dl12πa 对有介质存在时可类似讨论 二、“安培”的定义 在毕奥-萨伐尔定律中，我们选取k=台=10’或4=4红×10？(T·m:4)。 己知：真空中两平行无限长载流直导线每单位长度上受力 _4I山2 dl2πa
② 0 = 30 时： cos 0.02 0.06 0.08 cos60 4.8 10 ( ) 0 5 1 BS wb − = = = 平衡位置时： = 0 0.02 0.06 0.08 cos0 9.6 10 ( ) 0 5 2 wb − = = ( ) 4.8 10 ( ) 4 2 1 A I J − = − = 磁力做正功 补充例题： 一半圆形闭合线圈半径 R = 0.1 米，通过电流 I=10 安培，放在均匀磁场中，磁场方向与 线圈面平行， B = 0.5 特斯拉，求： ①线圈所受力矩的大小和方向； ②若此线圈受力矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功多少？ §12-4 平行电流间的相互作用力 电流单位“安培”的定义 一、 真空中两条无限长的平行载流长直导线，距离为 a，电流分别 1 2 I ,I 为方向相同。 在 CD 上任取一电流元 2 dl2 I ，由安培公式 sin( , ) 21 12 2 2 2 dl2 B12 df B I dl I = 而 a I B 0 1 12 2 = sin( I 2 dl2 ,B12 ) =1 2 0 1 2 21 12 2 2 2 dl a I I df B I dl = = CD 单位长度受的力 a I I dl df 0 1 2 2 21 2 = 同理可证： a I I dl df 0 1 2 1 12 2 = 对有介质存在时可类似讨论。 二、 “安培”的定义 在毕奥-萨伐尔定律中，我们选取 0 7 10 4 − = = k（真空） 或 7 0 4 10− = （ −1 T m A ）。 已知：真空中两平行无限长载流直导线每单位长度上受力 a I I dl df 0 1 2 2 =
这里选取4，=4π×10-7 =2×10 dⅡ a 令a=lm1=2=1各为1安培 =2x0N-m 当断-2x07Nm,a=m时，1为1安塔。 注意：库仑定律中6，是由实验测得的，而毕奥-萨伐尔定律中4，是选定的。库仑定律 中，下，q,r这三个量是在，这个常数不起作用的情况下测出来的：而4与“安培”的定 义有关，我们可以任意选定前人为我们选定的值。 补充例题： ①求一对平行电流之间的相互作用力，两者都与联线垂直 ②求一对垂直电流之间的相互作用力，其中电流元1沿联线，电流元2垂直于联线 解： dFa=Idl xdB 瓜。=么1可×-凸0x 4r4π店 明=台山可x画x 同理 帆台山国x国x 解① dl x(dx)=d dlz sin a sin =dl dlz(=) =么4=。 4πi 显然 dFa =-dFi2 解② 呢-匹区-会8a0a0 位4π
这里选取 7 0 4 10− = a I I dl df 7 1 2 2 10− = 令 a = m I = I = I 1 2 1 , 各为 1 安培 7 1 2 10− − = N m dl df 当 7 1 2 10− − = N m dl df ， a =1m 时，I 为 1 安培。 注意：库仑定律中 0 是由实验测得的，而毕奥-萨伐尔定律中 0 是选定的。库仑定律 中， F, q,r 这三个量是在 0 这个常数不起作用的情况下测出来的；而 0 与“安培”的定 义有关，我们可以任意选定前人为我们选定的值。 补充例题： ① 求一对平行电流之间的相互作用力，两者都与联线垂直 ② 求一对垂直电流之间的相互作用力，其中电流元 1 沿联线，电流元 2 垂直于联线 解： 21 2 dl2 dB12 dF I = 2 12 0 1 1 12 3 12 0 1 1 12 12 ˆ 4 4 r I dl r r I dl r dB = = （ 12 12 12 ˆ r r r = ） 2 12 0 1 2 2 1 12 21 ( ˆ ) 4 r I I dl dl r dF = 同理 2 12 0 1 2 1 2 21 12 ( ˆ ) 4 r I I dl dl r dF = 解① 2 1 12 1 2 1 2 1 2 dl (dl r ˆ ) = dl dl sin sin = dl dl （ 2 1 2 = = ） 2 12 12 0 1 2 1 2 21 4 dF r I I dl dl dF = = 显然 dF21 dF12 = − 解② 0 sin sin 4 ( ˆ ) 4 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 0 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = r I I dl dl r I I dl dl r dF （ 1 = 0 ）
而成=会1区x区到-÷以，n8m&-丝山0 14π 牛顿第三定律即动量守衡定律，它是任何封闭的物体系普遍遵守的定律 补充例题：任意两个闭合载流回路L和L,之间的相互作用 后-会2宝型 后会 试证明它们满足牛顿第三定律： dFa=-dF 证： d×(dx六)=d(d2)-(d·d) d×(dl×）=dl(d)）-(dld) 酒-停0 店会画白国会 6-0,风画 而 2=-1后= →F2=-F §12-5运动电荷在磁场中所受的力 洛仑兹力：由安培公式 f=1di×B I gnvS dN =nSdl 西=gpSd×B=qN师×B洛仑兹力 N=9T×Bs 由牛顿第二定术m安=师×B
而 0 4 sin sin 4 ( ˆ ) 4 2 2 1 0 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 0 2 1 = = = r I I dl dl r dl dl I I r dl dl r dF I I 牛顿第三定律即动量守衡定律，它是任何封闭的物体系普遍遵守的定律 补充例题：任意两个闭合载流回路 L1 和 L2 之间的相互作用 = ( ) ( ) 2 12 0 1 2 2 1 12 21 1 2 ( ˆ ) 4 L L r I I dl dl r F = ( ) ( ) 2 21 0 1 2 1 2 21 12 1 2 ( ˆ ) 4 L L r I I dl dl r F 试证明它们满足牛顿第三定律： dF21 dF12 = − 证： 2 1 12 1 2 12 1 2 12 dl (dl r ˆ ) = dl (dl • r ˆ ) − (dl • dl )r ˆ 1 2 21 2 1 21 2 1 21 dl (dl r ˆ ) = dl (dl • r ˆ ) − (dl • dl )r ˆ 又 0 ˆ ( ) 2 ( ) 2 = = • L L r dr r r dl = − • − • = ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 ) ˆ ( 4 ] ( )ˆ ) ˆ [ ( 4 L L L L r r I I dl dl r dl dl r r dl r F I I dl = − • ( ) ( ) 2 21 21 1 2 1 2 0 12 1 2 ˆ 4 L L r r F I I dl dl 而 12 21 r ˆ = −r ˆ 2 21 2 12 r = r F12 F21 = − §12-5 运动电荷在磁场中所受的力 洛仑兹力：由安培公式 df Idl B = I = qnvS dN = nSdl df qnvSdl B qdNv B = = 洛仑兹力 qv Bsin( v,B) dN df f = = 由牛顿第二定律 qv B dt dv m =
两端同时点乘下： hm(×=0 0 2m2=常数 说明：电荷在磁场内运动时，磁场不对运动电荷作功，只会改变运动的方向。（洛仑兹 力不作功) 例：有一均匀磁场B水平地由南指向北，大小为1.5T。有一个5.0r的质子沿竖直向 下的方向通过这个磁场，问作用在该质子上的力有多大？ 解：Ex=)mv2=50×10ew=8.0×10U) 质子质量m=1.67×10-2”kg §12-6 带电粒子在磁场中的运动 F=qE,Fn=qm×B F=F+F=gE+qi×B 带电粒子的运动方程 m安=qE+×B: 解的情况比较复杂，下面选择特殊情况分析： 例：①磁聚焦 螺距 h=2=VT与R无关 eB 当n整数时，即聚焦 有 eB 温 公 e2B2P 2mvas =ey m2V8π2n2m27
两端同时点乘 v ： • = qv • (v B) 0 dt dv mv 0 2 1 2 = m v dt d 2 = 常数 2 1 mv 说明：电荷在磁场内运动时，磁场不对运动电荷作功，只会改变运动的方向。（洛仑兹 力不作功） 例：有一均匀磁场 B 水平地由南指向北，大小为 1.5T 。有一个 5.0Mev 的质子沿竖直向 下的方向通过这个磁场，问作用在该质子上的力有多大？ 解： 5.0 10 8.0 10 ( ) 2 1 2 6 3 E mv ev J K − = = = 质子质量 m kg 27 1.67 10− = §12-6 带电粒子在磁场中的运动 F F F qE qv B F qE F qv B e m e m = + = + = = , 带电粒子的运动方程 qE qv B dt d v m = + 2 2 ： 解的情况比较复杂，下面选择特殊情况分析： 例：①磁聚焦 螺距 v T eB mv h ox ox = = 2 与 R 无关 当 n h l = 整数时，即聚焦 有 eB mv h l h 2 ox = = nm eBl vox 2 = 而 mv ev ox = 2 1 n m V e B l V v m e ox 2 2 2 2 2 2 2 2 8 = =