第二章质点动力学 §2-1牛顿三定律及其应用 一、牛顿运动定律 1、牛顿第一运动定律：自由物体永远保持静止或匀速直线运动状态， (1)指明了任何物体都具有惯性。（称为惯性定律） (2)准确地提出力的含义一一加速度的原因（包含净力为零） (3)存在着特殊的参照系一—惯性参照系（无穷多） 2、第二定律：基本内容： ()力的量度：标准千克（原因）（目前保存在巴黎附近的国际计量局中的铂铱圆 柱体，国际协议规定其质量为1千克) (2)质量可以作为惯性的定量量度 (3)力的独立性，即力的迭加原理（实验定理） (与运动独立性或迭加原理是一致的) 3、第三定律：作用力和反作用力的性质是相同的，同时产生、同时存在、同时 消失，并非原因与效果。 (系统的内力之和恒为零) 二、牛顿运动定律应用举例（习题课） 1、用途：(1)已知：F(),求f (2)己知：f,。,求(0 2、应用牛顿运动定律应注意的几个问题 (1)牛顿第三定律F=mā表示的是瞬时关系。 (2)F=ma是矢量式，蕴涵着力的独立性。 几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度，等于各个力单独作用时的 矢量和，成为力的迭加原理。 (3)实际应用时，经常使用分量式
第二章 质点动力学 §2-1 牛顿三定律及其应用 一、牛顿运动定律 1、牛顿第一运动定律：自由物体永远保持静止或匀速直线运动状态。 (1)指明了任何物体都具有惯性。（称为惯性定律） (2)准确地提出力的含义——加速度的原因（包含净力为零） (3)存在着特殊的参照系——惯性参照系（无穷多） 2、第二定律：基本内容： (1)力的量度：标准千克（原因）（目前保存在巴黎附近的国际计量局中的铂铱圆 柱体，国际协议规定其质量为 1 千克） (2)质量可以作为惯性的定量量度 (3)力的独立性，即力的迭加原理（实验定理） （与运动独立性或迭加原理是一致的） 3、第三定律：作用力和反作用力的性质是相同的，同时产生、同时存在、同时 消失，并非原因与效果。 （系统的内力之和恒为零） 二、牛顿运动定律应用举例（习题课） 1、用途：（1）已知： r(t) ，求 f （2）已知： 0 0 f , v ,r ，求 r(t) 2、应用牛顿运动定律应注意的几个问题 （1）牛顿第三定律 F ma = 表示的是瞬时关系。 （2） F ma = 是矢量式，蕴涵着力的独立性。 几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度，等于各个力单独作用时的 矢量和，成为力的迭加原理。 （3）实际应用时，经常使用分量式
F.=ma,=mx 2 直角坐标 自然坐标 == F.=ma.mdi (4)F=mā中，F式合外力，在作变力图中应特别注意。 注：使用隔离体法解题的一般步骤 1、分析题意，确定研究对象 2、分析研究对象的受力情况。 3、选择适当的坐标系，利用牛顿第二定律列出运动方程。 4、解方程。 5、讨论结果。 例2-1-1一个质量为m的人，站在升降机中的磅秤上，当升降机的加速度为a 时，磅秤的读数为多少？ 解：设人对磅秤的压力为N,以人为研究对象，应用牛顿第二定律 可得 N-G=a变形可得 N=G+ma 讨论：(1)当a=0时，物体匀速运动。 (2)当a>0时，加速上升，N=G+ma超重。 (3)当a<0时，加速下降，N=G-ma失重。 mg 例2-1-2电梯中有一个光滑斜面，求m相对于斜面的加速度合相对于地面的加 速度。 解：如图所示，选取惯性参照系，由牛顿第二定律可得 以m为研究对象ā=a+a, a,=a,=a cosa a,=a,+a=a-asima a G+N=ma其分量式为
直角坐标 = = = = = = 2 2 2 2 2 2 dt d z F ma m dt d y F ma m dt d x F ma m z z y y x x 自然坐标 = = = = dt dv F ma m R v F ma m t t n n 2 （4） F ma = 中， F 式合外力，在作变力图中应特别注意。 注：使用隔离体法解题的一般步骤 1、分析题意，确定研究对象。 2、分析研究对象的受力情况。 3、选择适当的坐标系，利用牛顿第二定律列出运动方程。 4、解方程。 5、讨论结果。 例 2-1-1 一个质量为 m 的人，站在升降机中的磅秤上，当升降机的加速度为 a 时，磅秤的读数为多少？ 解：设人对磅秤的压力为 N，以人为研究对象，应用牛顿第二定律 可得 N −G = ma 变形可得 N = G + ma 讨论：(1)当 a＝0 时，物体匀速运动。 （2）当 a 0 时，加速上升， N = G + ma 超重。 （3）当 a 0 时，加速下降， N = G −ma 失重。 例 2-1-2 电梯中有一个光滑斜面，求 m 相对于斜面的加速度合相对于地面的加 速度。 解： 如图所示，选取惯性参照系，由牛顿第二定律可得 以 m 为研究对象 1 ' a a a = + = + = − = = sin cos ' 1 1 ' ' ' a a a a a a a a y y x x G N ma + = 其分量式为 a N mg a1 ' a m x
Nsin a=ma,ma cosa Ncosa-mg ma,ma -ma sin a 解得： [a=(g+a)sin a N=m(g+a)cosa [a,=(g+a)sin a cosa lay =a-a'sin a=a cos'a-gsin2a 大小：a=a+a=a cos2a+g2sin2a 方向：0a,i)=tang=tang+a)5 nacsa a. a cos'a-gsin2a 例2-1-3已知：小球的质量为m,水的浮力为B,阻力与速度成正比系数为k, 试计算小球在水中的沉降速度。 mg-B-R=ma 解： 感B-=会a-盘-月- m 设1=0-%=0y-g8 K 空《”- d 所以V=5-e卢) 讨论：当1→o时，V→V §2-2动量、冲量、动量定理 一、动量与动量定理 1、动量P=mF (1)动量是描述物体运动状态的物理量。 (2)动量与参照系的选择有关。 (3)对高速运动物体运动状态度的描述仍然有效
− = = − = = cos sin sin cos ' 1 ' N mg ma ma ma N ma ma y x 解得： = + = + ( )cos ( )sin 1 1 ' N m g a a g a = − = − = + 2 2 1 ' 1 1 sin cos sin ( )sin cos a a a a g a g a y x 大小： 2 2 2 2 1 2 2 a = ax + ay = a cos a + g sin 方向： 2 2 1 1 1 1 cos sin ( )sin cos ( , ) tan tan a g g a a a a i x y − + = = − − 例 2-1-3 已知：小球的质量为 m，水的浮力为 B ，阻力与速度成正比系数为 k， 试计算小球在水中的沉降速度。 解： m mg B Kv dt dv a dt dv mg B Kv m mg B R ma − − − − = = = − − = 设 K mg B t v v vT − = 0, = 0 = 0 = = − − = v t T T dt m K v v dv m K v v dt dv 0 0 ( ) 所以 (1 ) t m K T V V e − = − 讨论：当 t → 时， V →VT 。 §2-2 动量、冲量、动量定理 一、动量与动量定理 1、动量 P mv = （1）动量是描述物体运动状态的物理量。 （2）动量与参照系的选择有关。 （3）对高速运动物体运动状态度的描述仍然有效。 a1 ' a a y N G R a B m
注：高速物体的动量为动量的一般形式一一相对论动量 P== m -白 当物体低速运动时可以近似写为P=m下。 2、动量定理 (1)动量定理的微分形式 当物体低速运动时可以近似写为F=ma。 (2)动量定理的积分形式 对于F=dP,两边从t~t,P~B积分，可得 i,-i=心=a 定义：1=心Fd为力在(，~1，内，对物体的冲量。 例2一2一1一小球在距离地面为h处静止下落，与地面发生碰撞后反弹，配置时 间为1，上升到距离地面为h,的地方，求地面对小球的弹力。 解：以小球为研究对象，由运动学可知小球与地面碰撞前后的速度分别为 =2gh v:=2ghs 由冲量定理可得1=(N-mg1=y2+y)=mM√2gh,+√2gh) 二、物体系的动量定理 1、内力和外力的概念 (1)内力：系统内物体间的相互作用力。 (2)外力：外界对系统内物体的作用力。 2、物体系的动量定理 设物体系内有1个物体，外力用F表示，了，表示第i个物体对第j个物体的作 用力，则对第ⅰ个物体应用动量定理可得 -1=心+∑h=
注：高速物体的动量为动量的一般形式——相对论动量 2 0 1 ( ) c v m v P mv − = = 当物体低速运动时可以近似写为 P m v = 0 。 2、动量定理 （1）动量定理的微分形式 dt dm v dt dv m dt dP F = = + 当物体低速运动时可以近似写为 F ma = 。 （2）动量定理的积分形式 对于 Fdt dP = ，两边从 1 2 1 ~ 2 t ~ t ,P P 积分，可得 − = = 2 1 2 1 2 1 t t P P I I Fdt dP 定义： = 2 1 t t I Fdt 为力在 1 ~ 2 t t 内，对物体的冲量。 例 2－2－1 一小球在距离地面为 1 h 处静止下落，与地面发生碰撞后反弹，配置时 间为 t ，上升到距离地面为 2 h 的地方，求地面对小球的弹力。 解：以小球为研究对象，由运动学可知小球与地面碰撞前后的速度分别为 1 2gh1 v = 2 2gh2 v = 由冲量定理可得 ( ) ( ) ( 2 2 ) 2 1 m gh2 gh1 I = N − mg t = m v + v = + 二、物体系的动量定理 1、内力和外力的概念 （1）内力：系统内物体间的相互作用力。 （2）外力：外界对系统内物体的作用力。 2、物体系的动量定理 设物体系内有 i 个物体，外力用 Fi 表示， ij f 表示第 i 个物体对第 j 个物体的作 用力，则对第 i 个物体应用动量定理可得 2 2 1 1 2 1 ( ) i i t P i i i ij i t P j i I I F f dt dP − = + =
考虑到了，为内力，则系统内的内力总和为∑了=0 ∑，-1，)=∑d=∑%=B-R a-Fe=广（∑F)dh 上式称为系统的动量定理即系统动量的改变量等于合外力对系统的总冲量。 注： (1)内力对系统的总动量没有贡献，但内力使得动量在系统各个物体间相互传 递，重新分配。 (2)牛顿第二定律主要体现力的瞬时性，针对单个物体：而动量定理主要体现 力对时间的积累效果，适用于物体系。 (3)动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系必须引入惯性力。 (4)对于碰撞、爆炸、变质量等问题，使用动量定理较为方便。 三、动量守恒定理 对于物体系应用物体系的动量定理， Ee-fa=心（∑E)d 若∑万=0合外力为0，或内力远大于外力，作用时间很短 则：瓦=币。，P为恒矢量，系统动量守恒。 ∑r.=0 P=0 分量式若∑5，=0 则{B=0 ∑F=0 P=0 注： (1)动量守恒是对于系统而言的，是动量总量不变而在系统的各个物体间重新 分配。 (2)守恒条件为合外力为零，各个分量的合外力为零也满足守恒条件。 (3)某些如（爆炸、碰撞等）特殊过程，虽然体系合外力不为零，但与内力的 冲量相比可以忽略不计，可用动量守恒定理来研究系统内各部分之间的动量再分
考虑到 ij f 为内力，则系统内的内力总和为 ij = 0 i f − = = = − 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) t t P P i i i i i i i i i I I F dt dP P P − = 2 1 ( ) 2 1 t t i i P P F dt 总 总 上式称为系统的动量定理即系统动量的改变量等于合外力对系统的总冲量。 注： （1）内力对系统的总动量没有贡献，但内力使得动量在系统各个物体间相互传 递，重新分配。 （2）牛顿第二定律主要体现力的瞬时性，针对单个物体；而动量定理主要体现 力对时间的积累效果，适用于物体系。 （3）动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系必须引入惯性力。 （4）对于碰撞、爆炸、变质量等问题，使用动量定理较为方便。 三、动量守恒定理 对于物体系应用物体系的动量定理， − = 2 1 ( ) 2 1 t t i i P P F dt 总 总 若 = 0 i Fi 合外力为 0， 或内力远大于外力，作用时间很短 则： P2总 ＝P1总 ， P 为恒矢量，系统动量守恒。 分量式 若 = = = 0 0 0 iz iy ix F F F 则 = = = 0 0 0 z y x P P P 注： （1）动量守恒是对于系统而言的，是动量总量不变而在系统的各个物体间重新 分配。 （2）守恒条件为合外力为零，各个分量的合外力为零也满足守恒条件。 （3）某些如（爆炸、碰撞等）特殊过程，虽然体系合外力不为零，但与内力的 冲量相比可以忽略不计，可用动量守恒定理来研究系统内各部分之间的动量再分
配问题。 (4)动量守恒是自然界中最基本的守恒定律之一，是空间对称性的体现。 四、质心与质心运动定理 (一)质心 1、定义：系统质量的中心，能够代表系统的运动状态。 2、表达式： (1)质心的位矢 ∑m, (质量离散分布的物体)或元= idm 元∑m (质量连续分布的 了dim 物体) ∑m,x xe=∑m 「xdm XC= 「dm ∑m,y 分量式{ye= 或 ∫dm ∑m yc= 「dim ∑m,2 cm. e= dm dm (2)质心的速度下 ∑m o= ∑m, ∑mv Vc = ∑m 分量式 o=- ∑m ∑me e=∑m (3)质心的加速度ac
配问题。 （4）动量守恒是自然界中最基本的守恒定律之一，是空间对称性的体现。 四、质心与质心运动定理 （一）质心 1、定义：系统质量的中心，能够代表系统的运动状态。 2、表达式： （1）质心的位矢 C r = i i i i i C m m r r （质量离散分布的物体） 或 C rdm r dm = （质量连续分布的 物体） 分量式 = = = i i i i i C i i i i i C i i i i i C m m z z m m y y m m x x 或 = = = dm zdm z dm ydm y dm xdm x C C C （2）质心的速度 C v = i i i i i C m m v v 分量式 i ix i Cx i i i iy i Cy i i i iz i Cz i i m v v m m v v m m v v m = = = （3）质心的加速度 C a
∑m,a2 ae∑m, ∑m,a, ∑m,aw ae∑m 分量式ao∑m ∑m,ag 注：(1)质心的位置物体的大小、形状、质量分布有关。 (2)与坐标系的选取有关。 （二)质心运动定理 由系统的牛顿第二定律可得 工2.心层受-这培-区导 对于系统的质心运动定理为 Σ=-空=磨=空暗 其中，∑F为合外力：∑m,为系统的总质量： 注： (1)质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平均值，而是它们的加权平 均值，质心的性质只有在系统的运动与外力的关系中才体现出来，故质心并不是 一个几何学或运动学概念，而是动力学的概念。 (2)体系质心的坐标与坐标原点的选取有关，但质心与体系内各个质点的相 对位置与原点的选取无关。 (4)作用在体系上的褚外力一般作用在不同的质点上，就其对体系的作用效 果而言，显然不能等效为一个合力（强调等效关系）。故在质心运动定律中，只 提外力矢量和，不提合外力，但对质心而言，这些外力犹如都集中作用在质心上。 (5)将坐标原点取在质心上，坐标轴与某惯性系平行的平动参照系称为质心 坐标系或质心系。对于外力的矢量和为零或不受外力作用的体系，其质心系为惯 性系，否则为非惯性系
= i i i i i C m m a a 分量式 = = = i i i i iz Cz i i i i iy Cy i i i i ix Cx m m a a m m a a m m a a 注：（1）质心的位置物体的大小、形状、质量分布有关。 （2）与坐标系的选取有关。 （二）质心运动定理 由系统的牛顿第二定律可得 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt d r m dt dv m m m v dt d m dt d m v dt d P F C i C i i i i i i i i i = = = = = 对于系统的质心运动定理为 2 2 ( ) ( ) ( ) dt d r m dt dv F m a m C i C i i C i = = = 其中， Fi 为合外力； mi 为系统的总质量； 注： （1）质心的位矢并不是各个质点的位矢的几何平均值，而是它们的加权平 均值，质心的性质只有在系统的运动与外力的关系中才体现出来，故质心并不是 一个几何学或运动学概念，而是动力学的概念。 （2）体系质心的坐标与坐标原点的选取有关，但质心与体系内各个质点的相 对位置与原点的选取无关。 （4）作用在体系上的褚外力一般作用在不同的质点上，就其对体系的作用效 果而言，显然不能等效为一个合力（强调等效关系）。故在质心运动定律中，只 提外力矢量和，不提合外力，但对质心而言，这些外力犹如都集中作用在质心上。 （5）将坐标原点取在质心上，坐标轴与某惯性系平行的平动参照系称为质心 坐标系或质心系。对于外力的矢量和为零或不受外力作用的体系，其质心系为惯 性系，否则为非惯性系
§2-3动能定理、功能原理、机械能守恒定理 功功、动能、动能定理 (1)元功的定义 dA=F.dr (2)总功 A=jdM=了F.i 讨论：合力的功 A=jF=j∑F=∑j万西=∑4 合外力所作的总功等于各个分力所作的功之和。 例2-3-1试计算下列过程中，理想气体从状态(P,)缓慢地膨胀到状态 Ⅱ(P,)的过程中对外界所作的功。 (1)PV=C(2)PV"=C(n>1) 解：f=Ps元功dA=f体=Psk=PhA=「PdW (1)PV=C等温过程 4-a-jcg-c号 (2)Pp"=C多方过程 4jpw-jcga答台 2、动能和动能定理 设质点在变力F的作用下，作曲线运动从a到b,由牛顿第二定律的自然坐标形 式可得 ma=安
§2-3 动能定理、功能原理、机械能守恒定理 一、功、动能、动能定理 1、功 （1）元功的定义 dA F dr = （2）总功 A dA F dr b a b a ab = = 讨论：合力的功 = = = i i = i b a i i b a b a Aab F dr F dr F dr A 合外力所作的总功等于各个分力所作的功之和。 例 2-3-1 试计算下列过程中，理想气体从状态 ( , ) P1 V1 缓慢地膨胀到状态 Ⅱ ( , ) P2 V2 的过程中对外界所作的功。 （1） PV = C （2） PV C n = (n 1) 解： f = Ps 元功 dA = fdx = Psdx = Pdv = V2 V A PdV （1） PV = C 等温过程 1 2 ln 2 2 V V C V dV A PdV C V V V V = = = （2） PV C n = 多方过程 ) 1 1 ( 1 1 1 2 2 2 n V n V C V dV A PdV C V n n V n V V − − − = = = − − 2、动能和动能定理 设质点在变力 F 的作用下，作曲线运动从 a 到 b，由牛顿第二定律的自然坐标形 式可得 dt dv Ft = mat = m
由元功的定义可得a4=F,d击=F引上m空山=m小两边积分可得 A=f dA=mdv=mi-m=Exz-Ex 动能定理：合外力对物体所作的总功等于物体的动能增量 注： (1)动能是物体运动状态的单值函数，而功是物体能量变化的一种量度：动 能是状态量、态函数。功是过程量。 (2)动能定理不是经典力学新的、独立的定律，仅是定义了功和动能之后， 直接由牛顿第二定律导出了它们之间的关系，功与动能虽然都与坐标系的选择有 关，但只要是惯性系，动能定理均成立。 (3)在某些情况下，动能定理比第二定律解决问题方便，它不必考虑物体复 杂的运动过程。 (4)在物理学中，动能定理是将功和能这两个概念进行全面推广的起点，这 个事实或许意义更为重大。 二、保守力的功、物体系的势能 1、保守力的功 (1)重力的功 A,b=∫dA=∫-mgdh=mgh-mgh, 满足：Aka如=G-本=0 (2)弹力的功 F=-kx 4w-jA=了-=x-起 (3)万有引力的功 F-GmM wu-1o学oa片-的 注：(1)坐功只与位置有关，而与路径无关的力成为保守力。 (2)任意保守力的环流均为零。Aa=手F·d店=0
由元功的定义可得 vdt mvdv dt dv dA = F dr = Ft | dr |= m = 两边积分可得 2 1 2 2 2 1 2 1 b a K K v v b a A dA mvdv mv mv E E b z = = = − = − 动能定理：合外力对物体所作的总功等于物体的动能增量。 注： （1）动能是物体运动状态的单值函数，而功是物体能量变化的一种量度；动 能是状态量、态函数。功是过程量。 （2）动能定理不是经典力学新的、独立的定律，仅是定义了功和动能之后， 直接由牛顿第二定律导出了它们之间的关系，功与动能虽然都与坐标系的选择有 关，但只要是惯性系，动能定理均成立。 （3）在某些情况下，动能定理比第二定律解决问题方便，它不必考虑物体复 杂的运动过程。 （4）在物理学中，动能定理是将功和能这两个概念进行全面推广的起点，这 个事实或许意义更为重大。 二、保守力的功、物体系的势能 1、保守力的功 （1）重力的功 1 2 2 1 A dA mgdh mgh mgh b z h h a b = = − = − → 满足： = = 0 A G ds abcdea （2）弹力的功 F = −kx 2 2 2 1 2 1 2 1 a b b z h h a b A = dA = − kxdx = k x − k x → （3）万有引力的功 r r mM F G 2 = − ) 1 1 ( 2 1 2 a b b z h h a b r r dr GMm r Mm A = dA = − G = − − → 注：（1）坐功只与位置有关，而与路径无关的力成为保守力。 （2）任意保守力的环流均为零。 = = 0 A F ds abcdea
2、物体系的势能E, (1)物理义：由物体系间的相对位置和相互作用来决定的能量，称为势能。 (2)定义：定义物体系中的物体势能为将该物体由某一位置移动到零势能面的 过程中保守力所作的功。 (3)势能的增量等于保守力作功的负值。AEp=一A守力 (4)势能是系统的状态函数，与零势能面的选择有关。 三、功能原理 1、分析 设由1个质点构成了一个质点组，了，为第j个质点对第1个质点的作用力，F为 第1个质点所受到的合外力，则对该系统应用动能定理，有 A=EK2-Ex A=可，+∑)=了∑了，s+∑F=Ea-Ea=A: 讨论：(1)内力大小相等、方向相反，故其总功为零。A物=j∑)西=0 (2)外力分为：保守力和非保守力，由保守力作功的特点可得 AEp=一A保守力 A外力十Ae内力十A力=E:-Ex1=AEx 移项可得：A内力十A力=AE,+AEx=A(E,+Ex)=△E 2、表述 系统所受到的外力和非保守内力所作的总功，等于系统的机械能增量。 四、机械能守恒定律、能量转化与守恒定律 1、机械能守恒定律 由功能原理可得：A架力十A外力=AE,+AEx=△(E,+Ex)=AE 若A深守内为十A外为=0，则△En+△Ex=△(Ep+Ex)=△E=0 即，系统的机械能守恒。 注：迫使人们不断探索把机械运动的物体的力学与非机械的现象联系起来，使力
2、物体系的势能 EP （1）物理义：由物体系间的相对位置和相互作用来决定的能量，称为势能。 （2）定义：定义物体系中的物体势能为将该物体由某一位置移动到零势能面的 过程中保守力所作的功。 （3）势能的增量等于保守力作功的负值。 EP = −A保守力 （4）势能是系统的状态函数，与零势能面的选择有关。 三、功能原理 1、分析 设由 i 个质点构成了一个质点组， ij f 为第 j 个质点对第 i 个质点的作用力， Fi 为 第 i 个质点所受到的合外力，则对该系统应用动能定理，有 A = EK2 − EK1 i K K K i j i j b a i i j i j b a A = f + F ds = f ds +F ds = E − E = E 2 1 ( ) 讨论：（1）内力大小相等、方向相反，故其总功为零。 = ( ) = 0 A f ds b a ij 内力 （2）外力分为：保守力和非保守力，由保守力作功的特点可得 EP = −A保守力 A外力＋A保守内力＋A非保守内力 = EK 2 − EK1 = EK 移项可得： A非保守内力＋A外力 ＝EP + EK = (EP + EK ) = E 2、表述 系统所受到的外力和非保守内力所作的总功，等于系统的机械能增量。 四、机械能守恒定律、能量转化与守恒定律 1、机械能守恒定律 由功能原理可得： A非保守内力＋A外力 ＝EP + EK = (EP + EK ) = E 若 A非保守内力＋A外力 ＝0 ，则 EP + EK = (EP + EK ) = E = 0 即，系统的机械能守恒。 注：迫使人们不断探索把机械运动的物体的力学与非机械的现象联系起来，使力