第3章功和能 图为秦山核电站全景
第3章 功和能 图为秦山核电站全景
§3.1功 空间积累：功 时间积累：冲量 M M 研究力在空间的积累效应一功、 动能、势能、动能定理、机械能 守恒定律。 一，恒力的功 A=Fscos0 1=F.S 二.变力的功 求质点M在变力作用下，沿曲线 轨迹由a运动到b,变力作的功 F在dr一段上的功：dA=Fdr cos0→dA=F.dr
§3.1 功 一.恒力的功 A = Fs cosθ 二.变力的功 dA F dr cos = 空间积累：功 时间积累：冲量 F 研究力在空间的积累效应 功、 动能、势能、动能定理、机械能 守恒定律。 A F S = M F θ M a b s x y z O a b 求质点M 在变力作用下，沿曲线 轨迹由a 运动到b，变力作的功 A F r F 一段上的功： d = d M F r r r + d r d θ 在 r d
F在ab一段上的功 A=MF.dr 在直角坐标系中 A=Mo(Fdx+Fdy+Fd=) 在自然坐标系中 dr=ds→ ◆说明 (1)功是标量，且有正负 (2)合力的功等于各分力的功的代数和 A=,F.d=,(+F++F)d =R-d+∫Rd++Fd =A+A+.+A (3)一般来说，功的值与质点运动的路径有关
在直角坐标系中 ( ) = + + b a L x y z A （F dx F dy F dz） 说明 (1) 功是标量，且有正负 (2) 合力的功等于各分力的功的代数和 ( ) = b a L A F cosds ( ) = b a L A F r d ( ) ( ) ( ) F r F r F r b a L n b a L b a L = 1 d + 2 d + + d F 在ab一段上的功 在自然坐标系中 dr = ds = A1 + A2 ++ A n ( ) ( ) A F r F F F r b a L b a L = d = ( 1 + 2 + + n )d (3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关
三.功率 力在单位时间内所作的功，称为功率。 平均功率 △t △A dA 当△t→0时的瞬时功率 P=lim 0△t dt P F.d dt .=F.=Fvcos0
三. 功率 力在单位时间内所作的功，称为功率。 平均功率 t A P = = F v = Fv cosθ t F r P d d = 当t → 0时的瞬时功率 t A t A P t d d lim 0 = = →
例质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质 点的速度为D=4t27+167,开始时质点位于坐标原点。 求在质点从y=16m到y=32m的过程中，外力做的功。 解 d=4 d Ux= dx =4t'dt d -y=16时t=1 Vy= y=16→y=161→1 d y=32时t=2 F,=m dux =801 2=0 dt Fy=m dt 4=Fdx+F,dy=[320rdr =1200J
质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质 点的速度为 t i j 4 16 2 v = + 解 2 4 d d t t x vx = = dx 4t dt 2 = 16 d d = = t y vy y =16t t t F m x x 80 d d = = v 0 d d = = t F m y y v A F x F y = xd + yd 320 d 1200 J 2 1 3 = t t = 求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。 例 ,开始时质点位于坐标原点。 y =16时 t =1 y = 32时 t = 2
例已知用力F缓慢拉质量为m的小球，F保持方向不变 求0=0时，F作的功。 解 (F-Tsin0 =0 Tcos0 -mg =0 F=mg tan0 A=JF.d=∫Fcos0ds [mg tan0 cos0 ds mg tano cos0 do =1-mgLcos0
F L 缓慢拉质量为m 的小球， 解 F −T sinθ = 0 T cosθ − mg = 0 F = mg tanθ = mg tanθ cosθ ds x y A = F dr = F cosθ ds θ G T 0 =1− mgLcosθ 例 求 = 0 时， 已知用力 F F 保持方向不变 F 作的功。 = 0 0 tan cos d θ mg θ θ θ
例已知m=2kg,在F=12t作用下由静止做直线运动 求t=0→2s内F作的功及t=2s时的功率。 dv 解 兰=6t三 v=312=dx →dx=3rdi 4-d=3rdr=36r'd1=144J P=F,D=121:3t2=288W
已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动 解 t t m F d d 6 v = = t x t d d 3 2 v = = dx 3t dt 2 = 36 d 144J 2 0 3 = = t t =12t 3t 2 = 288W = x A F x 0 d = t F t t 0 2 3 d v P = F 例 求 t = 0→2s内F 作的功及t = 2s 时的功率
S32 几种常见力的功 一，重力的功 重力g在曲线路径M,M,上的功为 A=必t=w-g)d正 =mg（21-22 重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了 位置的高度差。 ◆结论 (1)重力的功只与始、未位置有关，而与质点所行经的路 径无关。 (2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功：
x y z O §3.2 几种常见力的功 一.重力的功 重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为 ( ) = 2 1 1 d M M z A F z ( ) = − 2 1 1 d Z Z （ mg） z = mg（z1 − z2） 重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了 位置的高度差。 (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。 (2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 M1 M2 m G 结论 ② ①
二.弹性力的功 弹簧弹性力 000000000094 F=-kxi 由x,到x2路程上弹性力的功为 A=-kd=-树 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 (1)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径 无关。 (2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时， 弹性力作负功
二.弹性力的功 = − 2 1 d x x A kx x (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径 无关。 (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时， 弹性力作负功。 2 2 2 1 2 1 2 1 = kx − kx 1 x 2 x F F kxi = − 弹簧弹性力 由x1 到x2 路程上弹性力的功为 弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 O x
三.万有引力的功 F在位移元d析上的元功为 F=G r2 dr dr cos(n-0)=-dcose A-G 万有引力在全部路程中的功为 dr-GmMn 十结论 (1)万有引力的功，也是只与始、未位置有关，而与质点所 行经的路径无关
三.万有引力的功 上的元功为 A F r d = cos d dr dr cos( ) dr cos = − = − r r mM dA G d 2 = − 万有引力F在全部路程中的功为 = − 2 1 ( ) 2 d r r L r r mM A G ) 1 1 ( 2 1 r r = GmM − (1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所 行经的路径无关。 M a b 1 r 2 r m F r d 结论 F 在位移元 r d 2 r mM F = G dr