第7章 机械振动 图为我国返回式卫星开居一L环境等晶体研究用 的搭载桶正在进行振动试验
第7章 机械振动 图为我国返回式卫星开展 环境等晶体研究用 的搭载桶正在进行振动试验。 − LiIO3
§7.1简谐振动 一，简谐振动 定义：x(t)=ACos(ot+p) X是描述位置的物理量，如y,z或e等， 特点：(1)等幅振动 (2)周期振动x(t)=x(1+T) 二.描述简谐振动的特征量 m 1.振幅A 2.周期T和频率y y=1/T (HZ) 3.相位 ()(ot+p)是t时刻的相位 (2)p是t=0时刻的相位 初相
一. 简谐振动 定义: 特点: (1)等幅振动 (2)周期振动 §7.1 简谐振动 二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v v = 1/T (Hz) 3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位 (2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相 x是描述位置的物理量,如y , z 或 等. x(t) = Acos(ωt +) m m O x x(t) = x(t +T)
(3)相位的意义： x(t)=Acos(@t+p) =-Asin(ot a=-@-Acos(ot+p) ·相位已知则振动状态已知，相位没改变2π振动重复一次， ·相位2π范围内变化，状态不重复， A 4=2π 0 ·相位差 x=Ac0s(0t+9)14p=(0t+2)-(@t+0) x2=Acos(0,t+2)J(当02-o,时)40=-0
(3)相位的意义: x(t) = Acos(ωt +) cos( ) 2 a = − A t + v = −Asin(t +) 相位已知则振动状态已知,相位没改变2 振动重复一次. 相位 2 范围内变化,状态不重复. t x O A -A = 2 相位差 cos( ) 1 = 1 1 +1 x A t cos( ) 2 = 2 2 +2 x A t ( ) ( ) = 2 +2 − 1 +1 t t （当2 −1时） =2 −1
·同相和反相（同频率振动） A 同相 A2 X2 当△p=±2k沉 0 两振动步调相同，称同相。 -A2 -A1 反相 当△9=t(2k+1)π 两振动步调相反，称反相。 A2 0 -A2 X2 -A
同相和反相(同频率振动) 当 = 2k 两振动步调相同,称同相。 x t o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相 当 = (2k+1) 两振动步调相反, 称反相。 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相
·超前和落后 A1 X1 0 -A2 -A1 若△p=p2p1>0,则2比x早△0达到正最大，称x2 比x超前△p(或x1比x2落后△p)。 三.谐振子 1.受力特点： 000000000000 M 线性恢复力F=- 77N777777777777777777777777
超前和落后 t x O A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 若 = 2- 1> 0 , 则 x2 比 x1 早 达到正最大, 称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后 )。 三. 谐振子 1. 受力特点: 线性恢复力 F = −kx End
2.动力学方程 F=-kx ma 2 x(t)=AcoS(ωt+p) d2+w3x=0 其中o为固有（圆）频率《 动力学方程 m 3.速度和加速度 v=-@AsIn(@t+o) =04cos(w1+p+2=Ac0s(01+g,） a=o2Acos(o1+p+π) =A。cos(0t+pa）
2. 动力学方程 F = −kx = ma 0 d d 2 2 2 + x = t x x(t) = Acos(ωt + ) 其中 为 固有(圆)频率 动力学方程 m k ω = 3. 速度和加速度 v = −ω Asin(ω t + ) ) 2 cos( =ω A ωt + + cos( ) = v +v A t cos( π ) 2 a = A t + + cos( ) a a = A t +
四.由初始条件求振幅和初相位 x(t)=Acos(@t+p) Xo=Acos v=-0Asn(wt+p)→ Vo =-Asin o =g(%) @xo 注意：如何最后确定p 000000000000 M 77777777777777777777777777
四. 由初始条件求振幅和初相位 x(t) = Acos(ωt +) x0 = Acos v = −ω Asin(ω t +) v0 = −ω Asin 2 2 0 2 0 v A = x + tg ( ) 0 1 0 x v = − − 注意:如何最后确定
五.旋转矢量法 特点：直观方便， 0t+0 x(t)=Acos(@t+p) V=-Asin(+)=OAcos( =A,cos(@t+) a=@2Acos(@t+p+)=A.cos(@t+pa)
五 .旋转矢量法 t + o x x t t = 0 A A v a v = −Asin( t + ) ) 2 cos( = A t + + cos( ) 2 a = A t + + cos( ) = v +v A t cos( ) a a = A t + 特点 :直观方便 . · · x(t) = Acos( t + )
六.简谐振动的能量（以水平弹簧振子为例） 1.动能 E三 k min E=7Ed山 2.势能 E,=a2=rcsto1+p) 3.机械能 E=E,+E,=九（葡诺摄动系统机城航守恒）
六.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1. 动能 2 2 1 Ek = mv sin ( ) 2 1 2 2 = kA t + 2 max 2 1 Ek = kA 2 4 1 d 1 E t kA T E t T t k = k = + 2. 势能 2 2 1 E kx p = cos ( ) 2 1 2 2 = kA t + 3. 机械能 2 2 1 E = Ek + Ep = kA （简谐振动系统机械能守恒） Ek min = 0
例物理摆 如图所示，设刚体对轴的转动惯量为J 设t=0时摆角向右最大为0， 求振动周期和振动方程， 解M=-nghsin0=J乃 + mgh sin =0 mg 0<5时，sin0≈0 0=0 mgh T=2π mgh 单 振动方程0=0，cosW1 T=2刀 摆
例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为0. 求 振动周期和振动方程. 解 M = −mghsin = J sin 0 g + = J m h 5 时,sin 0 g + = J m h J mgh = m h J T g = 2 单 摆 g 2 l 振动方程 T = cosωt = 0